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In dem Ordnungstheorie, Teil von dem Mathematik, ist ein vorbestellen oder Quasi-Ordnung, ein homogenDoppelbeziehung Das reflexiv und transitiv ist. Vorbestellungen werden oft mit dem Symbol gekennzeichnet ${displaystyle weniger sim }$. Von jeder homogenen Zwei-Stellen-Beziehung ${Anzeigestil R}$ ist die reflexiv-transitive Schließung ${displaystyle R^{*}}$ eine Vorbestellung.

eine Vorbestellung ${displaystyle weniger sim }$ ist eine abgeschwächte Form von a Teilbestellung, es ist "fast" eine Teilbestellung. Bei einer Vorbestellung ist es möglich, dass zwei Elemente in beide Richtungen ähnlich sind. Es kann also verschiedene Elemente geben ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ sind, für die beide ${displaystyle xlesssim y}$ wenn ${displaystyle ylesssim x}$.

Schwache Ordnung

EIN schwache Ordnung oder Gesamtvorbestellung ist eine homogene Zwei-Stellen-Relation, die transitiv und gesamt ist. Beachten Sie, dass Totalität Reflexivität impliziert und somit jede totale Vorbestellung ein spezifischer Fall einer Vorbestellung ist.

Eine partielle Ordnung ist eine antisymmetrische Vorordnung und eine Äquivalenzrelation ist eine symmetrische Vorordnung. Eine totale Ordnung ist eine antisymmetrische totale Vorbestellung.

Für jede Vorbestellung ${displaystyle weniger sim }$ auf ${Anzeigestil X}$ kann die Äquivalenzrelation ${displaystyle sim}$ auf ${Anzeigestil X}$ definiert werden, für die gilt, dass für alle ${Anzeigestil x,yin x}$:

${Anzeigestil xsim y}$dann und nur dann, wenn${displaystyle xlesssim y}$ und ${displaystyle ylesssim x}$.

Wenn dann eine Beziehung ${displaystyle leq }$ zu den Äquivalenzklassen ${displaystyle X/sim }$ ist definiert durch:

${displaystyle [x]leq [y]}$ wenn ${displaystyle xlesssim y}$,

dann ist ${displaystyle leq }$ eine Teilbestellung auf ${displaystyle X/sim }$.

Daraus kann eine strenge Teilordnung gewonnen werden ${Anzeigestil <}$ auf ${Anzeigestil X}$ abgeleitet werden, so dass für alle ${Anzeigestil x,yin x}$ gilt:

${Anzeigestil x$ wenn ${displaystyle [x]leq [y]}$ und ${displaystyle [x]eq [y]}$,

oder äquivalent dazu:

${Anzeigestil x$ wenn ${displaystyle xlesssim y}$ und ${displaystyle xot sim y}$.

Mit diesen Definitionen gilt für alle ${Anzeigestil x,yin x}$:

${displaystyle xlesssim y}$ und nur wenn ${Anzeigestil x$ oder ${Anzeigestil xsim y}$.

Dies erklärt die Notation ${displaystyle weniger sim }$ und gibt Einblick in die Beziehung zwischen Vorbestellungen und (strengen) Teilbestellungen. Gesamtvorbestellungen beziehen sich auf (strenge) Gesamtbestellungen ebenso wie Vorbestellungen auf (strenge) Teilbestellungen.

Der Begriff "strenge Vorbestellung" wurde nicht definiert. Immerhin sollte dies so etwas wie eine irreflexive und transitive homogene Zweipositionsrelation sein, aber Irreflexivität und Transitivität implizieren zusammen eine Asymmetrie, die eine strenge Teilordnung ergeben würde. Gleiches gilt für den Begriff „strenge Gesamtvorbestellung“. Irreflexivität und Transitivität einer Beziehung ${Anzeigestil R}$ zusammen mit der Bedingung implizieren

für alle ${Anzeigestil x,yin x}$ gilt als ${Anzeigestil xeq y}$ als ${displaystyle xRy}$ oder ${Anzeigestil yRx}$ (vgl. Gesamtheit)

nämlich eine Trichotomie, die eine strenge Gesamtordnung ergeben würde.

Es ist natürlich möglich, das Komplement einer Vorbestellung (die Umkehrung davon) zu nehmen. Bei einer Gesamtvorbestellung ergibt dies a strenge schwache Ordnung auf.

Siehe auch

• Bevorzugte Beziehung