WikiDer > Рулетка (кривая)

в дифференциальная геометрия кривых, а рулетка это своего рода изгиб, обобщая циклоиды, эпициклоиды, гипоциклоиды, трохоиды, эпитрохоиды, гипотрохоиды, и эвольвенты.

Определение

Неформальное определение

Построение рулетки: в частности, циссоид диокла.

Грубо говоря, рулетка - это кривая, описываемая точкой (называемая генератор или же столб), прикрепленного к данной кривой, когда эта кривая катится без скольжения по второй заданной кривой, которая является фиксированной. Точнее, если задана кривая, прикрепленная к плоскости, которая движется так, что кривая катится без скольжения по заданной кривой, прикрепленной к фиксированной плоскости, занимающей то же пространство, то точка, прикрепленная к движущейся плоскости, описывает кривую в неподвижный самолет, называемый рулеткой.

На рисунке фиксированная кривая (синяя) - это параболакривая качения (зеленая) - это равная парабола, а образующая - вершина параболы качения, которая описывает рулетку (красная). В этом случае рулетка - это циссоид диокла.^[1]

Особые случаи и связанные концепции

В случае, когда кривая качения представляет собой линия а генератор - точка на линии, рулетка называется эвольвента фиксированной кривой. Если кривая качения представляет собой круг, а фиксированная кривая - это линия, то рулетка - это трохоидный. Если в этом случае точка лежит на круге, то рулетка является циклоида.

Связанная концепция - это Glissette, кривая, описываемая точкой, прикрепленной к данной кривой, когда она скользит по двум (или более) заданным кривым.

Формальное определение

Формально кривые должны быть дифференцируемый кривые в Евклидова плоскость. В фиксированная кривая остается неизменным; в кривая качения подвергается непрерывный соответствие преобразование таким образом, что все время кривые касательная в точке соприкосновения, которая движется с одинаковой скоростью по любой кривой (другой способ выразить это ограничение состоит в том, что точкой соприкосновения двух кривых является мгновенный центр вращения преобразования сравнения). В результате рулетка формируется локус генератора, подвергнутого тому же набору преобразований конгруэнтности.

Моделирование исходных кривых как кривых на комплексная плоскость, позволять ${ displaystyle r, f: mathbb {R} to mathbb {C}}$ быть двумя естественные параметризации прокатки (${ displaystyle r}$) и фиксированной (${ displaystyle f}$) кривые, такие что ${ Displaystyle г (0) = е (0)}$, ${ Displaystyle г ^ { прайм} (0) = е ^ { прайм} (0)}$, и ${ Displaystyle | г ^ { прайм} (т) | = | е ^ { прайм} (т) | neq 0}$ для всех ${ displaystyle t}$. Рулетка генератора ${ displaystyle p in mathbb {C}}$ в качестве ${ displaystyle r}$ катится на ${ displaystyle f}$ тогда задается отображением:

${ displaystyle t mapsto f (t) + (p-r (t)) {f '(t) over r' (t)}.}$

Обобщения

Если вместо одной точки, прикрепленной к кривой качения, другая заданная кривая переносится по движущейся плоскости, получается семейство конгруэнтных кривых. Конверт этого семейства также можно назвать рулеткой.

Конечно, можно вообразить рулетку в более высоких пространствах, но нужно выровнять не только касательные.

Пример

Если фиксированная кривая представляет собой цепная связь а кривая качения - это линия, у нас есть:

${ Displaystyle е (т) = т + я ( сш (т) -1) qquad г (т) = зп (т)}$

${ displaystyle f '(t) = 1 + i sinh (t) qquad r' (t) = cosh (t).}$

Параметризация линии выбрана так, чтобы

${ Displaystyle | е '(т) | ,}$ ${ displaystyle = { sqrt {1 ^ {2} + sinh ^ {2} (т)}}}$ ${ displaystyle = { sqrt { cosh ^ {2} (t)}}}$ ${ Displaystyle = | г '(т) |. ,}$

Применяя приведенную выше формулу, получаем:

${ Displaystyle е (т) + (пр (т)) {е '(т) над г' (т)} = т-я + {п- зп (т) + я (1 + р зп (т )) over ch (t)} = t-i + (p + i) {1 + i sinh (t) over ch (t)}.}$

Если п = −я выражение имеет постоянную мнимую часть (а именно -я), а рулетка - горизонтальная линия. Интересным применением этого является то, что квадратное колесо мог катиться, не подпрыгивая, по дороге, которая представляет собой подобранную серию цепных дуг.

Список рулеток

Смотрите также

• Прокатка
• Механизм
• Принцип суперпозиции
• Спирограф
• Пара туси
• Розетта (орбита)

Примечания

Рекомендации

• В. Х. Безант (1890) Примечания о рулетках и глиссетах из Корнелл Университет Исторические математические монографии, первоначально опубликованные Deighton, Bell & Co.
• Вайсштейн, Эрик В. «Рулетка». MathWorld.

дальнейшее чтение

• Рулетка на 2dcurves.com
• План движения Base, roulante и roulettes d'un по плану (На французском)
• Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen (на немецком)