WikiDer > Правильное ортогональное разложение

Правильное ортогональное разложение - это численный метод обычно применяется в области Заключительный элемент Моделирование.

Это позволяет снизить сложность моделирования с интенсивными вычислениями, например Вычислительная гидродинамика и Структурный анализ (подобно Моделирование сбоев). Обычно в Динамика жидкостей и турбулентность анализа, он используется для замены Уравнения Навье-Стокса с помощью более простых моделей для решения^[1].

Он принадлежит к классу алгоритмов, называемых Уменьшение заказа на модель (или сокращенно Модель Редукции). По сути, он обучает модель на основе данных моделирования. В этом смысле его можно отнести к области машинное обучение.

POD и PCA

Основное использование POD - разлагать физическое поле (например, давление, температура в гидродинамике или напряжение и деформация в структурном анализе), зависящее от различных переменных, которые влияют на его физическое поведение. Как следует из названия, он выполняет ортогональную декомпозицию вместе с основными компонентами поля. Как таковой он ассимилируется с Анализ главных компонентов от Пирсона в области статистики, или Разложение по сингулярным значениям в линейной алгебре, потому что он относится к собственные значения и собственные векторы физического поля. В этих областях он связан с исследованиями Карунена.^[2] и Лоэв^[3], и их Теорема Карунена – Лоэва.

Математическое выражение

Первая идея Правильного Ортогонального Разложения (POD), как она была первоначально сформулирована в области гидродинамики для анализа турбулентности, заключается в разложении случайного векторного поля и (х, т) в набор детерминированных пространственных функций Φ_k(Икс) модулируется случайными временными коэффициентами а_k(т) так что:

${ Displaystyle и (х, т) = сумма _ {к = 1} ^ { infty} а_ {к} (т) фи _ {к} (х)}$

Снимки POD

Первым шагом является выборка векторного поля в течение определенного периода времени в так называемых снимках (как отображается на изображении снимков POD). Этот метод снимка^[4] усредняет выборки по пространственному измерению п, и коррелируя их друг с другом по временным выборкам п:

${ displaystyle U = { begin {pmatrix} u (x_ {1}, t_ {1}) & ... & u (x_ {n}, t_ {1}) ... && ... u (x_ {1}, t_ {p}) & ... & u (x_ {n}, t_ {p}) end {pmatrix}}}$ с п пространственные элементы и п образцы времени

Следующим шагом будет вычисление ковариационная матрица C

${ displaystyle C = { frac {1} {(p-1)}} U ^ {T} U}$

Затем мы вычисляем собственные значения и собственные векторы C и упорядочиваем их от наибольшего собственного значения к наименьшему.

Мы получаем n собственных значений λ1 ... λn и набор из n собственных векторов, расположенных в виде столбцов в матрице Φ размера n × n:

${ displaystyle phi = { begin {pmatrix} phi _ {1,1} & ... & phi _ {1, n} ... && ... phi _ {n, 1} & ... & phi _ {n, n} end {pmatrix}}}$

Курсы на POD

• Массачусетский технологический институт: http://web.mit.edu/6.242/www/images/lec6_6242_2004.pdf
• Стэнфордский университет - Чарбель Фархат и Дэвид Амсаллем https://web.stanford.edu/group/frg/course_work/CME345/CA-CME345-Ch4.pdf
• Вайс, Жюльен: Учебник по правильной ортогональной декомпозиции. В: Авиационный форум AIAA 2019. 17–21 июня 2019 г., Даллас, Техас, США.
• Курс французского от CNRS https://www.math.u-bordeaux.fr/~mbergman/PDF/OuvrageSynthese/OCET06.pdf
• Приложения правильного метода ортогональной декомпозиции http://www.cerfacs.fr/~cfdbib/repository/WN_CFD_07_97.pdf

Рекомендации