Числовые константы
В этой статье приведены некоторые конкретные значения Дзета-функция Римана , включая значения целочисленных аргументов и некоторые серии, включающие их.
Дзета-функция Римана в 0 и 1
В нуль , надо
ζ ( 0 ) = B 1 − = − B 1 + = − 1 2 { displaystyle zeta (0) = {B_ {1} ^ {-}} = - {B_ {1} ^ {+}} = - { tfrac {1} {2}} !} В 1 есть столб , так ζ (1) не является конечным, но левый и правый пределы равны:
Lim ε → 0 ± ζ ( 1 + ε ) = ± ∞ { displaystyle lim _ { varepsilon to 0 ^ { pm}} zeta (1+ varepsilon) = pm infty} Поскольку это полюс первого порядка, его главное значение существует и равно Константа Эйлера – Маскерони γ = 0,57721 56649+.
Положительные целые числа
Даже положительные целые числа Для четных положительных целых чисел есть отношение к Числа Бернулли :
ζ ( 2 п ) = ( − 1 ) п + 1 ( 2 π ) 2 п B 2 п 2 ( 2 п ) ! { displaystyle zeta (2n) = (- 1) ^ {n + 1} { frac {(2 pi) ^ {2n} B_ {2n}} {2 (2n)!}} !} за п ∈ N { Displaystyle п в mathbb {N}}
ζ ( 2 ) = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ = π 2 6 = 1.6449 … { displaystyle zeta (2) = 1 + { frac {1} {2 ^ {2}}} + { frac {1} {3 ^ {2}}} + cdots = { frac { pi ^ {2}} {6}} = 1,6449 точек !} OEIS : A013661 (демонстрация этого равенства известна как Базельская проблема ) ζ ( 4 ) = 1 + 1 2 4 + 1 3 4 + ⋯ = π 4 90 = 1.0823 … { displaystyle zeta (4) = 1 + { frac {1} {2 ^ {4}}} + { frac {1} {3 ^ {4}}} + cdots = { frac { pi ^ {4}} {90}} = 1,0823 точки !} OEIS : A013662 (в Закон Стефана – Больцмана и Вина приближение по физике) ζ ( 6 ) = 1 + 1 2 6 + 1 3 6 + ⋯ = π 6 945 = 1.0173 … { displaystyle zeta (6) = 1 + { frac {1} {2 ^ {6}}} + { frac {1} {3 ^ {6}}} + cdots = { frac { pi ^ {6}} {945}} = 1.0173 точки !} OEIS : A013664 ζ ( 8 ) = 1 + 1 2 8 + 1 3 8 + ⋯ = π 8 9450 = 1.00407 … { displaystyle zeta (8) = 1 + { frac {1} {2 ^ {8}}} + { frac {1} {3 ^ {8}}} + cdots = { frac { pi ^ {8}} {9450}} = 1,00407 точек !} OEIS : A013666 ζ ( 10 ) = 1 + 1 2 10 + 1 3 10 + ⋯ = π 10 93555 = 1.000994 … { displaystyle zeta (10) = 1 + { frac {1} {2 ^ {10}}} + { frac {1} {3 ^ {10}}} + cdots = { frac { pi ^ {10}} {93555}} = 1.000994 точек !} OEIS : A013668 ζ ( 12 ) = 1 + 1 2 12 + 1 3 12 + ⋯ = 691 π 12 638512875 = 1.000246 … { displaystyle zeta (12) = 1 + { frac {1} {2 ^ {12}}} + { frac {1} {3 ^ {12}}} + cdots = { frac {691 pi ^ {12}} {638512875}} = 1.000246 точек !} OEIS : A013670 ζ ( 14 ) = 1 + 1 2 14 + 1 3 14 + ⋯ = 2 π 14 18243225 = 1.0000612 … { displaystyle zeta (14) = 1 + { frac {1} {2 ^ {14}}} + { frac {1} {3 ^ {14}}} + cdots = { frac {2 pi ^ {14}} {18243225}} = 1,0000612 точек !} OEIS : A013672 Принимая предел п → ∞ { Displaystyle п rightarrow infty} ζ ( ∞ ) = 1 { Displaystyle zeta ( infty) = 1}
Связь между дзета в положительных четных целых числах и числами Бернулли может быть записана как
А п ζ ( 2 п ) = π 2 п B п { Displaystyle A_ {n} zeta (2n) = pi ^ {2n} B_ {n}} куда А п { displaystyle A_ {n}} B п { displaystyle B_ {n}} п { displaystyle n} OEIS : A002432 OEIS : A046988 OEIS . Некоторые из этих значений воспроизводятся ниже:
коэффициенты п А B 1 6 1 2 90 1 3 945 1 4 9450 1 5 93555 1 6 638512875 691 7 18243225 2 8 325641566250 3617 9 38979295480125 43867 10 1531329465290625 174611 11 13447856940643125 155366 12 201919571963756521875 236364091 13 11094481976030578125 1315862 14 564653660170076273671875 6785560294 15 5660878804669082674070015625 6892673020804 16 62490220571022341207266406250 7709321041217 17 12130454581433748587292890625 151628697551
Если мы позволим η п = B п / А п { displaystyle eta _ {n} = B_ {n} / A_ {n}} π 2 п { displaystyle pi ^ {2n}}
ζ ( 2 п ) = ∑ ℓ = 1 ∞ 1 ℓ 2 п = η п π 2 п { displaystyle zeta (2n) = sum _ { ell = 1} ^ { infty} { frac {1} { ell ^ {2n}}} = eta _ {n} pi ^ {2n }} то рекурсивно находим,
η 1 = 1 / 6 η п = ∑ ℓ = 1 п − 1 ( − 1 ) ℓ − 1 η п − ℓ ( 2 ℓ + 1 ) ! + ( − 1 ) п + 1 п ( 2 п + 1 ) ! { Displaystyle { begin {align} eta _ {1} & = 1/6 eta _ {n} & = sum _ { ell = 1} ^ {n-1} (- 1) ^ { ell -1} { frac { eta _ {n- ell}} {(2 ell +1)!}} + (- 1) ^ {n + 1} { frac {n} {( 2n + 1)!}} Конец {выровнено}}} Это рекуррентное соотношение может быть получено из соотношения для Числа Бернулли .
Также есть еще одно повторение:
ζ ( 2 п ) = 1 п + 1 2 ∑ k = 1 п − 1 ζ ( 2 k ) ζ ( 2 п − 2 k ) за п > 1 { displaystyle zeta (2n) = { frac {1} {n + { frac {1} {2}}}} sum _ {k = 1} ^ {n-1} zeta (2k) zeta (2n-2k) quad { text {for}} quad n> 1} что можно доказать, используя d d Икс детская кроватка ( Икс ) = − 1 − детская кроватка 2 ( Икс ) { displaystyle { frac {d} {dx}} cot (x) = - 1- cot ^ {2} (x)}
Значения дзета-функции при неотрицательных четных целых числах имеют производящая функция :
∑ п = 0 ∞ ζ ( 2 п ) Икс 2 п = − π Икс 2 детская кроватка ( π Икс ) = − 1 2 + π 2 6 Икс 2 + π 4 90 Икс 4 + π 6 945 Икс 6 + ⋯ { displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} zeta (2n) x ^ {2n} = - { frac { pi x} {2}} cot ( pi x) = - { frac {1} {2}} + { frac { pi ^ {2}} {6}} x ^ {2} + { frac { pi ^ {4}} {90}} x ^ {4 } + { frac { pi ^ {6}} {945}} x ^ {6} + cdots} С
Lim п → ∞ ζ ( 2 п ) = 1 { displaystyle lim _ {п rightarrow infty} zeta (2n) = 1} Формула также показывает, что для п ∈ N , п → ∞ { Displaystyle п в mathbb {N}, п rightarrow infty}
| B 2 п | ∼ ( 2 п ) ! 2 ( 2 π ) 2 п { displaystyle left | B_ {2n} right | sim { frac {(2n)! , 2} {; ~ (2 pi) ^ {2n} ,}}} Нечетные положительные целые числа Для первых нескольких нечетных натуральных чисел имеем
ζ ( 1 ) = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ = ∞ { displaystyle zeta (1) = 1 + { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} + cdots = infty !} (в гармонический ряд ); ζ ( 3 ) = 1 + 1 2 3 + 1 3 3 + ⋯ = 1.20205 … { displaystyle zeta (3) = 1 + { frac {1} {2 ^ {3}}} + { frac {1} {3 ^ {3}}} + cdots = 1.20205 dots !} OEIS : A02117 (Называется Постоянная апери и играет роль в гиромагнитном отношении электрона) ζ ( 5 ) = 1 + 1 2 5 + 1 3 5 + ⋯ = 1.03692 … { displaystyle zeta (5) = 1 + { frac {1} {2 ^ {5}}} + { frac {1} {3 ^ {5}}} + cdots = 1.03692 dots !} OEIS : A013663 (Появляется в Закон планка ) ζ ( 7 ) = 1 + 1 2 7 + 1 3 7 + ⋯ = 1.00834 … { displaystyle zeta (7) = 1 + { frac {1} {2 ^ {7}}} + { frac {1} {3 ^ {7}}} + cdots = 1,00834 точки !} OEIS : A013665 ζ ( 9 ) = 1 + 1 2 9 + 1 3 9 + ⋯ = 1.002008 … { displaystyle zeta (9) = 1 + { frac {1} {2 ^ {9}}} + { frac {1} {3 ^ {9}}} + cdots = 1.002008 dots !} OEIS : A013667 Известно, что ζ (3)Теорема Апери ) и что бесконечно много чисел ζ (2п + 1) : п ∈ ℕ [1] ζ (5), ζ (7), ζ (9), или ζ (11)[2]
Положительные нечетные целые числа дзета-функции появляются в физике, в частности корреляционные функции антиферромагнетика ХХХ цепочка вращения .[3]
Большинство идентификаторов, указанных ниже, предоставлены Саймон Плафф . Они примечательны тем, что сходятся довольно быстро, давая почти трехзначную точность на итерацию, и поэтому полезны для высокоточных вычислений.
ζ (5)Плафф дает следующие тождества
ζ ( 5 ) = 1 294 π 5 − 72 35 ∑ п = 1 ∞ 1 п 5 ( е 2 π п − 1 ) − 2 35 ∑ п = 1 ∞ 1 п 5 ( е 2 π п + 1 ) ζ ( 5 ) = 12 ∑ п = 1 ∞ 1 п 5 грех ( π п ) − 39 20 ∑ п = 1 ∞ 1 п 5 ( е 2 π п − 1 ) − 1 20 ∑ п = 1 ∞ 1 п 5 ( е 2 π п + 1 ) { displaystyle { begin {align} zeta (5) & = { frac {1} {294}} pi ^ {5} - { frac {72} {35}} sum _ {n = 1 } ^ { infty} { frac {1} {n ^ {5} (e ^ {2 pi n} -1)}} - { frac {2} {35}} sum _ {n = 1 } ^ { infty} { frac {1} {n ^ {5} (e ^ {2 pi n} +1)}} zeta (5) & = 12 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {5} sinh ( pi n)}} - { frac {39} {20}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {5} (e ^ {2 pi n} -1)}} - { frac {1} {20}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {5} (e ^ {2 pi n} +1)}} end {выровнено}}} ζ (7) ζ ( 7 ) = 19 56700 π 7 − 2 ∑ п = 1 ∞ 1 п 7 ( е 2 π п − 1 ) { displaystyle zeta (7) = { frac {19} {56700}} pi ^ {7} -2 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ { 7} (e ^ {2 pi n} -1)}} !} Обратите внимание, что сумма представлена в виде Серия Ламберта .
ζ (2п + 1)Определяя количества
S ± ( s ) = ∑ п = 1 ∞ 1 п s ( е 2 π п ± 1 ) { Displaystyle S _ { pm} (s) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {s} (e ^ {2 pi n} pm 1) }}} ряд отношений можно представить в виде
0 = А п ζ ( п ) − B п π п + C п S − ( п ) + D п S + ( п ) { displaystyle 0 = A_ {n} zeta (n) -B_ {n} pi ^ {n} + C_ {n} S _ {-} (n) + D_ {n} S _ {+} (n) ,} куда А п B п C п D п
коэффициенты п А B C D 3 180 7 360 0 5 1470 5 3024 84 7 56700 19 113400 0 9 18523890 625 37122624 74844 11 425675250 1453 851350500 0 13 257432175 89 514926720 62370 15 390769879500 13687 781539759000 0 17 1904417007743250 6758333 3808863131673600 29116187100 19 21438612514068750 7708537 42877225028137500 0 21 1881063815762259253125 68529640373 3762129424572110592000 1793047592085750
Эти целочисленные константы могут быть выражены как суммы по числам Бернулли, как указано в (Vepstas, 2006) ниже.
Быстрый алгоритм вычисления дзета-функции Римана для любого целочисленного аргумента дан Э. А. Карацубой.[4] [5] [6]
Отрицательные целые числа
В общем, для отрицательных целых чисел (а также нуля) один имеет
ζ ( − п ) = ( − 1 ) п B п + 1 п + 1 { displaystyle zeta (-n) = (- 1) ^ {n} { frac {B_ {n + 1}} {n + 1}}} Так называемые "тривиальные нули" встречаются у отрицательных четных чисел:
ζ ( − 2 п ) = 0 { Displaystyle zeta (-2n) = 0 ,} Рамануджан суммирование )Первые несколько значений для отрицательных нечетных целых чисел:
ζ ( − 1 ) = − 1 12 ζ ( − 3 ) = 1 120 ζ ( − 5 ) = − 1 252 ζ ( − 7 ) = 1 240 ζ ( − 9 ) = − 1 132 ζ ( − 11 ) = 691 32760 ζ ( − 13 ) = − 1 12 { displaystyle { begin {align} zeta (-1) & = - { frac {1} {12}} zeta (-3) & = { frac {1} {120}} zeta (-5) & = - { frac {1} {252}} zeta (-7) & = { frac {1} {240}} zeta (-9) & = - { frac {1} {132}} zeta (-11) & = { frac {691} {32760}} zeta (-13) & = - { frac {1} {12} } конец {выровнено}}} Однако, как и Числа Бернулли , они не остаются маленькими для все более отрицательных нечетных значений. Подробнее о первом значении см. 1 + 2 + 3 + 4 + · · · .
Так ζ (м ) можно использовать как определение всех (в том числе для индексов 0 и 1) чисел Бернулли.
Производные
Производная дзета-функции при отрицательных четных целых числах определяется выражением
ζ ′ ( − 2 п ) = ( − 1 ) п ( 2 п ) ! 2 ( 2 π ) 2 п ζ ( 2 п + 1 ) { displaystyle zeta ^ { prime} (- 2n) = (- 1) ^ {n} { frac {(2n)!} {2 (2 pi) ^ {2n}}} zeta (2n + 1)} Первые несколько значений из которых
ζ ′ ( − 2 ) = − ζ ( 3 ) 4 π 2 ζ ′ ( − 4 ) = 3 4 π 4 ζ ( 5 ) ζ ′ ( − 6 ) = − 45 8 π 6 ζ ( 7 ) ζ ′ ( − 8 ) = 315 4 π 8 ζ ( 9 ) { Displaystyle { begin {align} zeta ^ { prime} (- 2) & = - { frac { zeta (3)} {4 pi ^ {2}}} [6pt] zeta ^ { prime} (- 4) & = { frac {3} {4 pi ^ {4}}} zeta (5) [6pt] zeta ^ { prime} (- 6) & = - { frac {45} {8 pi ^ {6}}} zeta (7) [6pt] zeta ^ { prime} (- 8) & = { frac {315} {4 pi ^ {8}}} zeta (9) конец {выровнено}}} Также есть
ζ ′ ( 0 ) = − 1 2 пер ( 2 π ) ≈ − 0.918938533 … { displaystyle zeta ^ { prime} (0) = - { frac {1} {2}} ln (2 pi) приблизительно -0.918938533 ldots} OEIS : A075700 ζ ′ ( − 1 ) = 1 12 − пер А ≈ − 0.1654211437 … { displaystyle zeta ^ { prime} (- 1) = { frac {1} {12}} - ln A приблизительно -0,1654211437 ldots} OEIS : A084448 и
ζ ′ ( 2 ) = 1 6 π 2 ( γ + пер 2 − 12 пер А + пер π ) ≈ − 0.93754825 … { displaystyle zeta ^ { prime} (2) = { frac {1} {6}} pi ^ {2} ( gamma + ln 2-12 ln A + ln pi) приблизительно - 0,93754825 ldots} OEIS : A073002 куда А это Константа Глейшера – Кинкелина .
Серия с участием ζ (п )
Следующие суммы могут быть получены из производящей функции:
∑ k = 2 ∞ ζ ( k ) Икс k − 1 = − ψ 0 ( 1 − Икс ) − γ { displaystyle sum _ {k = 2} ^ { infty} zeta (k) x ^ {k-1} = - psi _ {0} (1-x) - gamma} куда ψ 0 функция дигаммы .
∑ k = 2 ∞ ( ζ ( k ) − 1 ) = 1 { Displaystyle сумма _ {к = 2} ^ { infty} ( zeta (k) -1) = 1} ∑ k = 1 ∞ ( ζ ( 2 k ) − 1 ) = 3 4 { displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} ( zeta (2k) -1) = { frac {3} {4}}} ∑ k = 1 ∞ ( ζ ( 2 k + 1 ) − 1 ) = 1 4 { Displaystyle сумма _ {к = 1} ^ { infty} ( zeta (2k + 1) -1) = { гидроразрыва {1} {4}}} ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ( ζ ( k ) − 1 ) = 1 2 { displaystyle sum _ {k = 2} ^ { infty} (- 1) ^ {k} ( zeta (k) -1) = { frac {1} {2}}} Серия, относящаяся к Константа Эйлера – Маскерони (обозначается γ
∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) k = γ { displaystyle sum _ {k = 2} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac { zeta (k)} {k}} = gamma} ∑ k = 2 ∞ ζ ( k ) − 1 k = 1 − γ { displaystyle sum _ {k = 2} ^ { infty} { frac { zeta (k) -1} {k}} = 1- gamma} ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) − 1 k = пер 2 + γ − 1 { displaystyle sum _ {k = 2} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac { zeta (k) -1} {k}} = ln 2+ gamma -1} и используя главное значение
ζ ( k ) = Lim ε → 0 ζ ( k + ε ) + ζ ( k − ε ) 2 { displaystyle zeta (k) = lim _ { varepsilon to 0} { frac { zeta (k + varepsilon) + zeta (k- varepsilon)} {2}}} что, конечно, влияет только на значение 1, эти формулы можно записать как
∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) k = 0 { displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac { zeta (k)} {k}} = 0} ∑ k = 1 ∞ ζ ( k ) − 1 k = 0 { displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { zeta (k) -1} {k}} = 0} ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) − 1 k = пер 2 { displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac { zeta (k) -1} {k}} = ln 2} и показать, что они зависят от главного значения ζ (1) = γ
Нетривиальные нули
Нули дзеты Римана, за исключением отрицательных четных целых чисел, называются «нетривиальными нулями». Видеть Андрей Одлызко их таблицы и библиографии.
Рекомендации
^ Ривоал, Т. (2000). «La fonction zeta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I . 331 : 267–270. arXiv :математика / 0008051 Bibcode :2000CRASM.331..267R . Дои :10.1016 / S0764-4442 (00) 01624-4 . ^ В. Зудилин (2001). "Один из номеров ζ (5), ζ (7), ζ (9), ζ (11) иррационально ». Русь. Математика. Surv . 56 (4): 774–776. Bibcode :2001RuMaS..56..774Z . Дои :10.1070 / rm2001v056n04abeh000427 . ^ Boos, H.E .; Корепин, В.Е .; Nishiyama, Y .; Широиси, М. (2002). «Квантовые корреляции и теория чисел». J. Phys. А . 35 : 4443–4452. arXiv :cond-mat / 0202346 Bibcode :2002JPhA ... 35.4443B . Дои :10.1088/0305-4470/35/20/305 . ^ Карацуба, Э.А. (1995). "Быстрый расчет дзета-функции Римана ζ (s ) для целых значений аргументаs " . Пробл. Пердачи Инф . 31 (4): 69–80. МИСТЕР 1367927 . ^ Э. А. Карацуба: Быстрое вычисление дзета-функции Римана для целочисленного аргумента. Докл. Математика. Том 54, № 1, с. 626 (1996). ^ Е. А. Карацуба: Быстрая оценка ζ (3). Пробл. Инф. Трансм. Том 29, № 1, стр. 58–62 (1993). дальнейшее чтение
Чаурри, Оскар; Navas, Luis M .; Руис, Франсиско Дж .; Варона, Хуан Л. (май 2015 г.). "Простое вычисление ζ (2k )". Американский математический ежемесячник . 122 (5): 444–451. Дои :10.4169 / amer.math.monthly.122.5.444 . JSTOR 10.4169 / amer.math.monthly.122.5.444 . Саймон Плафф , "Идентичности, вдохновленные записными книжками Рамануджана ", (1998).Саймон Плафф , "Идентичности, вдохновленные записными книжками Рамануджана, часть 2 PDF " (2006).Вепстас, Линас (2006). "О личности Рамануджана Плуффа" (PDF) . arXiv :math.NT / 0609775 Зудилин, Вадим (2001). "Один из номеров ζ (5), ζ (7), ζ (9), ζ (11) Иррационально ». Российские математические обзоры 56 : 774–776. Bibcode :2001RuMaS..56..774Z . Дои :10.1070 / RM2001v056n04ABEH000427 . МИСТЕР 1861452 .PDF PDF Русский PS русский Ссылка на несовпадающие нули Андрей Одлызко : 
![{ Displaystyle { begin {align} zeta ^ { prime} (- 2) & = - { frac { zeta (3)} {4 pi ^ {2}}} [6pt] zeta ^ { prime} (- 4) & = { frac {3} {4 pi ^ {4}}} zeta (5) [6pt] zeta ^ { prime} (- 6) & = - { frac {45} {8 pi ^ {6}}} zeta (7) [6pt] zeta ^ { prime} (- 8) & = { frac {315} {4 pi ^ {8}}} zeta (9) конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50bdc627ca7966a7178b4a10038fa7447f2a9e32)
