WikiDer > Неравенство Полиа – Сегё

В математический анализ, то Неравенство Полиа – Сегё (или же Неравенство Сегё) утверждает, что соболевская энергия функции Соболевское пространство не увеличивается при симметричная убывающая перестановка.^[1] Неравенство названо в честь математики Георгий Полиа и Габор Сегу.

Математическая постановка и утверждение

Учитывая Измеримый по Лебегу функция ${ displaystyle u: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {+},}$симметричная убывающая перестановка ${ displaystyle u ^ {*}: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {+},}$ - единственная функция такая, что для каждого ${ Displaystyle т в mathbb {R},}$ подуровневый набор ${ Displaystyle и ^ {*} {} ^ {- 1} ((т, + infty))}$ является открытый мяч с центром в начале координат ${ displaystyle 0 in mathbb {R} ^ {n}}$ это то же самое Мера Лебега в качестве ${ displaystyle u ^ {- 1} ((t, + infty)).}$

Эквивалентно, ${ displaystyle u ^ {*}}$ уникальный радиальный и радиально невозрастающая функция, чей строгие подуровневые множества открыты и имеют ту же меру, что и функция ${ displaystyle u}$.

Неравенство Полиа – Сегё утверждает, что если, кроме того, ${ Displaystyle и в W ^ {1, p} ( mathbb {R} ^ {n}),}$ тогда ${ Displaystyle и ^ {*} в W ^ {1, p} ( mathbb {R} ^ {n})}$ и

${ displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {n}} | nabla u ^ {*} | ^ {p} leq int _ { mathbb {R} ^ {n}} | nabla u | ^ {p}.}$

Приложения неравенства

Неравенство Полиа – Сегё используется для доказательства Неравенство Рэлея – Фабера – Крана., который гласит, что среди всех областей данного фиксированного объема мяч имеет наименьшее первое собственное значение для Лапласиан с Граничные условия Дирихле. Доказательство состоит в том, чтобы сформулировать проблему как минимизацию Фактор Рэлея.^[1]

В изопериметрическое неравенство можно вывести из неравенства Полиа – Сегё с ${ displaystyle p = 1}$.

Оптимальная константа в Неравенство Соболева можно получить, комбинируя неравенство Полиа – Сеге с некоторыми интегральными неравенствами.^[2][3]

Случаи равенства

Поскольку энергия Соболева инвариантна относительно переносов, любой перенос радиальной функции приводит к равенству в неравенстве Полиа – Сегё. Однако есть и другие функции, которые могут достичь равенства, например, взяв радиальную невозрастающую функцию, которая достигает своего максимума на шаре положительного радиуса, и добавив к этой функции другую функцию, которая является радиальной по отношению к другой точке и чья поддержка содержится в максимальном наборе первой функции. Таким образом, чтобы избежать этого препятствия, необходимо дополнительное условие.

Доказано, что если функция ${ displaystyle u}$ достигает равенства в неравенстве Полиа – Сегё и если множество ${ displaystyle {x in mathbb {R} ^ {n}: u (x)> 0 { text {and}} nabla u (x) = 0 }}$ это нулевой набор для меры Лебега, то функция ${ displaystyle u}$ радиально и не возрастает в радиальном направлении относительно некоторой точки ${ Displaystyle а ин mathbb {R} ^ {п}}$.^[4]

Обобщения

Неравенство Полиа – Сегё остается в силе для симметризаций на сфера или гиперболическое пространство.^[5]

Неравенство также выполняется для частичных симметризаций, определяемых слоением пространства на плоскости (симметризация Штейнера)^[6][7] и на сферы (симметризация шапки).^[8][9]

Существуют также неравенства Полиа - Сеге для перестановок относительно неевклидовых норм и использования двойная норма градиента.^[10][11][12]

Доказательства неравенства

Оригинальное доказательство цилиндрическим изопериметрическим неравенством

Оригинальное доказательство Полиа и Сегу для ${ displaystyle p = 2}$ был основан на изопериметрическом неравенстве сравнения множеств с цилиндрами и асимптотическом разложении площади графика функции.^[1] Неравенство доказано для гладкой функции ${ displaystyle u}$ который исчезает вне компактного подмножества евклидова пространства ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}.}$ Для каждого ${ displaystyle varepsilon> 0}$, они определяют множества

${ displaystyle { begin {align} C _ { varepsilon} & = {(x, t) in mathbb {R} ^ {n} times mathbb {R} ,: , 0$

Эти множества представляют собой множества точек, которые лежат между областью определения функций ${ displaystyle varepsilon u}$ и ${ Displaystyle varepsilon и ^ {*}}$ и их соответствующие графики. Затем они используют геометрический факт, что, поскольку горизонтальные срезы обоих наборов имеют одинаковую меру, а вторые являются шарами, они выводят, что площадь границы цилиндрического набора ${ Displaystyle C _ { varepsilon} ^ {*}}$ не может превышать один из ${ displaystyle C _ { varepsilon}}$. Эти площади можно вычислить с помощью формула площади что приводит к неравенству

${ displaystyle int _ {u ^ {*} {} ^ {- 1} ((0, + infty))} 1 + { sqrt {1+ varepsilon ^ {2} | nabla u ^ {* } | ^ {2}}} leq int _ {u ^ {- 1} ((0, + infty))} 1 + { sqrt {1+ varepsilon ^ {2} | nabla u | ^ {2}}}.}$

Поскольку множества ${ Displaystyle и ^ {- 1} ((0, + infty))}$ и ${ displaystyle u {} ^ {*} {} ^ {- 1} ((0, + infty))}$ имеют ту же меру, это эквивалентно

${ displaystyle { frac {1} { varepsilon}} int _ {u ^ {*} {} ^ {- 1} ((0, + infty))} { sqrt {1+ varepsilon ^ { 2} | nabla u ^ {*} | ^ {2}}} - 1 leq { frac {1} { varepsilon}} int _ {u ^ {- 1} ((0, + infty) )} { sqrt {1+ varepsilon ^ {2} | nabla u | ^ {2}}} - 1.}$

Вывод следует из того, что

${ displaystyle lim _ { varepsilon to 0} { frac {1} { varepsilon}} int _ {u ^ {- 1} ((0, + infty))} { sqrt {1+ varepsilon ^ {2} | nabla u | ^ {2}}} - 1 = { frac {1} {2}} int _ { mathbb {R} ^ {n}} | nabla u | ^ {2}.}$

Формула Коареа и изопериметрическое неравенство

Неравенство Полиа – Сегё можно доказать, объединив формула coarea, Неравенство Гёльдера и классический изопериметрическое неравенство.^[2]

Если функция ${ displaystyle u}$ достаточно гладко, формулу coarea можно использовать для записи

${ displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {n}} | nabla u | ^ {p} = int _ {0} ^ {+ infty} int _ {u ^ {- 1} ( {t})} | nabla u | ^ {p-1} , d { mathcal {H}} ^ {n-1} , dt,}$

куда ${ Displaystyle { mathcal {H}} ^ {п-1}}$ обозначает ${ Displaystyle (п-1)}$–Размерный Мера Хаусдорфа на евклидовом пространстве ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$. Почти для каждого ${ Displaystyle т в (0, + infty)}$, по неравенству Гёльдера имеем

${ Displaystyle { mathcal {H}} ^ {n-1} left (u ^ {- 1} ( {t }) ​​ right) leq left ( int _ {u ^ {- 1} ( {t })} | nabla u | ^ {p-1} right) ^ { frac {1} {p}} left ( int _ {u ^ {- 1} ( {t })} { frac {1} {| nabla u |}} right) ^ {1 - { frac {1} {p}}}.}.$

Следовательно, мы имеем

${ displaystyle int _ {u ^ {- 1} ( {t })} | nabla u | ^ {p-1} geq { frac {{ mathcal {H}} ^ {n-1 } left (u ^ {- 1} ( {t }) ​​ right) ^ {p}} { left ( int _ {u ^ {- 1} ( {t })} { frac {1} {| nabla u |}} right) ^ {p-1}}}.}$

Поскольку набор ${ Displaystyle и ^ {*} {} ^ {- 1} ((т, + infty))}$ шар, имеющий ту же меру, что и множество ${ Displaystyle и ^ {- 1} ((т, + infty))}$, согласно классическому изопериметрическому неравенству имеем

${ displaystyle { mathcal {H}} ^ {n-1} left (u ^ {*} {} ^ {- 1} ( {t }) ​​ right) leq { mathcal {H}} ^ {n-1} left (u ^ {- 1} ( {t }) ​​ right).}$

Кроме того, вспоминая, что множества подуровней функций ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle u ^ {*}}$ иметь такую ​​же меру,

${ displaystyle int _ {u ^ {*} {} ^ {- 1} ( {t })} { frac {1} {| nabla u ^ {*} |}} = int _ { u ^ {- 1} ( {t })} { frac {1} {| nabla u |}},}$

и поэтому,

${ displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {n}} | nabla u | ^ {p} geq int _ {0} ^ {+ infty} { frac {{ mathcal {H} } ^ {n-1} left (u ^ {*} {} ^ {- 1} ( {t }) ​​ right) ^ {p}} { left ( int _ {u ^ {*} {} ^ {- 1} ( {t })} { frac {1} {| nabla u ^ {*} |}} right) ^ {p-1}}} , dt.}$

Поскольку функция ${ displaystyle u ^ {*}}$ радиально, есть

${ displaystyle { frac {{ mathcal {H}} ^ {n-1} left (u ^ {*} {} ^ {- 1} ( {t }) ​​ right) ^ {p}} { left ( int _ {u ^ {*} {} ^ {- 1} ( {t })} { frac {1} {| nabla u ^ {*} |}} right) ^ {p-1}}} = int _ {u ^ {*} {} ^ {- 1} ( {t })} | nabla u ^ {*} | ^ {p-1},}$

вывод следует из повторного применения формулы коплощади.

Неравенства перестановки для свертки

Когда ${ displaystyle p = 2}$, неравенство Полиа – Сегё можно доказать, представив соболевскую энергию тепловое ядро.^[13] Начнем с того, что

${ displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {n}} | nabla u | ^ {2} = lim _ {t to 0} { frac {1} {t}} left ( int _ { mathbb {R} ^ {n}} | u | ^ {2} - int _ { mathbb {R} ^ {n}} int _ { mathbb {R} ^ {n}} K_ {t} (ху) и (х) и (у) , dx , dy right),}$

где для ${ Displaystyle т в (0, + infty)}$, функция ${ displaystyle K_ {t}: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}$ тепловое ядро, определенное для каждого ${ Displaystyle г в mathbb {R} ^ {п}}$ к

${ displaystyle K_ {t} (z) = { frac {1} {(4 pi t) ^ { frac {n} {2}}}} e ^ {- { frac {| z | ^ { 2}} {4t}}}.}$

Поскольку для каждого ${ Displaystyle т в (0, + infty)}$ функция ${ displaystyle K_ {t}}$ является радиальным и радиально убывающим, по Неравенство перестановки Рисса

${ Displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {n}} int _ { mathbb {R} ^ {n}} K_ {t} (xy) , u (x) , u (y) , dx , dy leq int _ { mathbb {R} ^ {n}} int _ { mathbb {R} ^ {n}} K_ {t} (xy) , u ^ {*} (х) , и ^ {*} (у) , dx , dy}$

Отсюда выводим, что

${ displaystyle { begin {align} int _ { mathbb {R} ^ {n}} | nabla u | ^ {2} & = lim _ {t to 0} { frac {1} { t}} left ( int _ { mathbb {R} ^ {n}} | u | ^ {2} - int _ { mathbb {R} ^ {n}} int _ { mathbb {R } ^ {n}} K_ {t} (xy) u (x) u (y) , dx , dy right) [6pt] & geq lim _ {t to 0} { frac {1} {t}} left ( int _ { mathbb {R} ^ {n}} | u | ^ {2} - int _ { mathbb {R} ^ {n}} int _ { mathbb {R} ^ {n}} K_ {t} (xy) u ^ {*} (x) u ^ {*} (y) , dx , dy right) [6pt] & = int _ { mathbb {R} ^ {n}} | nabla u ^ {*} | ^ {2}. end {выравнивается}}}$

Рекомендации