WikiDer > Правильное ортогональное разложение

Proper orthogonal decomposition

Правильное ортогональное разложение - это численный метод обычно применяется в области Заключительный элемент Моделирование.

Это позволяет снизить сложность моделирования с интенсивными вычислениями, например Вычислительная гидродинамика и Структурный анализ (подобно Моделирование сбоев). Обычно в Динамика жидкостей и турбулентность анализа, он используется для замены Уравнения Навье-Стокса с помощью более простых моделей для решения[1].

Он принадлежит к классу алгоритмов, называемых Уменьшение заказа на модель (или сокращенно Модель Редукции). По сути, он обучает модель на основе данных моделирования. В этом смысле его можно отнести к области машинное обучение.

POD и PCA

Основное использование POD - разлагать физическое поле (например, давление, температура в гидродинамике или напряжение и деформация в структурном анализе), зависящее от различных переменных, которые влияют на его физическое поведение. Как следует из названия, он выполняет ортогональную декомпозицию вместе с основными компонентами поля. Как таковой он ассимилируется с Анализ главных компонентов от Пирсона в области статистики, или Разложение по сингулярным значениям в линейной алгебре, потому что он относится к собственные значения и собственные векторы физического поля. В этих областях он связан с исследованиями Карунена.[2] и Лоэв[3], и их Теорема Карунена – Лоэва.

Математическое выражение

Первая идея Правильного Ортогонального Разложения (POD), как она была первоначально сформулирована в области гидродинамики для анализа турбулентности, заключается в разложении случайного векторного поля и (х, т) в набор детерминированных пространственных функций Φk(Икс) модулируется случайными временными коэффициентами аk(т) так что:


Снимки POD

Первым шагом является выборка векторного поля в течение определенного периода времени в так называемых снимках (как отображается на изображении снимков POD). Этот метод снимка[4] усредняет выборки по пространственному измерению п, и коррелируя их друг с другом по временным выборкам п:


с п пространственные элементы и п образцы времени


Следующим шагом будет вычисление ковариационная матрица C

Mor-diagram.png


Затем мы вычисляем собственные значения и собственные векторы C и упорядочиваем их от наибольшего собственного значения к наименьшему.

Мы получаем n собственных значений λ1 ... λn и набор из n собственных векторов, расположенных в виде столбцов в матрице Φ размера n × n:


Курсы на POD

Рекомендации

  1. ^ Беркооз, Г; Холмс, П; Ламли, Дж. Л. (январь 1993 г.). «Правильное ортогональное разложение при анализе турбулентных течений». Ежегодный обзор гидромеханики. 25 (1): 539–575. Дои:10.1146 / annurev.fl.25.010193.002543. ISSN 0066-4189.
  2. ^ Карунен, Кари (1946). Zur спектральная теория стохастикер прозу.
  3. ^ Дэвид, Ф. Н .; Лоэв, М. (декабрь 1955 г.). "Теория вероятности". Биометрика. 42 (3/4): 540. Дои:10.2307/2333409. ISSN 0006-3444.
  4. ^ Сирович, Лоуренс (1987-10-01). «Турбулентность и динамика когерентных структур. I. Когерентные структуры». Квартал прикладной математики. 45 (3): 561–571. Дои:10.1090 / qam / 910462. ISSN 0033-569X.