WikiDer > Номер Салема

График корней многочлена Лемера с соответствующим числом Салема около Икс = 1,17628 золотом.

В математика, а Номер Салема это настоящий алгебраическое целое число α > 1 чей сопряженные корни у всех есть абсолютная величина не больше 1, и хотя бы один из которых имеет абсолютная величина ровно 1. Числа Салема представляют интерес в Диофантово приближение и гармонический анализ. Они названы в честь Рафаэль Салем.

Характеристики

Потому что он имеет корень абсолютная величина 1, минимальный многочлен для Салема номер должен быть взаимный. Отсюда следует, что 1 /α также является корнем, и что все остальные корни имеют абсолютная величина ровно один. Как следствие, α должен быть единица измерения в кольце алгебраические целые числа, будучи из норма 1.

Каждый номер Салема - это Число Перрона (вещественное алгебраическое число больше единицы, все сопряженные с которым имеют меньшее абсолютное значение).

Связь с числами Писот – Виджаярагхаван

Наименьшее известное число Салема - наибольшее настоящий корень из Полином Лемера (названный в честь Деррик Генри Лемер)

${ Displaystyle P (x) = x ^ {10} + x ^ {9} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} + х + 1,}$

который о Икс = 1,17628: предполагается, что это действительно наименьшее число Салема, и наименьшее возможное Мера Малера неприводимого нециклотомического многочлена.^[1]

Многочлен Лемера является множителем более короткого многочлена 12-й степени,

${ displaystyle Q (x) = x ^ {12} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} +1,}$

все двенадцать корней из которых удовлетворяют соотношению^[2]

${ displaystyle x ^ {630} -1 = { frac {(x ^ {315} -1) (x ^ {210} -1) (x ^ {126} -1) ^ {2} (x ^ { 90} -1) (x ^ {3} -1) ^ {3} (x ^ {2} -1) ^ {5} (x-1) ^ {3}} {(x ^ {35} -1 ) (x ^ {15} -1) ^ {2} (x ^ {14} -1) ^ {2} (x ^ {5} -1) ^ {6} , x ^ {68}}}}$

Числа Салема могут быть построены из Номера Писот – Виджаярагхаван. Напомним, что наименьший из последних - единственный действительный корень кубического многочлена,

${ displaystyle x ^ {3} -x-1,}$

известный как пластиковый номер и примерно равняется 1,324718. Это может быть использовано для генерации семейства чисел Салема, включая наименьшее из найденных на данный момент. Общий подход состоит в том, чтобы взять минимальный многочлен п(Икс) числа Писот – Виджаярагхавана и его обратный многочлен, п*(Икс), и решим уравнение

${ Displaystyle х ^ {п} P (x) = pm P ^ {*} (x) ,}$

для интегральной п выше границы. Вычитание одной стороны из другой, разложение на множители и игнорирование тривиальных множителей даст минимальный многочлен некоторых чисел Салема. Например, используя отрицательный случай приведенного выше,

${ displaystyle x ^ {n} (x ^ {3} -x-1) = - (x ^ {3} + x ^ {2} -1)}$

тогда для п = 8, это множится как,

${ displaystyle (x-1) (x ^ {10} + x ^ {9} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} + x + 1) = 0}$

где децик - многочлен Лемера. Используя выше п даст семью с корнем, приближающимся к пластиковый номер. Это можно лучше понять, взяв пкорни обеих сторон,

${ displaystyle x (x ^ {3} -x-1) ^ {1 / n} = pm (x ^ {3} + x ^ {2} -1) ^ {1 / n}}$

таким образом п идет выше, Икс приблизится к решению Икс³ − Икс - 1 = 0. Если используется положительный случай, то Икс приближается к пластиковому числу с противоположной стороны. Используя минимальный многочлен следующего наименьшего числа Пизо – Виджаярагхавана, получаем,

${ displaystyle x ^ {n} (x ^ {4} -x ^ {3} -1) = - (x ^ {4} + x-1)}$

который для п = 7 факторов как,

${ displaystyle (x-1) (x ^ {10} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} +1) = 0}$

децика, не сгенерированная в предыдущем случае, имеет корень Икс = 1,216391 ... который является 5-м наименьшим известным числом Салема. В качестве п → бесконечность, это семейство, в свою очередь, стремится к большему действительному корнюИкс⁴ − Икс³ − 1 = 0.

Рекомендации

• Борвейн, Питер (2002). Вычислительные экскурсии по анализу и теории чисел. CMS Книги по математике. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95444-9. Zbl 1020.12001. Глава. 3.
• Бойд, Дэвид (2001) [1994], «Салемский номер», Энциклопедия математики, EMS Press
• M.J. Mossinghoff. "Малые салемские числа". Получено 2016-01-07.
• Салем, Р. (1963). Алгебраические числа и анализ Фурье. Математические монографии Хита. Бостон, Массачусетс: Д. К. Хит и компания. Zbl 0126.07802.