WikiDer > Базельская проблема - Википедия

В Базельская проблема проблема в математический анализ в отношении теория чисел, впервые поставленный Пьетро Менголи в 1650 г. и решена Леонард Эйлер в 1734 г.,^[1] и прочтите 5 декабря 1735 г. в Санкт-Петербургская Академия наук.^[2] Поскольку проблема выдержала атаки ведущих математики В тот день решение Эйлера сразу же принесло ему известность, когда ему было двадцать восемь лет. Эйлер значительно обобщил проблему, и его идеи были поддержаны годами позже Бернхард Риманн в его основополагающей статье 1859 г. "О количестве простых чисел меньше заданной величины", в котором он определил дзета-функция и доказал его основные свойства. Проблема названа в честь Базель, родной город Эйлера, а также Семья Бернулли кто безуспешно атаковал проблему.

Проблема Базеля требует точного суммирование из взаимные из квадраты из натуральные числа, т.е. точная сумма бесконечная серия:

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2}}} = { frac {1} {1 ^ {2}}} + { frac { 1} {2 ^ {2}}} + { frac {1} {3 ^ {2}}} + cdots.}$

Сумма ряда примерно равна 1,644934.^[3] Проблема Базеля требует точный сумма этого ряда (в закрытая форма), также как и доказательство что эта сумма верна. Эйлер нашел точную сумму π²/6 и объявил об этом открытии в 1735 году. Его аргументы были основаны на манипуляциях, которые не были оправданы в то время, хотя позже он оказался правым, и только в 1741 году он смог представить по-настоящему строгое доказательство.

Подход Эйлера

Первоначальный вывод Эйлера значения π²/6 существенно расширенные наблюдения о конечных многочлены и предположил, что те же свойства верны для бесконечных серий.

Конечно, первоначальные рассуждения Эйлера требуют обоснования (100 лет спустя Карл Вейерштрасс доказал, что представление Эйлера синус-функции как бесконечного произведения справедливо, Теорема факторизации Вейерштрасса), но даже без обоснования, просто получив правильное значение, он смог проверить его численно по частичным суммам ряда. Соглашение, которое он наблюдал, вселило в него достаточно уверенности, чтобы объявить свой результат математическому сообществу.

Чтобы следовать аргументу Эйлера, вспомним Серия Тейлор расширение функция синуса

${ displaystyle sin x = x - { frac {x ^ {3}} {3!}} + { frac {x ^ {5}} {5!}} - { frac {x ^ {7} } {7!}} + Cdots}$

Разделение на Икс, у нас есть

${ displaystyle { frac { sin x} {x}} = 1 - { frac {x ^ {2}} {3!}} + { frac {x ^ {4}} {5!}} - { frac {x ^ {6}} {7!}} + cdots}$

С использованием Теорема факторизации Вейерштрасса, можно также показать, что левая часть является произведением линейных множителей, заданных его корнями, как и для конечных многочленов (которые Эйлер принял за эвристический для расширения до бесконечности многочлен с точки зрения его корней, но на самом деле не всегда верно для общих ${ Displaystyle P (x)}$):^[4]

${ displaystyle { begin {align} { frac { sin x} {x}} & = left (1 - { frac {x} { pi}} right) left (1 + { frac {x} { pi}} right) left (1 - { frac {x} {2 pi}} right) left (1 + { frac {x} {2 pi}} right ) left (1 - { frac {x} {3 pi}} right) left (1 + { frac {x} {3 pi}} right) cdots & = left ( 1 - { frac {x ^ {2}} { pi ^ {2}}} right) left (1 - { frac {x ^ {2}} {4 pi ^ {2}}} right) left (1 - { frac {x ^ {2}} {9 pi ^ {2}}} right) cdots end {align}}}$

Если формально размножить этот продукт и собрать все Икс² сроки (нам разрешено делать это из-за Личности Ньютона), по индукции видим, что Икс² коэффициент грех Икс/Икс является ^[5]

${ displaystyle - left ({ frac {1} { pi ^ {2}}} + { frac {1} {4 pi ^ {2}}} + { frac {1} {9 pi ^ {2}}} + cdots right) = - { frac {1} { pi ^ {2}}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2}}}.}$

Но из первоначального расширения бесконечной серии грех Икс/Икс, коэффициент Икс² является −1/3! = −1/6. Эти два коэффициента должны быть равны; таким образом,

${ displaystyle - { frac {1} {6}} = - { frac {1} { pi ^ {2}}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2}}}.}$

Умножая обе части этого уравнения на -π² дает сумму обратных положительных квадратных целых чисел.

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2}}} = { frac { pi ^ {2}} {6}}.}$

Этот метод расчета ${ displaystyle zeta (2)}$ подробно описывается в экспозиционной манере, в первую очередь в книге Хэвила Гамма книга, в которой много деталей дзета-функция и логарифмсвязанных рядов и интегралов, а также историческая перспектива, связанная с Гамма-постоянная Эйлера.^[6]

Обобщения метода Эйлера с помощью элементарных симметричных многочленов

Используя формулы, полученные из элементарные симметричные полиномы,^[7] тот же подход можно использовать для перечисления формул для четно-индексированных даже дзета-константы которые имеют следующую известную формулу, расширенную на Числа Бернулли:

${ displaystyle zeta (2n) = { frac {(-1) ^ {n-1} (2 pi) ^ {2n}} {2 cdot (2n)!}} B_ {2n}.}$

Например, пусть частичный продукт для ${ Displaystyle грех (х)}$ расширенный, как указано выше, определяется ${ displaystyle { frac {S_ {n} (x)} {x}}: = prod limits _ {k = 1} ^ {n} left (1 - { frac {x ^ {2}}) {к ^ {2} cdot pi ^ {2}}} right)}$. Затем, используя известные формулы для элементарных симметрических многочленов (также известные как формулы Ньютона, расширенные в терминах сумма мощности тождества), мы можем видеть (например), что

${ displaystyle { begin {align} left [x ^ {4} right] { frac {S_ {n} (x)} {x}} & = { frac {1} {2 pi ^ { 4}}} left ( left (H_ {n} ^ {(2)} right) ^ {2} -H_ {n} ^ {(4)} right) qquad { xrightarrow {n rightarrow infty}} qquad { frac {1} {2}} left ( zeta (2) ^ {2} - zeta (4) right) & qquad подразумевает zeta (4) = { frac { pi ^ {4}} {90}} = - 2 pi ^ {2} cdot [x ^ {4}] { frac { sin (x)} {x}} + { frac { pi ^ {4}} {36}} left [x ^ {6} right] { frac {S_ {n} (x)} {x}} & = - { frac {1 } {6 pi ^ {6}}} left ( left (H_ {n} ^ {(2)} right) ^ {3} -2H_ {n} ^ {(2)} H_ {n} ^ {(4)} + 2H_ {n} ^ {(6)} right) qquad { xrightarrow {n rightarrow infty}} qquad { frac {1} {6}} left ( zeta ( 2) ^ {3} -3 zeta (2) zeta (4) +2 zeta (6) right) & qquad подразумевает zeta (6) = { frac { pi ^ {6 }} {945}} = - 3 cdot pi ^ {6} [x ^ {6}] { frac { sin (x)} {x}} - { frac {2} {3}} { frac { pi ^ {2}} {6}} { frac { pi ^ {4}} {90}} + { frac { pi ^ {6}} {216}}, end {выровнено }}}$

и так далее для последующих коэффициентов при ${ displaystyle [х ^ {2k}] { гидроразрыва {S_ {n} (x)} {x}}}$. Есть другие формы идентичности Ньютона выражая (конечные) степенные суммы ${ displaystyle H_ {n} ^ {(2k)}}$ с точки зрения элементарные симметричные полиномы, ${ displaystyle e_ {i} Equiv e_ {i} left (- { frac { pi ^ {2}} {1 ^ {2}}}, - { frac { pi ^ {2}} { 2 ^ {2}}}, - { frac { pi ^ {2}} {3 ^ {2}}}, - { frac { pi ^ {2}} {4 ^ {2}}}, cdots right),}$ но мы можем пойти более прямым путем к выражению нерекурсивных формул для ${ displaystyle zeta (2k)}$ используя метод элементарные симметричные полиномы. А именно, мы имеем рекуррентную связь между элементарные симметричные полиномы и полиномы степенной суммы учитывая как на эта страница к

${ displaystyle (-1) ^ {k} ke_ {k} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = sum _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ {kj- 1} p_ {j} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) e_ {kj} (x_ {1}, ldots, x_ {n}),}$

что в нашей ситуации приравнивается к предельному рекуррентному соотношению (или производящая функция свертка, или товар) расширен как

${ displaystyle { frac { pi ^ {2k}} {2}} cdot { frac {(2k) cdot (-1) ^ {k}} {(2k + 1)!}} = - [ x ^ {2k}] { frac { sin ( pi x)} { pi x}} times sum _ {i geq 1} zeta (2i) x ^ {i}.}$

Тогда путем дифференцирования и перестановки слагаемых в предыдущем уравнении получаем, что

${ displaystyle zeta (2k) = [x ^ {2k}] { frac {1} {2}} left (1- pi x cot ( pi x) right).}$

Последствия доказательства Эйлера

По доказательству Эйлера для ${ displaystyle zeta (2)}$ объясненного выше и расширения его метода элементарными симметричными многочленами в предыдущем пункте, мы можем заключить, что ${ displaystyle zeta (2k)}$ является всегда а рациональный несколько из ${ displaystyle pi ^ {2k}}$. Таким образом, по сравнению с относительно неизвестными или, по крайней мере, неизученными до настоящего момента свойствами нечетно-индексированных дзета-константы, включая Постоянная апери ${ displaystyle zeta (3)}$, мы можем сделать гораздо больше об этом классе дзета-константы. В частности, поскольку ${ displaystyle pi}$ и его целые степени равны трансцендентный, мы можем сделать вывод, что ${ displaystyle zeta (2k)}$ является иррациональный, а точнее, трансцендентный для всех ${ Displaystyle к geq 1}$.

Дзета-функция Римана

В Дзета-функция Римана ζ(s) является одной из самых важных функций в математике из-за ее связи с распределением простые числа. Дзета-функция определена для любого комплексное число s с действительной частью больше 1 по следующей формуле:

${ displaystyle zeta (s) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {s}}}.}.$

Принимая s = 2, Мы видим, что ζ(2) равна сумме обратных квадратов всех положительных целых чисел:

${ displaystyle zeta (2) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2}}} = { frac {1} {1 ^ {2}} } + { frac {1} {2 ^ {2}}} + { frac {1} {3 ^ {2}}} + { frac {1} {4 ^ {2}}} + cdots = { frac { pi ^ {2}} {6}} приблизительно 1.644934.}$

Сходимость может быть доказана интегральный тест, либо следующим неравенством:

${ displaystyle { begin {align} sum _ {n = 1} ^ {N} { frac {1} {n ^ {2}}} & <1+ sum _ {n = 2} ^ {N } { frac {1} {n (n-1)}} & = 1+ sum _ {n = 2} ^ {N} left ({ frac {1} {n-1}} - { frac {1} {n}} right) & = 1 + 1 - { frac {1} {N}} ; { stackrel {N to infty} { longrightarrow}} ; 2. end {align}}}$

Это дает нам верхняя граница 2, и поскольку бесконечная сумма не содержит отрицательных членов, она должна сходиться к значению строго между 0 и 2. Можно показать, что ζ(s) имеет простое выражение в терминах Числа Бернулли в любое время s - четное положительное число. С s = 2п:^[8]

${ displaystyle zeta (2n) = { frac {(2 pi) ^ {2n} (- 1) ^ {n + 1} B_ {2n}} {2 cdot (2n)!}}.}$

Строгое доказательство с использованием формулы Эйлера и правила Лопиталя.

В Функция Sinc ${ displaystyle { text {sinc}} (x) = { frac { sin ( pi x)} { pi x}}}$ имеет Факторизация Вейерштрасса представление в виде бесконечного продукта:

${ displaystyle { frac { sin ( pi x)} { pi x}} = prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1 - { frac {x ^ {2}} {n ^ {2}}} right).}$

Бесконечный продукт аналитический, так что принимая натуральный логарифм обеих сторон и дифференцирования урожайности

${ displaystyle { frac { pi cos ( pi x)} { sin ( pi x)}} - { frac {1} {x}} = - sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {2x} {n ^ {2} -x ^ {2}}}.}$

После деления уравнения на ${ displaystyle 2x}$ и перегруппировка получается

${ displaystyle { frac {1} {2x ^ {2}}} - { frac { pi cot ( pi x)} {2x}} = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2} -x ^ {2}}}.}$

Сделаем замену переменных (${ displaystyle x = -it}$):

${ displaystyle - { frac {1} {2t ^ {2}}} + { frac { pi cot (- pi it)} {2it}} = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2} + t ^ {2}}}.}$

Формула Эйлера можно использовать для вывода, что

${ displaystyle { frac { pi cot (- pi it)} {2it}} = { frac { pi} {2it}} { frac {i left (e ^ {2 pi t}) +1 right)} {e ^ {2 pi t} -1}} = { frac { pi} {2t}} + { frac { pi} {t left (e ^ {2 pi t} -1 right)}}.}$

или используя гиперболическая функция:

${ displaystyle { frac { pi cot (- pi it)} {2it}} = { frac { pi} {2t}} {i cot ( pi it)} = { frac { pi} {2t}} coth ( pi t).}$

потом

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2} + t ^ {2}}} = { frac { pi left (te ^ {2 pi t} + t right) -e ^ {2 pi t} +1} {2 left (t ^ {2} e ^ {2 pi t} -t ^ {2} right)}} = - { frac {1} {2t ^ {2}}} + { frac { pi} {2t}} coth ( pi t).}$

Теперь возьмем предел в качестве ${ displaystyle t}$ приближается к нулю и используйте Правило L'Hôpital трижды:

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2}}} = lim _ {t to 0} { frac { pi} {4} } { frac {2 pi te ^ {2 pi t} -e ^ {2 pi t} +1} { pi t ^ {2} e ^ {2 pi t} + te ^ {2 пи t} -t}}}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2}}} = lim _ {t to 0} { frac { pi ^ {3} te ^ {2 pi t}} {2 pi left ( pi t ^ {2} e ^ {2 pi t} + 2te ^ {2 pi t} right) + e ^ {2 pi t} -1}}}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2}}} = lim _ {t to 0} { frac { pi ^ {2} (2 pi t + 1)} {4 pi ^ {2} t ^ {2} +12 pi t + 6}}}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2}}} = { frac { pi ^ {2}} {6}}.}$

Строгое доказательство с использованием ряда Фурье

Использовать Личность Парсеваля (применяется к функции ж(Икс) = Икс) чтобы получить

${ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} | c_ {n} | ^ {2} = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} x ^ {2} , dx,}$

куда

${ displaystyle { begin {align} c_ {n} & = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} xe ^ {- inx} , dx [4pt] & = { frac {n pi cos (n pi) - sin (n pi)} { pi n ^ {2}}} i [4pt] & = { frac { cos (n pi)} {n}} i [4pt] & = { frac {(-1) ^ {n}} {n}} i end {выровнено}}}$

за п ≠ 0, и c₀ = 0. Таким образом,

${ displaystyle | c_ {n} | ^ {2} = { begin {cases} { dfrac {1} {n ^ {2}}}, & { text {for}} n neq 0, 0, & { text {for}} n = 0, end {case}}}$

и

${ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} | c_ {n} | ^ {2} = 2 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} { n ^ {2}}} = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} x ^ {2} , dx.}$

Следовательно,

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2}}} = { frac {1} {4 pi}} int _ {- pi } ^ { pi} x ^ {2} , dx = { frac { pi ^ {2}} {6}}}$

как требуется.

Еще одно строгое доказательство с использованием личности Парсеваля

Учитывая полный ортонормированный базис в пространстве ${ Displaystyle L _ { OperatorName {per}} ^ {2} (0,1)}$ из L2 периодические функции над ${ displaystyle (0,1)}$ (т.е. подпространство квадратично интегрируемые функции которые также периодический), обозначаемый ${ Displaystyle {е_ {я} } _ {я = - infty} ^ { infty}}$, Личность Парсеваля говорит нам, что

${ displaystyle | x | ^ {2} = sum _ {i = - infty} ^ { infty} | langle e_ {i}, x rangle | ^ {2},}$

куда ${ Displaystyle | х |: = { sqrt { langle x, x rangle}}}$ определяется в терминах внутренний продукт на этом Гильбертово пространство данный

${ displaystyle langle f, g rangle = int _ {0} ^ {1} f (x) { overline {g (x)}} , dx, f, g in L _ { operatorname { per}} ^ {2} (0,1).}$

Мы можем рассматривать ортонормированный базис на этом пространстве, определяемом ${ Displaystyle е_ {к} эквив е_ {к} ( вартета): = ехр (2 пи имат к вартета)}$ такой, что ${ displaystyle langle e_ {k}, e_ {j} rangle = int _ {0} ^ {1} e ^ {2 pi imath (kj) vartheta} , d vartheta = delta _ {k, j}}$. Тогда если мы возьмем ${ Displaystyle F ( vartheta): = vartheta}$, мы можем вычислить и то, что

${ Displaystyle { begin {align} | е | ^ {2} & = int _ {0} ^ {1} vartheta ^ {2} , d vartheta = { frac {1} {3 }} langle f, e_ {k} rangle & = int _ {0} ^ {1} vartheta e ^ {- 2 pi imath k vartheta} , d vartheta = { Biggl {} { begin {array} {ll} { frac {1} {2}}, & k = 0 - { frac {1} {2 pi imath k}} & k neq 0, конец {массив}} конец {выровненный}}}$

к элементарное исчисление и интеграция по частям, соответственно. Наконец, по Личность Парсеваля в приведенной выше форме, получаем, что

${ displaystyle { begin {align} | f | ^ {2} = { frac {1} {3}} & = sum _ { stackrel {k = - infty} {k neq 0} } ^ { infty} { frac {1} {(2 pi k) ^ {2}}} + { frac {1} {4}} = 2 sum _ {k = 1} ^ { infty } { frac {1} {(2 pi k) ^ {2}}} + { frac {1} {4}} & подразумевает { frac { pi ^ {2}} {6} } = { frac {2 pi ^ {2}} {3}} - { frac { pi ^ {2}} {2}} = zeta (2). end {align}}}$

Обобщения и рекуррентные соотношения

Обратите внимание, что при рассмотрении степеней высшего порядка ${ displaystyle f_ {j} ( vartheta): = vartheta ^ {j} in L _ { operatorname {per}} ^ {2} (0,1)}$ мы можем использовать интеграция по частям распространить этот метод на перечисление формул для ${ displaystyle zeta (2j)}$ когда ${ displaystyle j> 1}$. В частности, пусть мы

${ displaystyle I_ {j, k}: = int _ {0} ^ {1} vartheta ^ {j} e ^ {- 2 pi imath k vartheta} , d vartheta,}$

так что интеграция по частям дает отношение повторения который

${ displaystyle { begin {align} I_ {j, k} & = { Biggl {} { begin {array} {ll} { frac {1} {j + 1}}, & k = 0; - { frac {1} {2 pi imath cdot k}} + { frac {j} {2 pi imath cdot k}} I_ {j-1, k}, & k neq 0 end {array}} & = { Biggl {} { begin {array} {ll} { frac {1} {j + 1}}, & k = 0; - sum limits _ {m = 1} ^ {j} { frac {j!} {(j + 1-m)!}} cdot { frac {1} {(2 pi imath cdot k) ^ {m} }}, & k neq 0 end {array}}. end {align}}}$

Затем, применив Личность Парсеваля как мы это сделали для первого случая выше вместе с линейностью внутренний продукт дает, что

${ displaystyle { begin {align} | f_ {j} | ^ {2} = { frac {1} {2j + 1}} & = 2 sum _ {k geq 1} I_ {j, k} { bar {I}} _ {j, k} + { frac {1} {(j + 1) ^ {2}}} & = 2 sum _ {m = 1} ^ {j } sum _ {r = 1} ^ {j} { frac {j! ^ {2}} {(j + 1-m)! (j + 1-r)!}} { frac {(-1 ) ^ {r}} { imath ^ {m + r}}} { frac { zeta (m + r)} {(2 pi) ^ {m + r}}} + { frac {1} {(j + 1) ^ {2}}}. end {выравнивается}}}$

Доказательство Коши

Хотя в большинстве доказательств используются результаты расширенных математика, Такие как Анализ Фурье, комплексный анализ, и многомерное исчисление, следующее даже не требует единственной переменной исчисление (до единого предел берется в конце).

Для доказательства с помощью теорема о вычетахсм. статью по ссылке.

История этого доказательства

Доказательство восходит к Огюстен Луи Коши (Cours d'Analyse, 1821, примечание VIII). В 1954 г. это доказательство появилось в книге Акива и Исаак Яглом «Неэлементарные задачи в элементарной экспозиции». Позже, в 1982 г., она появилась в журнале. Эврика, приписываемый Джону Скоулзу, но Скоулз утверждает, что узнал доказательство от Питер Суиннертон-Дайер, и в любом случае он утверждает, что доказательство было "общеизвестным в Кембридж в конце 1960-х ».

Доказательство

Неравенство
${ displaystyle { tfrac {1} {2}} r ^ {2} tan theta> { tfrac {1} {2}} r ^ {2} theta> { tfrac {1} {2} } г ^ {2} sin theta}$
Показано. Принятие обратных величин и возведение в квадрат дает
${ displaystyle cot ^ {2} theta <{ tfrac {1} { theta ^ {2}}} < csc ^ {2} theta}$.

Основная идея доказательства - оценить частные (конечные) суммы

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {m} { frac {1} {k ^ {2}}} = { frac {1} {1 ^ {2}}} + { frac {1 } {2 ^ {2}}} + cdots + { frac {1} {m ^ {2}}}}$

между двумя выражениями, каждое из которых будет стремиться к π²/6 в качестве м приближается к бесконечности. Эти два выражения являются производными от тождеств, включающих котангенс и косеканс функции. Эти идентичности, в свою очередь, происходят из формула де Муавра, и теперь мы переходим к установлению этих идентичностей.

Позволять Икс быть реальным числом с 0 < Икс < π/2, и разреши п быть положительным нечетным целым числом. Тогда из формулы де Муавра и определения функции котангенса имеем

${ displaystyle { begin {align} { frac { cos (nx) + i sin (nx)} { sin ^ {n} x}} & = { frac {( cos x + i sin x) ^ {n}} { sin ^ {n} x}} [4pt] & = left ({ frac { cos x + i sin x} { sin x}} right) ^ {n} [4pt] & = ( cot x + i) ^ {n}. end {align}}}$

От биномиальная теорема, у нас есть

${ Displaystyle { begin {align} ( cot x + i) ^ {n} = & {n choose 0} cot ^ {n} x + {n choose 1} ( cot ^ {n-1} x) i + cdots + {n choose {n-1}} ( cot x) i ^ {n-1} + {n choose n} i ^ {n} [6pt] = & { Bigg (} {n choose 0} cot ^ {n} x- {n choose 2} cot ^ {n-2} x pm cdots { Bigg)} ; + ; i { Bigg ( } {n choose 1} cot ^ {n-1} x- {n choose 3} cot ^ {n-3} x pm cdots { Bigg)}. end {align}}}$

Объединение двух уравнений и приравнивание мнимых частей дает тождество

${ displaystyle { frac { sin (nx)} { sin ^ {n} x}} = { Bigg (} {n choose 1} cot ^ {n-1} x- {n choose 3 } cot ^ {n-3} x pm cdots { Bigg)}.}$

Возьмем это тождество, зафиксируем положительное целое число м, набор п = 2м + 1, и рассмотрим Икс_р = рπ/2м + 1 за р = 1, 2, ..., м. потом nx_р кратно π и поэтому грех (nx_р) = 0. Так,

${ displaystyle 0 = {{2m + 1} choose 1} cot ^ {2m} x_ {r} - {{2m + 1} choose 3} cot ^ {2m-2} x_ {r} pm cdots + (- 1) ^ {m} {{2m + 1} choose {2m + 1}}}$

для каждого р = 1, 2, ..., м. Ценности Икс_р = Икс₁, Икс₂, ..., Икс_м - различные числа в интервале 0 < Икс_р < π/2. Поскольку функция детская кроватка² Икс является один к одному на этом интервале числа т_р = детская кроватка² Икс_р отличны для р = 1, 2, ..., м. По приведенному выше уравнению эти м числа являются корнями ммногочлен степени

${ displaystyle p (t) = {{2m + 1} choose 1} t ^ {m} - {{2m + 1} choose 3} t ^ {m-1} pm cdots + (- 1) ^ {m} {{2m + 1} choose {2m + 1}}.}$

К Формулы Виета мы можем вычислить сумму корней непосредственно, исследуя первые два коэффициента многочлена, и это сравнение показывает, что

${ displaystyle cot ^ {2} x_ {1} + cot ^ {2} x_ {2} + cdots + cot ^ {2} x_ {m} = { frac { binom {2m + 1} {3}} { binom {2m + 1} {1}}} = { frac {2m (2m-1)} {6}}.}$

Подставляя личность csc² Икс = детская кроватка² Икс + 1, у нас есть

${ Displaystyle csc ^ {2} x_ {1} + csc ^ {2} x_ {2} + cdots + csc ^ {2} x_ {m} = { frac {2m (2m-1)} {6}} + m = { frac {2m (2m + 2)} {6}}.}$

Теперь рассмотрим неравенство детская кроватка² Икс < 1/Икс² 2 Икс (геометрически показано выше). Если сложить все эти неравенства для каждого из чисел Икс_р = рπ/2м + 1, и если мы воспользуемся двумя приведенными выше тождествами, мы получим

${ displaystyle { frac {2m (2m-1)} {6}} < left ({ frac {2m + 1} { pi}} right) ^ {2} + left ({ frac { 2m + 1} {2 pi}} right) ^ {2} + cdots + left ({ frac {2m + 1} {m pi}} right) ^ {2} <{ frac { 2 м (2 м + 2)} {6}}.}$

Умножение на (π/2м + 1)²
, это становится

${ displaystyle { frac { pi ^ {2}} {6}} left ({ frac {2m} {2m + 1}} right) left ({ frac {2m-1} {2m + 1}} right) <{ frac {1} {1 ^ {2}}} + { frac {1} {2 ^ {2}}} + cdots + { frac {1} {m ^ { 2}}} <{ frac { pi ^ {2}} {6}} left ({ frac {2m} {2m + 1}} right) left ({ frac {2m + 2} { 2m + 1}} right).}$

В качестве м приближается к бесконечности, выражения левой и правой руки приближаются π²/6, так что теорема сжатия,

${ displaystyle zeta (2) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {2}}} = lim _ {m to infty} left ( { frac {1} {1 ^ {2}}} + { frac {1} {2 ^ {2}}} + cdots + { frac {1} {m ^ {2}}} right) = { frac { pi ^ {2}} {6}}}$

и это завершает доказательство.

Другие личности

См. Особые случаи идентичностей для Дзета-функция Римана когда ${ displaystyle s = 2.}$ Другие примечательные особенности и представления этой константы появляются в разделах ниже.

Представления серий

Ниже приведены представления константы:^[9]

${ displaystyle { begin {align} zeta (2) & = 3 sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {2} { binom {2k} {k }}}} & = sum _ {i = 1} ^ { infty} sum _ {j = 1} ^ { infty} { frac {(i-1)! (j-1)! } {(i + j)!}}. конец {выровнен}}}$

Это также BBP-типа расширения серии для ζ(2).^[9]

Интегральные представления

Ниже приведены интегральные представления ${ displaystyle zeta (2) { text {:}}}$^[10][11][12]

${ displaystyle { begin {align} zeta (2) & = - int _ {0} ^ {1} { frac { log x} {1-x}} , dx [6pt] & = int _ {0} ^ { infty} { frac {x} {e ^ {x} -1}} , dx [6pt] & = int _ {0} ^ {1} { frac {( log x) ^ {2}} {(1 + x) ^ {2}}} , dx [6pt] & = 2 + 2 int _ {1} ^ { infty} { frac { lfloor x rfloor -x} {x ^ {3}}} , dx [6pt] & = exp left (2 int _ {2} ^ { infty} { frac { pi (x)} {x (x ^ {2} -1)}} , dx right) [6pt] & = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1 } { frac {dx , dy} {1-xy}} [6pt] & = { frac {4} {3}} int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} { frac {dx , dy} {1- (xy) ^ {2}}} [6pt] & = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1 } { frac {1-x} {1-xy}} , dx , dy + { frac {2} {3}}. end {align}}}$

Непрерывные дроби

В классической статье ван дер Пуртена о хронике Доказательство Апери иррациональности ${ displaystyle zeta (3)}$,^[13] автор отмечает несколько параллелей в доказательстве иррациональности ${ displaystyle zeta (2)}$ к доказательству Апери. В частности, он документирует повторяющиеся отношения для почти целое число последовательности, сходящиеся к константе, и непрерывные дроби для константы. Другие непрерывные дроби для этой константы включают^[14]

${ Displaystyle { frac { zeta (2)} {2}} = { cfrac {1} {v_ {1} - { cfrac {1 ^ {4}} {v_ {2} - { cfrac { 2 ^ {4}} {v_ {3} - { cfrac {3 ^ {4}} {v_ {4} - ddots}}}}}}}}},}$

и^{[15][ненадежный источник?]}

${ displaystyle { frac { zeta (2)} {5}} = { cfrac {1} {{ widetilde {v}} _ {1} - { cfrac {1 ^ {4}} {{ widetilde {v}} _ {2} - { cfrac {2 ^ {4}} {{ widetilde {v}} _ {3} - { cfrac {3 ^ {4}} {{ widetilde {v} } _ {4} - ddots}}}}}}}},}$

куда ${ Displaystyle v_ {п} = 2n-1 mapsto {1,3,5,7,9, ldots }}$ и ${ displaystyle { widetilde {v}} _ {n} = 11n ^ {2} -11n + 3 mapsto {3,25,69,135, ldots }}$.

Смотрите также

• Дзета-функция Римана
• Постоянная апери

Рекомендации

• Вайль, Андре (1983), Теория чисел: подход через историю, Springer-Verlag, ISBN 0-8176-3141-0.
• Данэм, Уильям (1999), Эйлер: Мастер всех нас, Математическая ассоциация Америки, ISBN 0-88385-328-0.
• Дербишир, Джон (2003), Основная одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема математики, Джозеф Генри Пресс, ISBN 0-309-08549-7.
• Айгнер, Мартин; Циглер, Гюнтер М. (1998), Доказательства из КНИГИ, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Эдвардс, Гарольд М. (2001), Дзета-функция Римана, Дувр, ISBN 0-486-41740-9.

Примечания

внешняя ссылка

• Бесконечная серия сюрпризов К. Дж. Сангвин
• Пошаговое доказательство
• "Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que взаимно" (PDF). (348 КБ), Английский перевод с примечаниями к статье Эйлера Лукаса Уиллиса и Томаса Дж. Ослера
• "Как это сделал Эйлер" (PDF). (265 КБ)
• «Бесконечный ряд Эйлера и Бернулли придает классу математический вид» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2013-04-18. Получено 2004-02-27. (106 КБ)
• "Оценка ζ(2)" (PDF). (184 КБ), Четырнадцать доказательств, составленных Робином Чепменом
• Визуализация факторизации Эйлера синусоидальной функции