WikiDer > Уравнение Шредерса - Википедия

Schröders equation - Wikipedia
Эрнст Шредер (1841–1902) в 1870 году сформулировал свое одноименное уравнение.
Не путать с Уравнение Шредингера.

Уравнение Шредера,[1][2][3] названный в честь Эрнст Шредер, это функциональное уравнение с одним независимая переменная: с учетом функции часнайти функцию Ψ такой, что

Уравнение Шредера - это уравнение на собственные значения для оператор композиции Cчас, который отправляет функцию ж к ж(час(.)).

Если а это фиксированная точка из час, смысл час(а) = а, то либо Ψ (а) = 0 (или же ∞) или же s = 1. Таким образом, при условии, что Ψ (а) конечно и Ψ ′ (а) не исчезает и не расходится, собственное значение s дан кем-то s = час′(а).

Функциональное значение

За а = 0, если час аналитична на единичном диске, исправляет 0, и 0 < |час′(0)| < 1, тогда Габриэль Кенигс в 1884 г. показал, что существует аналитическая (нетривиальная) Ψ удовлетворяющее уравнению Шредера. Это один из первых шагов в длинной цепочке теорем, плодотворных для понимания операторов композиции в аналитических функциональных пространствах, ср. Функция Кенигса.

Уравнения, такие как уравнения Шредера, подходят для кодирования самоподобие, и поэтому широко использовались в исследованиях нелинейная динамика (часто называемый в просторечии как теория хаоса). Он также используется в исследованиях турбулентность, так же хорошо как ренормгруппа.[4][5]

Эквивалентная транспонированная форма уравнения Шредера для обратной Φ = Ψ−1 функции сопряженности Шредера равна час(Φ (у)) = Φ (сы). Замена переменных α (Икс) = журнал (Ψ (Икс))/бревно(s) (в Функция Абеля) далее преобразует уравнение Шредера в более раннее Уравнение Абеля, α (час(Икс)) = α (Икс) + 1. Аналогично замена переменных Ψ (Икс) = журнал (φ (Икс)) преобразует уравнение Шредера в Уравнение Бёттхера, φ (час(Икс)) = (φ (Икс))s.

Кроме того, для скорости[5] β (Икс) = Ψ / Ψ ′,   Юляуравнение,   β (ж(Икс)) = ж′(Икс) β (Икс), держит.

В п-я степень решения уравнения Шредера дает решение уравнения Шредера с собственным значением sп, вместо. В том же духе для обратимого решения Ψ (Икс) уравнения Шредера (необратимая) функция Ψ (Икс) k(журнал Ψ (Икс)) также решение, для любой периодическая функция k(Икс) с периодом бревно(s). Таким образом связаны все решения уравнения Шредера.

Решения

Уравнение Шредера решалось аналитически, если а является притягивающей (но не суперпритягивающей) неподвижной точкой, то есть 0 < |час′(а)| < 1 к Габриэль Кенигс (1884).[6][7]

В случае суперпритягивающей неподвижной точки |час′(а)| = 0, Уравнение Шредера громоздко, и его лучше всего преобразовать в Уравнение Бёттхера.[8]

Существует множество частных решений, восходящих к оригинальной статье Шредера 1870 года.[1]

Разложение в ряд вокруг фиксированной точки и соответствующие свойства сходимости решения для полученной орбиты и его свойства аналитичности убедительно резюмируются следующим образом: Секереш.[9] Некоторые решения представлены с точки зрения асимптотический ряд, ср. Матрица Карлемана.

Приложения

Первые пять полупериодов фазовой орбиты s = 4 хаотическая логистическая карта час(Икс), голографически интерполированный через уравнение Шредера. Скорость v = dчаст/ дт заговор против част. Хаос очевиден на орбите, охватывающей все Иксs всегда.
Смотрите также: Рациональное разностное уравнение

Он используется для анализа дискретных динамических систем путем поиска новой системы координат, в которой система (орбита), порожденная час(Икс) выглядит проще, простое расширение.

Более конкретно, система, для которой дискретный единичный временной шаг составляет Икс → час(Икс), может быть гладким орбита (или же поток), восстановленной из решения приведенного выше уравнения Шредера, его уравнение сопряжения.

То есть, час(Икс) = Ψ−1(s Ψ (Икс)) ≡ час1(Икс).

В целом, все его функции повторяются (это регулярная итерация группа, видеть повторяющаяся функция) предоставляются орбита

за т вещественное - не обязательно положительное или целое. (Таким образом, полный непрерывная группа.) Набор часп(Икс), т.е. всех положительных целых итераций час(Икс) (полугруппа) называется заноза (или последовательность Пикара) час(Икс).

Тем не мение, все повторяется (дробное, бесконечно малое или отрицательное) числа час(Икс) аналогично задаются преобразованием координат Ψ(Икс) определены для решения уравнения Шредера: голографическая непрерывная интерполяция исходной дискретной рекурсии Икс → час(Икс) был построен;[10] по сути, весь орбита.

Например, функциональный квадратный корень является час½(Икс) = Ψ−1(s1/2 Ψ (Икс)), так что час1/2(час1/2(Икс)) = час(Икс), и так далее.

Например,[11] особые случаи логистическая карта например, хаотичный случай час(Икс) = 4Икс(1 − Икс) были уже разработаны Шредером в его оригинальной статье[1] (стр.306),

Ψ (Икс) = (arcsin √Икс)2, s = 4, и поэтому част(Икс) = грех2(2т Arcsin √Икс).

Фактически, это решение является результатом движения, продиктованного последовательностью обратных потенциалов,[12] V(Икс) ∝ Икс(Икс − 1) (nπ + arcsin√Икс)2, характерная черта непрерывных итераций, на которую влияет уравнение Шредера.

Нехаотический случай, который он проиллюстрировал своим методом, час(Икс) = 2Икс(1 − Икс), дает

Ψ (Икс) = −½ln (1-2Икс), и поэтому част(Икс) = −½((1 − 2Икс)2т − 1).

Точно так же для Модель Бевертона – Холта, час(Икс) = Икс/(2 − Икс), легко найти[10] Ψ (Икс) = Икс/(1 − Икс), так что[13]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c Шредер, Эрнст (1870). "Ueber iterirte Functionen". Математика. Анна. 3 (2): 296–322. Дои:10.1007 / BF01443992.
  2. ^ Карлесон, Леннарт; Гамелен, Теодор В. (1993). Сложная динамика. Серия учебников: Университетский текст: Учебники по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97942-5.
  3. ^ Кучма, Марек (1968). Функциональные уравнения с одной переменной. Monografie Matematyczne. Варшава: PWN - Польское научное издательство. ASIN: B0006BTAC2
  4. ^ Гелл-Манн, М.; Лоу, Ф. (1954). «Квантовая электродинамика на малых расстояниях» (PDF). Физический обзор. 95 (5): 1300–1312. Bibcode:1954PhRv ... 95.1300G. Дои:10.1103 / PhysRev.95.1300.
  5. ^ а б Кертрайт, Т.; Zachos, C.K. (Март 2011 г.). "Функциональные уравнения ренормгруппы". Физический обзор D. 83 (6): 065019. arXiv:1010.5174. Bibcode:2011ПхРвД..83ф5019С. Дои:10.1103 / PhysRevD.83.065019.
  6. ^ Кенигс, Г. (1884). "Recherches sur les intégrales de specifices équations fonctionelles" (PDF). Научные Анналы Высшей Нормальной Школы. 1 (3, Дополнение): 3–41. Дои:10.24033 / asens.247.
  7. ^ Эрдеш, П.; Жаботинский, Э. (1960). «Об аналитической итерации». Журнал д'анализа математика. 8 (1): 361–376. Дои:10.1007 / BF02786856.
  8. ^ Бёттчер, Л. Э. (1904). «Основные законы сходимости итераций и их применение к анализу». Изв. Казань. Физ.-мат. Общ. (Русский). 14: 155–234.
  9. ^ Секереш, Г. (1958). «Регулярное повторение вещественных и сложных функций». Acta Mathematica. 100 (3–4): 361–376. Дои:10.1007 / BF02559539. [1]
  10. ^ а б Кертрайт, Т.; Захос, К.К. (2009). «Профили эволюции и функциональные уравнения». Журнал физики А. 42 (48): 485208. arXiv:0909.2424. Bibcode:2009JPhA ... 42V5208C. Дои:10.1088/1751-8113/42/48/485208.
  11. ^ Кертрайт, Т. Поверхности эволюции и функциональные методы Шредера.
  12. ^ Кертрайт, Т.; Захос, К. К. (2010). «Хаотические карты, гамильтоновы потоки и голографические методы». Журнал физики А. 43 (44): 445101. arXiv:1002.0104. Bibcode:2010JPhA ... 43R5101C. Дои:10.1088/1751-8113/43/44/445101.
  13. ^ Скеллам, Дж. Г. (1951). «Случайное рассредоточение теоретических популяций», Биометрика 38 196−218, ур. 41, 42.