WikiDer > Теорема типа Римана – Роха.

Riemann–Roch-type theorem

В алгебраической геометрии существуют различные обобщения Теорема Римана – Роха; среди самых известных Теорема Гротендика – Римана – Роха., который далее обобщается формулировкой Fulton et al.

Формула Баума, Фултона и Макферсона

Позволять ${ displaystyle G _ {*}}$ и ${ displaystyle A _ {*}}$ быть функторами в категории C разделенных и локально конечных схем над базовым полем k с правильные морфизмы такой, что

${ displaystyle G _ {*} (X)}$ это Группа Гротендик из когерентные пучки на Икс,
${ displaystyle A _ {*} (X)}$ рациональный Группа чау изИкс,
для каждого собственного морфизма ж, ${ Displaystyle G _ {*} (е), A _ {*} (е)}$ прямые изображения (или продвижение вперед) вдоль ж.

Кроме того, если ${ displaystyle f: от X до Y}$ является (глобальным) локальный морфизм полного пересечения; т.е. факторизуется как замкнутое регулярное вложение ${ Displaystyle X hookrightarrow P}$ в гладкую схему п с последующим гладким морфизмом ${ displaystyle P to Y}$ , тогда пусть

{ displaystyle T_ {f} = [T_ {P / Y} | _ {X}] - [N_ {X / P}]}

- класс в группе Гротендика векторных расслоений на Икс; он не зависит от факторизации и называется виртуальный касательный пучок изж.

Тогда теорема Римана – Роха сводится к построению единственного естественная трансформация:^[1]

{ displaystyle tau: G _ {*} to A _ {*}}

между двумя функторами так, что для каждой схемы Икс в C, гомоморфизм ${ Displaystyle тау _ {X}: от G (X) до A (X)}$ удовлетворяет: для локального морфизма полного пересечения ${ displaystyle f: от X до Y}$ , когда есть закрытые вложения ${ Displaystyle X подмножество M, Y подмножество P}$ в гладкие схемы,

{ displaystyle tau _ {X} f ^ {*} = operatorname {td} (T_ {f}) cdot f ^ {*} tau _ {Y}}

куда ${ displaystyle operatorname {td}}$ относится к Тодд класс.

Более того, он обладает свойствами:

${ Displaystyle тау _ {Икс} ( бета otimes альфа) = OperatorName {ch} ( бета) тау ( альфа)}$ для каждого ${ Displaystyle альфа в G _ {*} (X)}$ и Черн класс ${ displaystyle operatorname {ch} ( beta)}$ (или его действие) ${ displaystyle beta}$ в группе Гротендика векторных расслоений на Икс.
Это Икс замкнутая подсхема гладкой схемы M, то теорема является (грубо) ограничением теоремы в гладком случае и может быть записана в терминах локализованный класс Черна.

Эквивариантная теорема Римана – Роха.

Для комплексных чисел теорема является (или может быть интерпретирована как) частным случаем эквивариантная теорема об индексе.

Теорема Римана – Роха для стеков Делиня – Мамфорда.

Помимо алгебраических пространств, для стеков невозможно прямое обобщение. Осложнение уже появляется в случае орбифолда (Риман – Рох от Кавасаки).

Эквивариантная теорема Римана – Роха для конечных групп во многих ситуациях эквивалентна теореме Римана – Роха для конечных групп. частные стеки конечными группами.

Одно из важных приложений теоремы состоит в том, что она позволяет определить виртуальный фундаментальный класс с точки зрения K-теоретический виртуальный фундаментальный класс.