WikiDer > Грубый путь - Википедия

В стохастический анализ, а грубый путь является обобщением понятия гладкого пути, позволяющим построить теорию робастных решений для контролируемых дифференциальные уравнения управляемый классическими нерегулярными сигналами, например Винеровский процесс. Теория была разработана в 1990-х гг. Терри Лайонс.^[1][2][3]Доступны несколько версий теории.^[4][5][6][7]

Теория грубого пути сосредоточена на улавливании и точном взаимодействии между сильно колеблющимися и нелинейными системами. Он основан на гармоническом анализе Л.К. Юнга, геометрическая алгебра К. Чен, теория функций Липшица Х. Уитни и основные идеи стохастического анализа. Понятия и единые оценки имеют широкое применение в чистой и прикладной математике и за ее пределами. Он предоставляет набор инструментов для относительно легкого восстановления многих классических результатов стохастического анализа (теоремы Вонга-Закая, Строока-Варадхана, построение стохастических потоков и т. Д.) Без использования конкретных вероятностных свойств, таких как мартингейл собственность или предсказуемость. Теория также расширяется Теория SDE Ито далеко за пределами настройки семимартингейла. В основе математики лежит задача описания гладкого, но потенциально очень колеблющегося и многомерного пути. ${ displaystyle x_ {t}}$ эффективно, чтобы точно предсказать его влияние на нелинейную динамическую систему ${ Displaystyle mathrm {d} y_ {t} = f (y_ {t}) , mathrm {d} x_ {t}, y_ {0} = a}$. Сигнатура - это гомоморфизм моноида путей (при конкатенации) в группоподобные элементы свободной тензорной алгебры. Он предоставляет постепенное изложение пути ${ displaystyle x}$. Это некоммутативное преобразование верно для путей вплоть до соответствующих нулевых модификаций. Эти постепенные обобщения или особенности пути лежат в основе определения грубого пути; локально они устраняют необходимость смотреть на тонкую структуру пути. Теорема Тейлора объясняет, как любая гладкая функция может быть локально выражена как линейная комбинация определенных специальных функций (одночленов, основанных на этой точке). Повторяющиеся по координатам интегралы (члены сигнатуры) образуют более тонкую алгебру свойств, которые могут аналогичным образом описывать поток или путь; они позволяют определять приблизительный путь и образуют естественный линейный «базис» для непрерывных функций на путях.

Мартин Хайрер использовали грубые пути для построения теории робастного решения для Уравнение КПЗ.^[8] Затем он предложил обобщение, известное как теория структуры регулярности^[9] за что он был награжден Медаль Филдса в 2014.

Мотивация

Теория грубого пути стремится понять управляемое дифференциальное уравнение

${ Displaystyle mathrm {d} Y_ {t} ^ {i} = sum _ {j = 1} ^ {d} V_ {j} ^ {i} (Y_ {t}) , mathrm {d} X_ {t} ^ {j}.}$

где контроль, непрерывный путь ${ displaystyle X_ {t}}$ принимая ценности в Банахово пространство, не обязательно должны быть дифференцируемыми или ограниченной вариацией. Распространенный пример контролируемого пути ${ displaystyle X_ {t}}$ это примерный путь Винеровский процесс. В этом случае упомянутое управляемое дифференциальное уравнение можно интерпретировать как стохастическое дифференциальное уравнение и интеграция против "${ displaystyle mathrm {d} X_ {t} ^ {j}}$"можно определить в смысле Ито. Однако исчисление Ито определяется в смысле ${ displaystyle L ^ {2}}$ и, в частности, не является пошаговым определением. Неровные пути дают почти надежное путевое определение стохастического дифференциального уравнения. Понятие грубого пути решения корректно в том смысле, что если ${ Displaystyle X (п) _ {т}}$ представляет собой последовательность гладких путей, сходящихся к ${ displaystyle X_ {t}}$ в ${ displaystyle p}$-вариационная метрика (описанная ниже) и

${ displaystyle mathrm {d} Y (n) _ {t} ^ {i} = sum _ {j = 1} ^ {d} V_ {j} ^ {i} (Y_ {t}) , mathrm {d} X (n) _ {t} ^ {j};}$

${ Displaystyle mathrm {d} Y_ {t} ^ {i} = sum _ {j = 1} ^ {d} V_ {j} ^ {i} (Y_ {t}) , mathrm {d} X_ {t} ^ {j},}$

тогда ${ Displaystyle Y (п)}$ сходится к ${ displaystyle Y}$ в ${ displaystyle p}$-вариационная метрика. Это свойство непрерывности и детерминированный характер решений позволяет упростить и усилить многие результаты стохастического анализа, такие как Теория большого отклонения Фрейдлина-Вентцелля^[10] а также результаты о стохастических потоках.

Фактически, теория грубого пути может выходить далеко за рамки Ито и Стратонович исчисления и позволяет понять дифференциальные уравнения, управляемые не-семимартингал пути, такие как Гауссовские процессы и Марковские процессы.^[11]

Определение грубого пути

Грубые пути - это пути, принимающие значения в усеченной свободной тензорной алгебре (точнее: в свободной нильпотентной группе, вложенной в свободную тензорную алгебру), которые в этом разделе вкратце напоминаются. Тензорные степени ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$, обозначенный ${ displaystyle { big (} mathbb {R} ^ {d} { big)} ^ { otimes n}}$, снабжены проективной нормой ${ Displaystyle Vert cdot Vert}$ (видеть Топологическое тензорное произведение, обратите внимание, что теория грубого пути на самом деле работает для более общего класса норм). Позволять ${ Displaystyle Т ^ {(п)} ( mathbb {R} ^ {d})}$ усеченная тензорная алгебра

${ displaystyle T ^ {(n)} ( mathbb {R} ^ {d}) = bigoplus _ {i = 0} ^ {n} { big (} mathbb {R} ^ {d} { большой)} ^ { otimes i},}$ где по соглашению ${ Displaystyle ( mathbb {R} ^ {d}) ^ { otimes 0} cong mathbb {R}}$.

Позволять ${ Displaystyle треугольник _ {0,1}}$ быть симплексом ${ displaystyle {(s, t): 0 leq s leq t leq 1 }}$. Позволять ${ displaystyle p geq 1}$. Позволять ${ displaystyle mathbf {X}}$ и ${ displaystyle mathbf {Y}}$ быть непрерывными отображениями ${ Displaystyle треугольник _ {0,1} к T ^ {( lfloor p rfloor)} ( mathbb {R} ^ {d})}$. Позволять ${ displaystyle mathbf {X} ^ {j}}$ обозначают проекцию ${ displaystyle mathbf {X}}$ на ${ displaystyle j}$-тензоров, а также для ${ displaystyle mathbf {Y} ^ {j}}$. В ${ displaystyle p}$-вариационная метрика определяется как

${ displaystyle d_ {p} left ( mathbf {X}, mathbf {Y} right): = max _ {j = 1, ldots, lfloor p rfloor} sup _ {0 = t_ {0}$

где супремум берется по всем конечным разбиениям ${ displaystyle {0 = t_ {0}$ из ${ displaystyle [0,1]}$.

Непрерывная функция ${ Displaystyle mathbf {X}: треугольник _ {0,1} rightarrow T ^ {( lfloor p rfloor)} ( mathbb {R} ^ {d})}$ это ${ displaystyle p}$-геометрический грубый путь если существует последовательность путей с конечной полной вариацией ${ Displaystyle Х (1), Х (2), ldots}$ такой, что

${ displaystyle mathbf {X} (n) _ {s, t} = left (1, int _ {s$

сходится в ${ displaystyle p}$-вариационная метрика к ${ displaystyle mathbf {X}}$ в качестве ${ Displaystyle п rightarrow infty}$.^[12]

Универсальная предельная теорема

Центральным результатом теории грубого пути является ЛионУниверсальная предельная теорема.^[13] Одна (слабая) версия результата следующая: Пусть ${ Displaystyle X (п)}$ - последовательность путей с конечной полной вариацией, и пусть

${ displaystyle mathbf {X} (n) _ {s, t} = left (1, int _ {s$ обозначают подъем по грубой траектории ${ Displaystyle X (п)}$.

Предположим, что ${ Displaystyle mathbf {X} (п)}$ сходится в ${ displaystyle p}$-вариационная метрика к ${ displaystyle p}$-геометрический грубый путь ${ displaystyle mathbf {X}}$ в качестве ${ Displaystyle п к infty}$. Позволять ${ Displaystyle (V_ {j} ^ {i}) _ {j = 1, ldots, d} ^ {i = 1, ldots, n}}$ быть функциями, которые имеют не менее ${ displaystyle lfloor p rfloor}$ ограниченные производные и ${ displaystyle lfloor p rfloor}$-ые производные ${ displaystyle alpha}$-Hölder Continuous для некоторых ${ Displaystyle альфа> p- lfloor p rfloor}$. Позволять ${ Displaystyle Y (п)}$ - решение дифференциального уравнения

${ displaystyle mathrm {d} Y (n) _ {t} ^ {i} = sum _ {j = 1} ^ {d} V_ {j} ^ {i} (Y (n) _ {t} ) , mathrm {d} X (n) _ {t} ^ {j}}$

и разреши ${ Displaystyle mathbf {Y} (п)}$ быть определенным как

${ Displaystyle mathbf {Y} (п) _ {s, t} = left (1, int _ {s$

потом ${ Displaystyle mathbf {Y} (п)}$ сходится в ${ displaystyle p}$-вариационная метрика к ${ displaystyle p}$-геометрический грубый путь ${ displaystyle mathbf {Y}}$.

Более того, ${ displaystyle mathbf {Y}}$ является решением дифференциального уравнения

${ Displaystyle mathrm {d} Y_ {t} ^ {i} = sum _ {j = 1} ^ {d} V_ {j} ^ {i} (Y_ {t}) , mathrm {d} X_ {t} ^ {j} qquad ( звезда)}$

ведомый геометрическим грубым путем ${ displaystyle mathbf {X}}$.

Вкратце, теорему можно интерпретировать как утверждение, что отображение решения (также известное как отображение Ито-Лиона) ${ Displaystyle Phi: G Omega _ {p} ( mathbb {R} ^ {d}) to G Omega _ {p} ( mathbb {R} ^ {e})}$ RDE ${ Displaystyle ( звезда)}$ непрерывно (и фактически локально липшицево) в ${ displaystyle p}$-вариационная топология. Следовательно, теория грубых путей демонстрирует, что, рассматривая управляющие сигналы как грубые пути, можно получить надежную теорию решений для классических стохастических дифференциальных уравнений и не только.

Примеры грубых путей

Броуновское движение

Позволять ${ Displaystyle (В_ {т}) _ {т geq 0}}$ - многомерное стандартное броуновское движение. Позволять ${ displaystyle circ}$ обозначить Интеграция Стратоновича. потом

${ Displaystyle mathbf {B} _ {s, t} = left (1, int _ {s$

это ${ displaystyle p}$-геометрическая грубая дорожка для любого ${ displaystyle 2$

. Этот геометрический грубый путь называется Стратонович Броуновский грубый путь.

Дробное броуновское движение

В общем, пусть ${ Displaystyle B_ {H} (т)}$ быть многомерным дробное броуновское движение (процесс, координатные компоненты которого являются независимыми дробными броуновскими движениями) с ${ displaystyle H> { frac {1} {4}}}$. Если ${ Displaystyle B_ {H} ^ {m} (т)}$ это ${ displaystyle m}$-й диадической кусочно-линейной интерполяцией ${ Displaystyle B_ {H} (т)}$, тогда

${ displaystyle { begin {align} mathbf {B} _ {H} ^ {m} (s, t) = left (1, int _ {s$

почти наверняка сходится в ${ displaystyle p}$-вариационная метрика к ${ displaystyle p}$-геометрический грубый путь для ${ displaystyle { frac {1} {H}}$.^[14] Этот ограничивающий геометрический грубый путь можно использовать для понимания дифференциальных уравнений, управляемых дробным броуновским движением с параметром Херста. ${ displaystyle H> { frac {1} {4}}}$. Когда ${ displaystyle 0$, оказывается, что указанный предел по диадическим приближениям не сходится в ${ displaystyle p}$-вариация. Однако можно, конечно, по-прежнему понимать дифференциальные уравнения при условии, что один демонстрирует грубый подъем, существование такого (неуникального) подъема является следствием Теорема Лайона – Виктуара о продолжении.

Неуникальность улучшения

В общем, пусть ${ Displaystyle (X_ {т}) _ {т geq 0}}$ быть ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$-значный случайный процесс. Если можно почти наверняка построить функции ${ displaystyle (s, t) rightarrow mathbf {X} _ {s, t} ^ {j} in { big (} mathbb {R} ^ {d} { big)} ^ { otimes j}}$ так что

${ displaystyle mathbf {X}: (s, t) rightarrow (1, X_ {t} -X_ {s}, mathbf {X} _ {s, t} ^ {2}, ldots, mathbf {X} _ {s, t} ^ { lfloor p rfloor})}$

это ${ displaystyle p}$-геометрический грубый путь, ${ displaystyle mathbf {X} _ {s, t}}$ является улучшение процесса ${ displaystyle X}$. Как только улучшение будет выбрано, аппарат теории грубого пути позволит разобраться в управляемом дифференциальном уравнении

${ Displaystyle mathrm {d} Y_ {t} ^ {i} = sum _ {j = 1} ^ {d} V_ {j} ^ {i} (Y_ {t}) , mathrm {d} X_ {t} ^ {j}.}$

для достаточно регулярных векторных полей ${ displaystyle V_ {j} ^ {i}.}$

Обратите внимание, что каждый случайный процесс (даже если это детерминированный путь) может иметь более одного (на самом деле, бесчисленное множество) возможных улучшений.^[15] Различные улучшения приведут к различным решениям управляемых дифференциальных уравнений. В частности, можно улучшить броуновское движение до геометрической шероховатой траектории другим способом, кроме броуновского грубого пути.^[16] Это означает, что Исчисление Стратоновича не единственная теория стохастического исчисления, удовлетворяющая классическому правилу произведения

${ Displaystyle mathrm {d} (X_ {t} cdot Y_ {t}) = X_ {t} , mathrm {d} Y_ {t} + Y_ {t} , mathrm {d} X_ { t}.}$

Фактически, любое усиление броуновского движения как геометрического грубого пути приведет к исчислению, которое удовлетворяет этому классическому правилу произведения. Исчисление Ито не происходит непосредственно от усиления броуновского движения как геометрического грубого пути, а скорее как разветвленного грубого пути.

Приложения в стохастическом анализе

Стохастические дифференциальные уравнения, управляемые несемимартингалами

Теория грубого пути позволяет дать путевое понятие решения (стохастических) дифференциальных уравнений вида

${ Displaystyle mathrm {d} Y_ {t} = b (Y_ {t}) , mathrm {d} t + sigma (Y_ {t}) , mathrm {d} X_ {t}}$

при условии, что многомерный случайный процесс ${ displaystyle X_ {t}}$ почти наверняка можно улучшить как грубый путь, и что дрейф ${ displaystyle b}$ и волатильность ${ displaystyle sigma}$ достаточно гладкие (см. раздел об универсальной предельной теореме).

Есть много примеров марковских процессов, гауссовских процессов и других процессов, которые можно улучшить как грубые пути.^[17]

В частности, есть много результатов о решении дифференциального уравнения, управляемого дробным броуновским движением, которые были доказаны с использованием комбинации Исчисление Маллявэна и теория грубого пути. Фактически, недавно было доказано, что решение управляемого дифференциального уравнения, управляемого классом гауссовских процессов, который включает дробное броуновское движение с параметром Херста ${ displaystyle H> { frac {1} {4}}}$, имеет гладкую плотность при выполнении условия Хёрмандера на векторные поля.^[18][19]

Теория больших уклонений Фрейдлина – Венцелля.

Позволять ${ Displaystyle L (V, W)}$ обозначим пространство ограниченных линейных отображений из банахова пространства ${ displaystyle V}$ в другое банахово пространство ${ displaystyle W}$.

Позволять ${ displaystyle B_ {t}}$ быть ${ displaystyle d}$-мерное стандартное броуновское движение. Позволять ${ displaystyle b: mathbb {R} ^ {n} rightarrow mathbb {R} ^ {d}}$ и ${ displaystyle sigma: mathbb {R} ^ {n} rightarrow L ( mathbb {R} ^ {d}, mathbb {R} ^ {n})}$ - дважды дифференцируемые функции, вторые производные которых равны ${ displaystyle alpha}$-Hölder для некоторых ${ displaystyle alpha> 0}$.

Позволять ${ Displaystyle X ^ { varepsilon}}$ - единственное решение стохастического дифференциального уравнения

${ displaystyle mathrm {d} X ^ { varepsilon} = b (X_ {t} ^ { epsilon}) , mathrm {d} t + { sqrt { varepsilon}} sigma (X ^ { varepsilon}) circ mathrm {d} B_ {t}; , X ^ { varepsilon} = a,}$

куда ${ displaystyle circ}$ обозначает интегрирование Стратоновича.

В Теория больших отклонений Фрейдлина Венцелля стремится изучить асимптотическое поведение, поскольку ${ displaystyle epsilon rightarrow 0}$, из ${ Displaystyle mathbb {P} [X ^ { varepsilon} in F]}$ для закрытых или открытых комплектов ${ displaystyle F}$ относительно равномерной топологии.

Универсальная предельная теорема гарантирует, что карта Ито отправляет путь управления ${ displaystyle (т, { sqrt { varepsilon}} B_ {t})}$ к решению ${ Displaystyle X ^ { varepsilon}}$ является непрерывным отображением из ${ displaystyle p}$-вариационная топология к ${ displaystyle p}$-вариационная топология (а значит, и равномерная топология). Следовательно Принцип сжатия в теории больших уклонений сводит проблему Фрейдлина – Венцелля к демонстрации принципа больших уклонений для ${ displaystyle (т, { sqrt { varepsilon}} B_ {t})}$ в ${ displaystyle p}$-вариационная топология.^[20]

Эта стратегия может быть применена не только к дифференциальным уравнениям, управляемым броуновским движением, но также и к дифференциальным уравнениям, управляющим любыми случайными процессами, которые могут быть расширены до грубых путей, таких как дробное броуновское движение.

Стохастический поток

Еще раз позвольте ${ displaystyle B_ {t}}$ быть ${ displaystyle d}$-мерное броуновское движение. Предположим, что дрейфовый член ${ displaystyle b}$ и срок волатильности ${ displaystyle sigma}$ имеет достаточную регулярность, так что стохастическое дифференциальное уравнение

${ Displaystyle mathrm {d} phi _ {s, t} (x) = b ( phi _ {s, t} (x)) , mathrm {d} t + sigma {( phi _ { s, t} (x))} , mathrm {d} B_ {t}; X_ {s} = x}$

имеет уникальное решение в смысле грубого пути. Основной вопрос в теории стохастического потока заключается в том, является ли отображение потока ${ Displaystyle phi _ {s, t} (х)}$ существует и удовлетворяет коциклическому свойству, что для всех ${ Displaystyle s leq и leq t}$,

${ Displaystyle phi _ {u, t} ( phi _ {s, u} (x)) = phi _ {s, t} (x)}$

вне нулевого набора независимый из ${ displaystyle s, u, t}$.

Универсальная предельная теорема еще раз сводит эту проблему к вопросу о том, является ли броуновский грубый путь ${ displaystyle mathbf {B_ {s, t}}}$ существует и удовлетворяет мультипликативному свойству, что для всех ${ Displaystyle s leq и leq t}$,

${ displaystyle mathbf {B} _ {s, u} otimes mathbf {B} _ {u, t} = mathbf {B} _ {s, t}}$

вне нулевого набора, независимого от ${ displaystyle s}$, ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle t}$.

Фактически, теория грубого пути указывает на существование и уникальность ${ Displaystyle phi _ {s, t} (х)}$ не только вне нулевого набора, независимого от ${ displaystyle s}$,${ displaystyle t}$ и ${ displaystyle x}$ но и дрейфа ${ displaystyle b}$ и волатильность ${ displaystyle sigma}$.

Как и в случае теории Фрейдлина – Венцелля, эта стратегия верна не только для дифференциальных уравнений, управляемых броуновским движением, но и для любых случайных процессов, которые могут быть расширены до грубых путей.

Контролируемый грубый путь

Контролируемые неровные дороги, введенные М. Губинелли,^[21] пути ${ displaystyle mathbf {Y}}$ для которого грубый интеграл

${ displaystyle int _ {s} ^ {t} mathbf {Y} _ {u} , mathrm {d} X_ {u}}$

можно определить для заданного геометрического грубого пути ${ displaystyle X}$.

Точнее, пусть ${ Displaystyle L (V, W)}$ обозначим пространство ограниченных линейных отображений из банахова пространства ${ displaystyle V}$ в другое банахово пространство ${ displaystyle W}$.

Учитывая ${ displaystyle p}$-геометрический грубый путь

${ Displaystyle mathbf {X} = (1, mathbf {X} ^ {1}, ldots, mathbf {X} ^ { lfloor p rfloor})}$

на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$, а ${ displaystyle gamma}$-контролируемый путь это функция ${ displaystyle mathbf {Y} _ {s} = ( mathbf {Y} _ {s} ^ {0}, mathbf {Y} _ {s} ^ {1}, ldots, mathbf {Y} _ {s} ^ { lfloor gamma rfloor})}$ такой, что ${ displaystyle mathbf {Y} ^ {j}: [0,1] rightarrow L (( mathbb {R} ^ {d}) ^ { otimes j + 1}, mathbb {R} ^ {n })}$ и что существует ${ displaystyle M> 0}$ такой, что для всех ${ Displaystyle 0 Leq S Leq т Leq 1}$ и ${ Displaystyle J = 0,1, ldots, lfloor gamma rfloor}$,

${ Displaystyle Vert mathbf {Y} _ {s} ^ {j} Vert leq M}$

и

${ displaystyle left | mathbf {Y} _ {t} ^ {j} - sum _ {i = 0} ^ { lfloor gamma rfloor -j} mathbf {Y} _ {s} ^ {j + i} mathbf {X} _ {s, t} ^ {i} right | leq M | ts | ^ { frac { gamma -j} {p}}.}$

Пример: Губа (γ) функция

Позволять ${ Displaystyle mathbf {X} = (1, mathbf {X} ^ {1}, ldots, mathbf {X} ^ { lfloor p rfloor})}$ быть ${ displaystyle p}$-геометрический грубый путь, удовлетворяющий условию Гёльдера, что существует ${ displaystyle M> 0}$, для всех ${ Displaystyle 0 Leq S Leq т Leq 1}$ и все ${ Displaystyle J = 1`` 2, ldots, lfloor p rfloor}$,

${ Displaystyle Vert mathbf {X} _ {s, t} ^ {j} Vert leq M (t-s) ^ { frac {j} {p}},}$

куда ${ displaystyle mathbf {X} ^ {j}}$ обозначает ${ displaystyle j}$-я компонента тензора ${ displaystyle mathbf {X}}$.Позволять ${ displaystyle gamma geq 1}$. Позволять ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {d} rightarrow mathbb {R} ^ {n}}$ быть ${ Displaystyle lfloor gamma rfloor}$-кратно дифференцируемая функция и ${ Displaystyle lfloor gamma rfloor}$-я производная ${ displaystyle gamma - lfloor gamma rfloor}$ Гёльдер, тогда

${ Displaystyle (е ( mathbf {X} _ {s} ^ {1}), Df ( mathbf {X} _ {s} ^ {1}), ldots, D ^ { lfloor gamma rfloor } f ( mathbf {X} _ {s} ^ {1}))}$

это ${ displaystyle gamma}$-управляемый путь.

Неотъемлемой частью управляемого пути является управляемый путь

Если ${ displaystyle mathbf {Y}}$ это ${ displaystyle gamma}$-управляемый путь, где ${ displaystyle gamma> п-1}$, тогда

${ displaystyle int _ {s} ^ {t} mathbf {Y} _ {u} , mathrm {d} X_ {u}}$

определен и путь

${ displaystyle left ( int _ {s} ^ {t} mathbf {Y} _ {u} , mathrm {d} X_ {u}, mathbf {Y} _ {s} ^ {0} , mathbf {Y} _ {s} ^ {1}, ldots, mathbf {Y} _ {s} ^ { lfloor gamma -1 rfloor} right)}$

это ${ displaystyle gamma}$-управляемый путь.

Решение управляемого дифференциального уравнения - это управляемый путь

Позволять ${ Displaystyle V: mathbb {R} ^ {n} rightarrow L ( mathbb {R} ^ {d}, mathbb {R} ^ {n})}$ быть функциями, имеющими не менее ${ Displaystyle lfloor gamma rfloor}$ производные и ${ Displaystyle lfloor gamma rfloor}$-ые производные ${ displaystyle gamma - lfloor gamma rfloor}$-Hölder Continuous для некоторых ${ displaystyle gamma> p}$. Позволять ${ displaystyle Y}$ - решение дифференциального уравнения

${ displaystyle mathrm {d} Y_ {t} = V (Y_ {t}) , mathrm {d} X_ {t}.}$

Определять

${ displaystyle { frac { mathrm {d} Y} { mathrm {d} X}} ( cdot) = V ( cdot);}$

${ displaystyle { frac { mathrm {d} ^ {r + 1} Y} { mathrm {d} ^ {r + 1} X}} ( cdot) = D left ({ frac { mathrm {d} ^ {r} Y} { mathrm {d} ^ {r} X}} right) ( cdot) V ( cdot),}$

куда ${ displaystyle D}$ обозначает производный оператор, то

${ displaystyle left (Y_ {t}, { frac { mathrm {d} Y} { mathrm {d} X}} (Y_ {t}), { frac { mathrm {d} ^ {2) } Y} { mathrm {d} ^ {2} X}} (Y_ {t}), ldots, { frac { mathrm {d} ^ { lfloor gamma rfloor} Y} { mathrm { d} ^ { lfloor gamma rfloor} X}} (Y_ {t}) right)}$

это ${ displaystyle gamma}$-управляемый путь.

Подпись

Позволять ${ Displaystyle X: [0,1] rightarrow mathbb {R} ^ {d}}$ - непрерывная функция с конечной полной вариацией. Определять

${ Displaystyle S (X) _ {s, t} = left (1, int _ {s$

Подпись пути определяется как ${ Displaystyle S (X) _ {0,1}}$.

Подпись также может быть определена для геометрических грубых путей. Позволять ${ displaystyle mathbf {X}}$ быть геометрическим грубым путем и пусть ${ Displaystyle mathbf {X} (п)}$ - последовательность путей с конечной полной вариацией такая, что

${ displaystyle mathbf {X} (n) _ {s, t} = left (1, int _ {s$

сходится в ${ displaystyle p}$-вариационная метрика к ${ displaystyle mathbf {X}}$. потом

${ Displaystyle int _ {s$

сходится как ${ Displaystyle п rightarrow infty}$ для каждого ${ displaystyle N}$. Подпись геометрического грубого пути ${ displaystyle mathbf {X}}$ можно определить как предел ${ Displaystyle S (Х (п)) _ {s, t}}$ в качестве ${ Displaystyle п rightarrow infty}$.

Подпись соответствует личности Чена,^[22] который

${ Displaystyle S ( mathbf {X}) _ {s, u} otimes S ( mathbf {X}) _ {u, t} = S ( mathbf {X}) _ {s, t}}$

для всех ${ Displaystyle s leq и leq t}$.

Ядро преобразования сигнатуры

Множество путей, сигнатура которых является тривиальной последовательностью, а точнее,

${ Displaystyle S ( mathbf {X}) _ {0,1} = (1,0,0, ldots)}$

можно полностью охарактеризовать, используя идею древовидного пути.

А ${ displaystyle p}$-геометрический грубый путь древовидный если существует непрерывная функция ${ displaystyle h: [0,1] rightarrow [0, infty)}$ такой, что ${ Displaystyle ч (0) = ч (1) = 0}$ и для всех ${ Displaystyle J = 1, ldots, lfloor p rfloor}$ и все ${ Displaystyle 0 Leq S Leq т Leq 1}$,

${ Displaystyle Vert mathbf {X} _ {s, t} ^ {j} Vert ^ {p} leq h (t) + h (s) -2 inf _ {u in [s, t ]} h (u)}$

куда ${ displaystyle mathbf {X} ^ {j}}$ обозначает ${ displaystyle j}$-я компонента тензора ${ displaystyle mathbf {X}}$.

Геометрический грубый путь ${ displaystyle mathbf {X}}$ удовлетворяет ${ Displaystyle S ( mathbf {X}) _ {0,1} = (1,0, ldots)}$ если и только если ${ displaystyle mathbf {X}}$ подобен дереву.^[23][24]

Учитывая сигнатуру пути, можно восстановить уникальный путь, не имеющий древовидных частей.^[25][26]

Бесконечные измерения

Также возможно расширить основные результаты в теории грубого пути до бесконечных измерений, при условии, что норма в тензорной алгебре удовлетворяет определенному условию допустимости.^[27]

Рекомендации