WikiDer > Частица в сферически-симметричном потенциале

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) Эта статья тон или стиль могут не отражать энциклопедический тон используется в Википедии. См. Википедию руководство по написанию лучших статей для предложений. (Июль 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) Эта статья может быть сбивает с толку или неясно читателям. Пожалуйста, помоги нам прояснить статью. Возможно обсуждение этого вопроса на страница обсуждения. (Июль 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Июль 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Важная проблема в квантовая механика это частица в сферически симметричный потенциал, т.е. потенциал, который зависит только от расстояния между частицей и определенной центральной точкой. В частности, если рассматриваемая частица является электроном, а потенциал получается из Закон Кулона, то задача может быть использована для описания водородоподобного (одноэлектронного) атома (или иона).

В общем случае динамика частицы в сферически-симметричном потенциале определяется Гамильтониан следующего вида:

${ displaystyle { hat {H}} = { frac {{ hat {p}} ^ {2}} {2m_ {0}}} + V (r)}$

куда ${ displaystyle m_ {0}}$ - масса частицы, ${ displaystyle { hat {p}}}$ - оператор импульса, а потенциал ${ Displaystyle V (г)}$ зависит только от${ displaystyle r}$, модуль радиус-векторар. В квантово-механический волновые функции и энергии (собственные значения) находятся путем решения Уравнение Шредингера с этим гамильтонианом. Из-за сферической симметрии системы естественно использовать сферические координаты ${ displaystyle r}$, ${ displaystyle theta}$ и ${ displaystyle phi}$. Когда это будет сделано, не зависящий от времени Уравнение Шредингера для системы отделяемый, позволяя легко решать угловые задачи и оставляя обыкновенное дифференциальное уравнение в ${ displaystyle r}$ для определения энергии для конкретного потенциала ${ Displaystyle V (г)}$ под обсуждением.

Структура собственных функций

В собственные состояния из система иметь форму

${ Displaystyle пси (г, тета, фи) = р (г) тета ( тета) фи ( фи) , ;}$

в которой сферические полярные углы θ и φ представляют собой холодность и азимутальный угол соответственно. Последние два фактора ψ часто группируются как сферические гармоники, так что собственные функции принимают вид

${ Displaystyle psi (г, тета, фи) = р (г) Y_ {лм} ( тета, фи). ,}$

Дифференциальное уравнение, характеризующее функцию ${ Displaystyle R (r)}$ называется радиальное уравнение.

Вывод радиального уравнения.

Оператор кинетической энергии в сферические полярные координаты является

${ displaystyle { frac {{ hat {p}} ^ {2}} {2m_ {0}}} = - { frac { hbar ^ {2}} {2m_ {0}}} nabla ^ { 2} = - { frac { hbar ^ {2}} {2m_ {0} , r ^ {2}}} left [{ frac { partial} { partial r}} { Big (} r ^ {2} { frac { partial} { partial r}} { Big)} - { hat {l}} ^ {2} right].}$

В сферические гармоники удовлетворить

${ displaystyle { hat {l}} ^ {2} Y_ {lm} ( theta, phi) Equiv left {- { frac {1} { sin ^ {2} theta}} left [ sin theta { frac { partial} { partial theta}} { Big (} sin theta { frac { partial} { partial theta}} { Big)} + { frac { partial ^ {2}} { partial phi ^ {2}}} right] right } Y_ {lm} ( theta, phi) = l (l + 1) Y_ {lm} ( theta, phi).}$

Подставив это в Уравнение Шредингера получаем одномерное уравнение на собственные значения,

${ displaystyle { frac {1} {r ^ {2}}} {d over dr} left (r ^ {2} {dR over dr} right) - {l (l + 1) over r ^ {2}} R + { frac {2m_ {0}} { hbar ^ {2}}} [EV (r)] R = 0.}$

Это уравнение можно свести к эквивалентному 1-D уравнению Шредингера, подставив ${ Displaystyle R (г) = чи (г) / г}$, куда ${ Displaystyle чи (г)}$ удовлетворяет

${ displaystyle {d ^ {2} chi over dr ^ {2}} + { frac {2m_ {0}} { hbar ^ {2}}} [E-V _ { mathrm {eff}} ( r)] chi = 0}$

которое в точности является одномерным уравнением Шредингера с эффективным потенциалом, заданным формулой

${ displaystyle V _ { mathrm {eff}} (r) = V (r) + { hbar ^ {2} l (l + 1) over 2m_ {0} r ^ {2}},}$

где радиальная координата р колеблется от 0 до ${ displaystyle infty}$. Поправка к потенциалу V(р) называется центробежный барьер.

Если ${ Displaystyle lim _ {г rightarrow 0} г ^ {2} V (г) = 0}$, то около начала координат ${ displaystyle R sim r ^ {l}}$.

Решения для интересующих потенциалов

Возникают пять особых случаев, имеющих особое значение:

1. V(р) = 0, либо решение вакуума в базисе сферические гармоники, что служит основанием для других случаев.
2. ${ Displaystyle V (г) = V_ {0}}$ (конечный) для ${ displaystyle r$ и бесконечное в другом месте, или частица в сферическом эквиваленте квадратный колодец, полезно описать связанные состояния в ядро или квантовая точка.
3. Как и в предыдущем случае, но с бесконечно большим скачком потенциала на поверхности сферы.
4. V(р) ~ р² для трехмерного изотропного гармонического осциллятора.
5. V(р) ~ 1/р описать связанные состояния водородоподобные атомы.

Мы описываем решения в этих случаях, которые следует сравнить с их аналогами в декартовы координаты, ср. частица в коробке. Эта статья в значительной степени опирается на Функции Бесселя и Полиномы Лагерра.

Вакуумный чемодан

Давайте теперь рассмотрим V(р) = 0 (если ${ displaystyle V_ {0}}$заменить везде E с ${ displaystyle E-V_ {0}}$). Введение безразмерной переменной

${ displaystyle rho { stackrel { mathrm {def}} {=}} kr, qquad k { stackrel { mathrm {def}} {=}} { sqrt {2m_ {0} E over hbar ^ {2}}}}$

уравнение становится уравнением Бесселя для J определяется ${ Displaystyle J ( rho) { stackrel { mathrm {def}} {=}} { sqrt { rho}} R (r)}$ (откуда и обозначен выбор J):

${ Displaystyle rho ^ {2} {d ^ {2} J over d rho ^ {2}} + rho {dJ over d rho} + left [ rho ^ {2} - left (l + { frac {1} {2}} right) ^ {2} right] J = 0}$

какие регулярные решения для положительных энергий даются так называемыми Функции Бесселя первого рода ' ${ Displaystyle J_ {l + 1/2} ( rho)}$ так что решения, написанные для р так называемые Сферическая функция Бесселя${ displaystyle R (r) = j_ {l} (kr) { stackrel { mathrm {def}} {=}} { sqrt { pi / (2kr)}} J_ {l + 1/2 } (крон)}$.

Решения уравнения Шредингера в полярных координатах для частицы массы ${ displaystyle m_ {0}}$ в вакууме помечены тремя квантовыми числами: дискретными индексами л и м, и k постоянно изменяющийся в ${ displaystyle [0, infty)}$:

${ displaystyle psi ( mathbf {r}) = j_ {l} (kr) Y_ {lm} ( theta, phi)}$

куда ${ Displaystyle к { stackrel { mathrm {def}} {=}} { sqrt {2m_ {0} E}} / hbar}$, ${ displaystyle j_ {l}}$ - сферические функции Бесселя и ${ displaystyle Y_ {lm}}$ - сферические гармоники.

Эти решения представляют собой состояния с определенным угловым моментом, а не с определенным (линейным) импульсом, которые обеспечивают плоские волны. ${ Displaystyle ехр (я mathbf {k} cdot mathbf {r})}$.

Сфера с конечным "квадратным" потенциалом

Давайте теперь рассмотрим потенциал ${ Displaystyle V (г) = V_ {0}}$ за ${ displaystyle r$ и ${ Displaystyle V (г) = 0}$ в другом месте. То есть внутри сферы радиуса ${ displaystyle r_ {0}}$ потенциал равен V₀ а вне сферы он равен нулю. Потенциал с таким конечным разрывом называется квадратный потенциал.^[1]

Сначала мы рассмотрим связанные состояния, то есть состояния, при которых частица отображается в основном внутри бокса (ограниченные состояния). У тех есть энергия E меньше потенциала вне сферы, т. е. имеют отрицательную энергию, и мы увидим, что существует дискретное количество таких состояний, которое мы сравним с положительной энергией с непрерывным спектром, описывающим рассеяние на сфере (несвязанных состояний ). Также стоит отметить, что в отличие от кулоновского потенциала, имеющего бесконечное количество дискретных связанных состояний, сферическая квадратная яма имеет только конечное (если есть) число из-за своего конечного диапазона (если он имеет конечную глубину).

Разрешение по существу следует разрешению вакуума с добавлением нормировки полной волновой функции, решая два уравнения Шредингера - внутри и вне сферы - предыдущего типа, то есть с постоянным потенциалом. Также выполняются следующие ограничения:

1. Волновая функция должна быть регулярной в начале координат.
2. Волновая функция и ее производная должны быть непрерывными на разрыве потенциала.
3. Волновая функция должна сходиться на бесконечности.

Первое ограничение связано с тем, что Neumann N и Ганкель ЧАС функции особые в начале координат. Физический аргумент, что ψ должен быть определен везде выбран Функция Бесселя первого рода J над другими возможностями в случае вакуума. По этой же причине решение внутри сферы будет таким:

${ Displaystyle R (r) = Aj_ {l} left ({ sqrt {2m_ {0} (E-V_ {0}) over hbar ^ {2}}} r right), qquad r < г_ {0}}$

с А константа будет определена позже. Обратите внимание, что для связанных состояний ${ displaystyle V_ {0}$.

Связанные состояния вносят новизну по сравнению с вакуумным случаем, который E теперь отрицательный (в вакууме он должен был быть положительным). Это, наряду с третьим ограничением, выбирает функцию Ганкеля первого рода как единственное сходящееся решение на бесконечности (сингулярность в начале координат этих функций не имеет значения, так как теперь мы находимся вне сферы):

${ displaystyle R (r) = Bh_ {l} ^ {(1)} left (i { sqrt {-2m_ {0} E over hbar ^ {2}}} r right), qquad r > г_ {0}}$

Второе ограничение на непрерывность ψ при ${ displaystyle r = r_ {0}}$ вместе с нормализацией позволяет определять константы А и B. Непрерывность производной (или логарифмическая производная для удобства) требует квантования энергии.

Сфера с бесконечным «квадратным» потенциалом

В случае, когда потенциальная яма бесконечно глубока, так что мы можем взять ${ displaystyle V_ {0} = 0}$ внутри сферы и ${ displaystyle infty}$ снаружи проблема сводится к согласованию волновой функции внутри сферы ( сферические функции Бесселя) с тождественно нулевой волновой функцией вне сферы. Допустимые энергии - это такие, при которых радиальная волновая функция обращается в нуль на границе. Таким образом, мы используем нули сферических функций Бесселя для нахождения энергетического спектра и волновых функций. Вызов ${ displaystyle u_ {l, k}}$ в k^th ноль ${ displaystyle j_ {l}}$, у нас есть:

${ displaystyle E_ {kl} = {u_ {l, k} ^ {2} hbar ^ {2} более 2 м_ {0} r_ {0} ^ {2}}}$

Итак, это сводится к вычислению этих нулей ${ displaystyle u_ {l, k}}$, обычно с помощью таблицы или калькулятора, поскольку эти нули в общем случае не разрешимы.

В частном случае ${ displaystyle l = 0}$ (сферически-симметричные орбитали) сферическая функция Бесселя имеет вид ${ displaystyle j_ {0} (x) = { frac { sin x} {x}}}$, нули которого легко записать как ${ Displaystyle и_ {0, к} = к пи}$. Таким образом, их собственные значения энергии:

${ displaystyle E_ {k0} = {(k pi) ^ {2} hbar ^ {2} over 2m_ {0} r_ {0} ^ {2}} = {k ^ {2} h ^ {2 } более 8 м_ {0} г_ {0} ^ {2}}}$

Трехмерный изотропный гармонический осциллятор

Потенциал Трехмерный изотропный гармонический осциллятор является

${ displaystyle V (r) = { frac {1} {2}} m_ {0} omega ^ {2} r ^ {2}.}$

В Эта статья показано, что N-мерный изотропный гармонический осциллятор имеет энергии

${ displaystyle E_ {n} = hbar omega { Bigl (} n + { frac {N} {2}} { Bigr)} quad { text {with}} quad n = 0,1, ldots, infty,}$

т.е. п - целое неотрицательное число; ω - (такая же) основная частота N режимы автогенератора. В этом случае N = 3, так что радиальное уравнение Шредингера принимает вид

${ displaystyle left [- { hbar ^ {2} over 2m_ {0}} {d ^ {2} over dr ^ {2}} + { hbar ^ {2} l (l + 1) более 2m_ {0} r ^ {2}} + { frac {1} {2}} m_ {0} omega ^ {2} r ^ {2} - hbar omega { bigl (} n + { tfrac {3} {2}} { bigr)} right] u (r) = 0.}$

Представляем

${ Displaystyle гамма эквив { гидроразрыва {м_ {0} омега} { hbar}}}$

и напоминая, что ${ Displaystyle и (г) = рР (г) ,}$, мы покажем, что радиальное уравнение Шредингера имеет нормированное решение:

${ displaystyle R_ {n, l} (r) = N_ {nl} , r ^ {l} , e ^ {- { frac {1} {2}} gamma r ^ {2}} ; L _ {{ frac {1} {2}} (nl)} ^ {(l + { frac {1} {2}})} ( gamma r ^ {2}),}$

где функция ${ Displaystyle L_ {к} ^ {( альфа)} ( гамма г ^ {2})}$ это обобщенный многочлен Лагерра в γr² порядка k (т. е. наибольшая степень полинома пропорциональна γ^kр^2k).

Константа нормализации N_нл является,

${ Displaystyle N_ {NL} = left [{ frac {2 ^ {n + l + 2} , gamma ^ {l + { frac {3} {2}}}} { pi ^ { frac {1} {2}}}} right] ^ { frac {1} {2}} left [{ frac {[{ frac {1} {2}} (nl)]! ; [{ frac {1} {2}} (n + l)]!} {(n + l + 1)!}} right] ^ { frac {1} {2}}.}$

Собственная функция р_{п, л}(р) принадлежит энергии E_п и должен быть умножен на сферическую гармонику ${ Displaystyle Y_ {lm} ( theta, phi) ,}$, куда

${ displaystyle l = n, n-2, ldots, l _ { min} quad { hbox {with}} quad l _ { min} = { begin {cases} 1 & mathrm {if} ; n ; mathrm {odd} 0 & mathrm {if} ; n ; mathrm {even} end {case}}}$

Это тот же результат, что и в Гармонический Осциллятор статья, с незначительной разницей в обозначениях ${ Displaystyle гамма = 2 ню ,}$.

Вывод

Сначала мы преобразуем радиальное уравнение несколькими последовательными подстановками в обобщенное дифференциальное уравнение Лагерра, которое имеет известные решения: обобщенные функции Лагерра. Затем мы нормируем обобщенные функции Лагерра на единицу. Это нормализация с обычным элементом объема. р² dр.

Сначала мы шкала радиальная координата

${ displaystyle y = { sqrt { gamma}} r quad { hbox {with}} quad gamma Equiv { frac {m_ {0} omega} { hbar}},}$

а затем уравнение принимает вид

${ displaystyle left [{d ^ {2} over dy ^ {2}} - {l (l + 1) over y ^ {2}} - y ^ {2} + 2n + 3 right] v (y) = 0}$

с ${ Displaystyle v (y) = и влево (у / { sqrt { gamma}} вправо)}$.

Рассмотрение предельного поведения v(у) в начале координат и на бесконечности предлагает следующую замену v(у),

${ Displaystyle v (y) = y ^ {l + 1} e ^ {- y ^ {2} / 2} f (y).}$

Эта замена преобразует дифференциальное уравнение к виду

${ displaystyle left [{d ^ {2} over dy ^ {2}} + 2 left ({ frac {l + 1} {y}} - y right) { frac {d} {dy }} + 2n-2l right] f (y) = 0,}$

где мы разделились с ${ displaystyle y ^ {l + 1} e ^ {- y ^ {2} / 2}}$, что можно делать, пока у не равно нулю.

Преобразование в полиномы Лагерра.

Если замена ${ Displaystyle х = у ^ {2} ,}$ используется, ${ displaystyle y = { sqrt {x}}}$, а дифференциальные операторы принимают вид

${ displaystyle { frac {d} {dy}} = { frac {dx} {dy}} { frac {d} {dx}} = 2y { frac {d} {dx}} = 2 { sqrt {x}} { frac {d} {dx}}, { text {и}}}$

${ displaystyle { frac {d ^ {2}} {dy ^ {2}}} = { frac {d} {dy}} left (2y { frac {d} {dx}} right) = 4x { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + 2 { frac {d} {dx}}.}$

Выражение в квадратных скобках умножения ж(у) превращается в дифференциальное уравнение, характеризующее обобщенное Уравнение Лагерра (смотрите также Уравнение Куммера):

${ displaystyle x { frac {d ^ {2} g} {dx ^ {2}}} + { Big (} (l + { frac {1} {2}}) + 1-x { Big) } { frac {dg} {dx}} + { frac {1} {2}} (nl) g (x) = 0}$

с ${ Displaystyle г (х) эквив е ({ sqrt {х}}) , ;}$.

При условии ${ Displaystyle к эквив (п-1) / 2 ,}$ является неотрицательным целым числом, решения этого уравнения обобщаются (ассоциируются) Полиномы Лагерра

${ displaystyle g (x) = L_ {k} ^ {(l + { frac {1} {2}})} (x).}$

Из условий на k следует: (i) ${ Displaystyle п geq l ,}$ и (ii) п и л либо оба нечетные, либо оба четные. Это приводит к условию на л приведено выше.

Восстановление нормированной радиальной волновой функции

Вспоминая это ${ Displaystyle и (г) = рР (г) ,}$, получаем нормированное радиальное решение

${ displaystyle R_ {n, l} (r) = N_ {nl} , r ^ {l} , e ^ {- { frac {1} {2}} gamma r ^ {2}} ; L _ {{ frac {1} {2}} (nl)} ^ {(l + { frac {1} {2}})} ( gamma r ^ {2}).}$

Условие нормировки радиальной волновой функции:

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} r ^ {2} | R (r) | ^ {2} , dr = 1.}$

Подстановка ${ Displaystyle д = гамма г ^ {2} , ;}$, дает ${ Displaystyle dq = 2 гамма г , др , ;}$ и уравнение становится

${ displaystyle { frac {N_ {nl} ^ {2}} {2 gamma ^ {l + {3 over 2}}}} int _ {0} ^ { infty} q ^ {l + {1 более 2}} e ^ {- q} left [L _ {{ frac {1} {2}} (nl)} ^ {(l + { frac {1} {2}})} (q) right ] ^ {2} , dq = 1.}$

Используя свойства ортогональности обобщенных полиномов Лагерра это уравнение упрощается до

${ displaystyle { frac {N_ {nl} ^ {2}} {2 gamma ^ {l + {3 over 2}}}} cdot { frac { Gamma [{ frac {1} {2} } (n + l + 1) +1]} {[{ frac {1} {2}} (nl)]!}} = 1.}$

Следовательно константа нормализации можно выразить как

${ displaystyle N_ {nl} = { sqrt { frac {2 , gamma ^ {l + {3 over 2}} , ({ frac {nl} {2}})!} { Gamma ( { frac {n + l} {2}} + { frac {3} {2}})}}}}$

Другие формы константы нормализации могут быть получены с помощью свойства гамма-функции, отмечая, что п и л имеют одинаковую четность. Это означает, что п + л всегда чётно, так что гамма-функция становится

${ displaystyle Gamma left [{1 over 2} + left ({ frac {n + l} {2}} + 1 right) right] = { frac {{ sqrt { pi} } (n + l + 1) !!} {2 ^ {{ frac {n + l} {2}} + 1}}} = { frac {{ sqrt { pi}} (n + l + 1)!} {2 ^ {n + l + 1} [{ frac {1} {2}} (n + l)]!}},}$

где мы использовали определение двойной факториал. Следовательно, нормировочная константа также определяется выражением

${ displaystyle N_ {nl} = left [{ frac {2 ^ {n + l + 2} , gamma ^ {l + {3 over 2}} , [{1 over 2} (nl) ]! ; [{1 over 2} (n + l)]!} {; Pi ^ {1 over 2} (n + l + 1)!}} Right] ^ {1 over 2 } = { sqrt {2}} left ({ frac { gamma} { pi}} right) ^ {1 over 4} , ({2 gamma}) ^ { ell over 2 } , { sqrt { frac {2 gamma (nl) !!} {(n + l + 1) !!}}}.}$

Водородоподобные атомы

Водородный (водородоподобный) атом - это двухчастичная система, состоящая из ядра и электрона. Две частицы взаимодействуют через потенциал, задаваемый формулой Закон Кулона:

${ displaystyle V (r) = - { frac {1} {4 pi varepsilon _ {0}}} { frac {Ze ^ {2}} {r}}}$

куда

• ε₀ это диэлектрическая проницаемость вакуума,
• Z это атомный номер (eZ - заряд ядра),
• е это элементарный заряд (заряд электрона),
• р расстояние между электроном и ядром.

Масса м₀, введенное выше, является уменьшенная масса системы. Поскольку масса электрона примерно в 1836 раз меньше массы легчайшего ядра (протона), величина м₀ очень близка к массе электрона м_е для всех водородных атомов. В оставшейся части статьи мы делаем приближение м₀ = м_е. С м_е будут явным образом присутствовать в формулах, при необходимости это приближение будет легко исправить.

Чтобы упростить уравнение Шредингера, мы вводим следующие константы, которые определяют атомная единица энергии и длины соответственно,

${ displaystyle E _ { textrm {h}} = m _ { textrm {e}} left ({ frac {e ^ {2}} {4 pi varepsilon _ {0} hbar}} right) ^ {2} quad { hbox {and}} quad a_ {0} = {{4 pi varepsilon _ {0} hbar ^ {2}} over {m _ { textrm {e}} e ^ {2}}}.}$

Заменять ${ displaystyle y = Zr / a_ {0} ,}$ и ${ Displaystyle W = E / (Z ^ {2} E _ { textrm {h}}) ,}$ в приведенное выше радиальное уравнение Шредингера. Это дает уравнение, в котором скрыты все естественные константы,

${ displaystyle left [- { frac {1} {2}} { frac {d ^ {2}} {dy ^ {2}}} + { frac {1} {2}} { frac { l (l + 1)} {y ^ {2}}} - { frac {1} {y}} right] u_ {l} = Wu_ {l}.}$

Существуют два класса решений этого уравнения: (i) W отрицательна, соответствующие собственные функции интегрируемы с квадратом, а значения W квантованы (дискретный спектр). (ii) W неотрицательно. Каждое действительное неотрицательное значение W физически разрешено (непрерывный спектр), соответствующие собственные функции неквадратично интегрируемы. В оставшейся части статьи будут рассмотрены только решения класса (i). Волновые функции известны как связанные состояния, в отличие от решений класса (ii), известных как состояния рассеяния.

Для отрицательных W количество ${ Displaystyle альфа эквив 2 { sqrt {-2W}}}$ реально и положительно. Масштабирование у, т. е. замена ${ Displaystyle х экв альфа у}$ дает уравнение Шредингера:

${ displaystyle left [{ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} - { frac {l (l + 1)} {x ^ {2}}} + { frac {2}} } { alpha x}} - { frac {1} {4}} right] u_ {l} = 0, quad { text {with}} x geq 0.}$

За ${ Displaystyle х rightarrow infty}$ обратные силы Икс пренебрежимо малы и решение для больших Икс является ${ Displaystyle ехр [-x / 2]}$. Другое решение, ${ Displaystyle ехр [х / 2]}$, физически неприемлемо. За ${ displaystyle x rightarrow 0}$ сила обратных квадратов доминирует, и решение для малых Икс является Икс^л+1. Другое решение, Икс^−л, физически неприемлемо, поэтому для получения полного решения мы заменяем

${ displaystyle u_ {l} (x) = x ^ {l + 1} e ^ {- x / 2} f_ {l} (x). ,}$

Уравнение для ж_л(Икс) становится,

${ Displaystyle left [х { гидроразрыва {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + (2l + 2-x) { frac {d} {dx}} + (nl-1) справа] f_ {l} (x) = 0 quad { hbox {with}} quad n = (- 2W) ^ {- { frac {1} {2}}} = { frac {2} { alpha}}.}$

При условии ${ displaystyle n-l-1}$ неотрицательное целое число, скажем k, это уравнение имеет полиномиальные решения, записанные как

${ Displaystyle L_ {к} ^ {(2l + 1)} (х), qquad k = 0,1, ldots,}$

которые обобщенные полиномы Лагерра порядка k. Мы возьмем соглашение для обобщенных многочленов Лагерра Абрамовица и Стегуна.^[2]Обратите внимание, что полиномы Лагерра, приведенные во многих учебниках по квантовой механике, например в книге Мессии,^[1] являются таковыми Абрамовица и Стегуна, умноженными на коэффициент (2l + 1 + k)! Данное определение в этой статье Википедии совпадает с таковой Абрамовица и Стегуна.

Энергия становится

${ Displaystyle W = - { frac {1} {2n ^ {2}}} quad { hbox {with}} quad n эквив k + l + 1.}$

В главное квантовое число п удовлетворяет ${ Displaystyle п geq l + 1}$, или же ${ Displaystyle л Leq п-1}$.С ${ Displaystyle альфа = 2 / п}$, полная радиальная волновая функция равна

${ displaystyle R_ {nl} (r) = N_ {nl} left ({ frac {2Zr} {na_ {0}}} right) ^ {l} ; e ^ {- { textstyle { frac {Zr} {na_ {0}}}}} ; L_ {nl-1} ^ {(2l + 1)} left ({ frac {2Zr} {na_ {0}}} right),}$

с константой нормировки

${ displaystyle N_ {nl} = left [ left ({ frac {2Z} {na_ {0}}} right) ^ {3} cdot { frac {(nl-1)!} {2n [ (n + l)!] ^ {3}}} right] ^ {1 over 2}}$

что принадлежит энергии

${ displaystyle E = - { frac {Z ^ {2}} {2n ^ {2}}} E _ { textrm {h}}, qquad n = 1,2, ldots.}$

При вычислении постоянной нормировки использовался интеграл^[3]

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {2l + 2} e ^ {- x} left [L_ {nl-1} ^ {(2l + 1)} (x) right] ^ {2} dx = { frac {2n (n + l)!} {(Nl-1)!}}.}$

Рекомендации

• Джеральд Тешл (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шредингера. Американское математическое общество. ISBN 9780821846605.