WikiDer > Непрерывная дробь Роджерса – Рамануджана

В Непрерывная дробь Роджерса – Рамануджана это непрерывная дробь обнаружен Роджерс (1894) и независимо Шриниваса Рамануджан, и тесно связан с Роджерс-Рамануджан идентичности. Его можно явно оценить для широкого класса значений его аргумента.

Раскраска домена представление сходящейся ${displaystyle A_ {400} (q) / B_ {400} (q)}$ функции ${displaystyle q ^ {- 1/5} R (q)}$, где ${displaystyle R (q)}$ - непрерывная дробь Роджерса – Рамануджана.

Определение

Представление приближения ${displaystyle q ^ {1/5} A_ {400} (q) / B_ {400} (q)}$ непрерывной фракции Роджерса – Рамануджана.

Учитывая функции г(q) и ЧАС(q), появляющиеся в тождествах Роджерса – Рамануджана,

${displaystyle {egin {выравнивается} G (q) & = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {q ^ {n ^ {2}}} {(1-q) (1-q ^ {2 }) cdots (1-q ^ {n})}} = сумма _ {n = 0} ^ {infty} {frac {q ^ {n ^ {2}}} {(q; q) _ {n}} } = {frac {1} {(q; q ^ {5}) _ {infty} (q ^ {4}; q ^ {5}) _ {infty}}} & = prod _ {n = 1} ^ {infty} {frac {1} {(1-q ^ {5n-1}) (1-q ^ {5n-4})}} & = {sqrt [{60}] {qj}}, _ {2} F_ {1} left (- {frac {1} {60}}, {frac {19} {60}}; {frac {4} {5}}; {frac {1728} {j}} ight ) & = {sqrt [{60}] {qleft (j-1728ight)}}, _ {2} F_ {1} left (- {frac {1} {60}}, {frac {29} {60} }; {frac {4} {5}}; - {frac {1728} {j-1728}} ight) & = 1 + q + q ^ {2} + q ^ {3} + 2q ^ {4} + 2q ^ {5} + 3q ^ {6} + cdots конец {выровнен}}}$

и,

${displaystyle {egin {align} H (q) & = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {q ^ {n ^ {2} + n}} {(1-q) (1-q ^ {2}) cdots (1-q ^ {n})}} = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {q ^ {n ^ {2} + n}} {(q; q) _ {n}}} = {frac {1} {(q ^ {2}; q ^ {5}) _ {infty} (q ^ {3}; q ^ {5}) _ {infty}}} & = prod _ {n = 1} ^ {infty} {frac {1} {(1-q ^ {5n-2}) (1-q ^ {5n-3})}} & = {frac {1} {sqrt [{60}] {q ^ {11} j ^ {11}}}}, _ {2} F_ {1} left ({frac {11} {60}}, {frac {31} {60} }; {frac {6} {5}}; {frac {1728} {j}} ight) & = {frac {1} {sqrt [{60}] {q ^ {11} left (j-1728ight) ^ {11}}}}, _ {2} F_ {1} left ({frac {11} {60}}, {frac {41} {60}}; {frac {6} {5}}; - { frac {1728} {j-1728}} ight) & = 1 + q ^ {2} + q ^ {3} + q ^ {4} + q ^ {5} + 2q ^ {6} + 2q ^ { 7} + конец cdots {выровнено}}}$

OEIS: A003114 и OEIS: A003106соответственно, где ${displaystyle (a; q) _ {infty}}$ обозначает бесконечный символ q-Pochhammer, j это j-функция, и ₂F₁ это гипергеометрическая функция, то непрерывная дробь Роджерса – Рамануджана равна,

${displaystyle {egin {выравнивается} R (q) & = {frac {q ^ {frac {11} {60}} H (q)} {q ^ {- {frac {1} {60}}} G (q )}} = q ^ {frac {1} {5}} prod _ {n = 1} ^ {infty} {frac {(1-q ^ {5n-1}) (1-q ^ {5n-4} )} {(1-q ^ {5n-2}) (1-q ^ {5n-3})}} & = {cfrac {q ^ {1/5}} {1+ {cfrac {q} { 1+ {cfrac {q ^ {2}} {1+ {cfrac {q ^ {3}} {1 + ddots}}}}}}} конец {выровнено}}}$

Модульные функции

Если ${displaystyle q = e ^ {2pi {m {i}} au}}$, тогда ${displaystyle q ^ {- {frac {1} {60}}} G (q)}$ и ${displaystyle q ^ {frac {11} {60}} H (q)}$, а также их частное ${displaystyle R (q)}$, находятся модульные функции из ${displaystyle au}$. Поскольку они имеют целые коэффициенты, теория комплексное умножение означает, что их значения для ${displaystyle au}$ мнимые квадратичные иррациональные алгебраические числа которые можно оценить явно.

Примеры

${displaystyle R {ig (} e ^ {- 2pi} {ig)} = {cfrac {e ^ {- {frac {2pi} {5}}}} {1+ {cfrac {e ^ {- 2pi}} { 1+ {cfrac {e ^ {- 4pi}} {1 + ddots}}}}}} = {{sqrt {5+ {sqrt {5}} более 2}} - phi}}$

${displaystyle R {ig (} e ^ {- 2 {sqrt {5}} pi} {ig)} = {cfrac {e ^ {- {frac {2pi} {sqrt {5}}}}} {1+ { cfrac {e ^ {- 2pi {sqrt {5}}}} {1+ {cfrac {e ^ {- 4pi {sqrt {5}}}} {1 + ddots}}}}}} = {frac {sqrt { 5}} {1+ {ig (} 5 ^ {3/4} (phi -1) ^ {5/2} -1 {ig)} ^ {1/5}}} - {phi}}$

где ${displaystyle phi = {frac {1+ {sqrt {5}}} {2}}}$ это Золотое сечение.

Отношение к модульным формам

Это может быть связано с Функция Дедекинда эта, а модульная форма веса 1/2, так как,^[1]

${displaystyle {frac {1} {R (q)}} - R (q) = {frac {eta ({frac {au} {5}})} {eta (5 au)}} + 1}$

${displaystyle {frac {1} {R ^ {5} (q)}} - R ^ {5} (q) = left [{frac {eta (au)} {eta (5 au)}} ight] ^ { 6} +11}$

Отношение к j-функции

Среди множества формул j-функция, один,

${displaystyle j (au) = {гидроразрыв {(x ^ {2} + 10x + 5) ^ {3}} {x}}}$

где

${displaystyle x = left [{frac {{sqrt {5}}, eta (5 au)} {eta (au)}} ight] ^ {6}}$

Исключив частное эта, можно выразить j(τ) с точки зрения ${displaystyle r = R (q)}$ так как,

${displaystyle {egin {align} & j (au) = - {frac {(r ^ {20} -228r ^ {15} + 494r ^ {10} + 228r ^ {5} +1) ^ {3}} {r ^ {5} (r ^ {10} + 11r ^ {5} -1) ^ {5}}} [6pt] & j (au) -1728 = - {frac {(r ^ {30} + 522r ^ { 25} -10005r ^ {20} -10005r ^ {10} -522r ^ {5} +1) ^ {2}} {r ^ {5} (r ^ {10} + 11r ^ {5} -1) ^ {5}}} конец {выровнено}}}$

где числитель и знаменатель являются полиномиальными инвариантами икосаэдр. Используя модульное уравнение между ${displaystyle R (q)}$ и ${displaystyle R (q ^ {5})}$, обнаруживается, что,

${displaystyle j (5 au) = - {frac {(r ^ {20} + 12r ^ {15} + 14r ^ {10} -12r ^ {5} +1) ^ {3}} {r ^ {25} (г ^ {10} + 11r ^ {5} -1)}}}$

позволять ${displaystyle z = r ^ {5} - {гидроразрыв {1} {r ^ {5}}}}$,тогда${displaystyle j (5 au) = - {frac {left (z ^ {2} + 12z + 16ight) ^ {3}} {z + 11}}}$

где

${displaystyle {egin {align} & z_ {infty} = - left [{frac {{sqrt {5}}, eta (25 au)} {eta (5 au)}} ight] ^ {6} -11, z_ { 0} = - слева [{frac {eta (au)} {eta (5 au)}} ight] ^ {6} -11, z_ {1} = left [{frac {eta ({frac {5 au +2 } {5}})} {eta (5 au)}} ight] ^ {6} -11, [6pt] & z_ {2} = - left [{frac {eta ({frac {5 au +4} { 5}})} {eta (5 au)}} ight] ^ {6} -11, z_ {3} = left [{frac {eta ({frac {5 au +6} {5}})} {eta (5 а.е.)}} ight] ^ {6} -11, z_ {4} = - влево [{frac {eta ({frac {5 au +8} {5}})} {eta (5 au)}} ight] ^ {6} -11end {выровнено}}}$

который на самом деле является j-инвариантом эллиптическая кривая,

${displaystyle y ^ {2} + (1 + r ^ {5}) xy + r ^ {5} y = x ^ {3} + r ^ {5} x ^ {2}}$

параметризованный точками непереброса модульная кривая ${displaystyle X_ {1} (5)}$.

Функциональное уравнение

Для удобства можно также использовать обозначение ${displaystyle r (au) = R (q)}$ когда q = e^2πiτ. В то время как другие модульные функции, такие как j-инвариант, удовлетворяют,

${displaystyle j (- {frac {1} {au}}) = j (au)}$

и эта функция Дедекинда имеет,

${displaystyle eta (- {frac {1} {au}}) = {sqrt {-i au}}, eta (au)}$

то функциональное уравнение непрерывной фракции Роджерса – Рамануджана включает^[2] то Золотое сечение ${displaystyle phi}$,

${displaystyle r (- {frac {1} {au}}) = {frac {1-phi, r (au)} {phi + r (au)}}}$

Кстати,

${displaystyle r ({frac {7 + i} {10}}) = i}$

Модульные уравнения

Есть модульные уравнения между ${displaystyle R (q)}$ и ${displaystyle R (q ^ {n})}$. Элегантные для маленьких премьер п являются следующими.^[3]

Для ${displaystyle n = 2}$, позволять ${displaystyle u = R (q)}$ и ${displaystyle v = R (q ^ {2})}$, тогда ${displaystyle v-u ^ {2} = (v + u ^ {2}) uv ^ {2}.}$

Для ${displaystyle n = 3}$, позволять ${displaystyle u = R (q)}$ и ${displaystyle v = R (q ^ {3})}$, тогда ${displaystyle (v-u ^ {3}) (1 + uv ^ {3}) = 3u ^ {2} v ^ {2}.}$

Для ${displaystyle n = 5}$, позволять ${displaystyle u = R (q)}$ и ${displaystyle v = R (q ^ {5})}$, тогда ${displaystyle (v ^ {4} -3v ^ {3} + 4v ^ {2} -2v + 1) v = (v ^ {4} + 2v ^ {3} + 4v ^ {2} + 3v + 1) u ^ {5}.}$

Для ${displaystyle n = 11}$, позволять ${displaystyle u = R (q)}$ и ${displaystyle v = R (q ^ {11})}$, тогда ${displaystyle uv (u ^ {10} + 11u ^ {5} -1) (v ^ {10} + 11v ^ {5} -1) = (u-v) ^ {12}.}$

Что касается ${displaystyle n = 5}$, Обратите внимание, что

${displaystyle v ^ {10} + 11v ^ {5} -1 = (v ^ {2} + v-1) (v ^ {4} -3v ^ {3} + 4v ^ {2} -2v + 1) (v ^ {4} + 2v ^ {3} + 4v ^ {2} + 3v + 1).}$

Другие результаты

Рамануджан обнаружил много других интересных результатов, касающихся р(q).^[4] Позволять ${displaystyle u = R (q ^ {a})}$, ${displaystyle v = R (q ^ {b})}$, и ${displaystyle phi}$ как Золотое сечение.

Если ${displaystyle ab = 4pi ^ {2}}$, тогда ${displaystyle (u + phi) (v + phi) = {sqrt {5}}, phi.}$

Если ${displaystyle 5ab = 4pi ^ {2}}$, тогда ${displaystyle (u ^ {5} + phi ^ {5}) (v ^ {5} + phi ^ {5}) = 5 {sqrt {5}}, phi ^ {5}.}$

Полномочия р(q) также могут быть выражены необычными способами. Для своего куб,

${displaystyle R ^ {3} (q) = {frac {alpha} {eta}}}$

где,

${displaystyle alpha = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {q ^ {2n}} {1-q ^ {5n + 2}}} - sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {q ^ {3n + 1}} {1-q ^ {5n + 3}}}}$

${displaystyle eta = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {q ^ {n}} {1-q ^ {5n + 1}}} - sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {q ^ {4n + 3}} {1-q ^ {5n + 4}}}}$

Для его пятой степени пусть ${displaystyle w = R (q) R ^ {2} (q ^ {2})}$, тогда,

${displaystyle R ^ {5} (q) = wleft ({frac {1-w} {1 + w}} ight) ^ {2}, ;; R ^ {5} (q ^ {2}) = w ^ {2} слева ({frac {1 + w} {1-w}} ight)}$

использованная литература

• Роджерс, Л. Дж. (1894), «Второй мемуар о расширении некоторых бесконечных продуктов», Proc. Лондонская математика. Soc., s1-25 (1): 318–343, Дои:10.1112 / плмс / с1-25.1.318
• Berndt, B.C .; Chan, H.H .; Huang, S. S .; Kang, S. Y .; Sohn, J .; Сын, С. Х. (1999), "Непрерывная фракция Роджерса-Рамануджана" (PDF), Журнал вычислительной и прикладной математики, 105 (1–2): 9–24, Дои:10.1016 / S0377-0427 (99) 00033-3

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Роджерс-Рамануджан идентичности". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана». MathWorld.