WikiDer > Влияние размера на прочность конструкции

Size effect on structural strength

Остатки плотины Мальпассет в Приморских Альпах, Франция, которая провалилась при первом заполнении в 1959 году и вызвала гигантское наводнение, которое стерло с лица земли город Фрежюс, и несколько сотен человек погибли. Эта плотина, самая высокая и тонкая в то время, рухнула из-за чрезмерного горизонтального скольжения гнейсового устоя. Допустимое смещение, учитываемое при проектировании, неизвестно, но, если его рассчитать сегодня, размерный эффект уменьшил бы его примерно до половины значения в соответствии с процедурами проектирования в 1950-х годах.

Согласно классическим теориям эластичный или же пластик структуры изготовлен из материала с не-случайный сила (ж_т) номинальная прочность (σ_N) конструкции не зависит от ее размера (D) при рассмотрении геометрически подобных конструкций.^[1] Любое отклонение от этого свойства называется размерный эффект. Например, обычные сопротивление материалов предсказывает, что большой луч и крошечный луч выйдет из строя при том же стресс если они сделаны из одного материала. В реальном мире из-за размерных эффектов балка большего размера выйдет из строя при меньшем напряжении, чем балка меньшего размера.

Эффект размера конструкции касается конструкций, сделанных из того же материала, с одинаковыми микроструктура. Его следует отличать от размерного эффекта неоднородностей материала, особенно Эффект Холла-Петча, который описывает, как увеличивается прочность материала при уменьшении размером с зернышко в поликристаллический металлы.

Эффект размера может иметь две причины:

статистически, из-за случайности прочности материала, вероятности возникновения критического дефекта в месте с высоким напряжением и увеличения объема, увеличивающего вероятность серьезного дефекта.
энергетический (и нестатистический), из-за выделения энергии при большой трещине или большом зона процесса разрушения (FPZ) содержащий поврежден материал развивается до достижения максимальной нагрузки.

Статистическая теория размерного эффекта в хрупких конструкциях.

рисунок 1

Статистический размерный эффект имеет место для широкого класса хрупких структур, которые следуют модели самого слабого звена. Эта модель означает, что зарождение макротрещины от одного элемента материала, а точнее одного представительный элемент объема (RVE) вызывает отказ всей конструкции, как отказ одного звена в цепи (рис. 1а). Поскольку прочность материала случайна, прочность самого слабого элемента материала в конструкции (рис. 1а), вероятно, будет уменьшаться с увеличением размера конструкции. ${ displaystyle D}$ (как отмечал еще Мариотт в 1684 г.).

Обозначая вероятности отказа конструкции как ${ displaystyle P_ {f}}$ и одного RVE в состоянии стресса ${ displaystyle sigma _ {k}}$ в качестве ${ Displaystyle P_ {1} ( sigma _ {k})}$ , и отмечая, что вероятность выживания цепи - это совокупная вероятность выживания всех ее ${ displaystyle N}$ ссылки, легко сделать вывод, что

{ Displaystyle 1-P_ {f} = prod _ {k = 1} ^ {N} [1-P_ {1} ( sigma _ {k})]}

(1)

Ключ - левый хвост распределения ${ Displaystyle P_ {1} ( sigma _ {k})}$ . Его не удалось идентифицировать до тех пор, пока Вейбулл в 1939 году не признал, что хвост является степенным законом. Обозначая показатель хвоста как ${ displaystyle m}$ , тогда можно показать, что, если структура достаточно больше, чем один RVE (т. е. если $Н / л 0 \to \infty$ ), вероятность отказа конструкции как функция ${ displaystyle sigma _ {N}}$ является

{ displaystyle P_ {f} ; = ; 1 , - , e ^ {- ( sigma _ {N} / S_ {0}) ^ {m}} { text {where}} S_ {0} = s_ {0} (l_ {0} / D) ^ {n_ {d} / m} Psi ^ {- 1 / m}}

(2)

Уравнение 2 - кумулятивное распределение Вейбулла с масштабным параметром ${ displaystyle S_ {0}}$ и параметр формы ${ displaystyle m}$ ; ${ Displaystyle Psi = int _ {V} left [{ hat { sigma}} ( xi) right] ^ {m} , { mbox {d}} V ( xi)}$ = постоянный коэффициент, зависящий от геометрии конструкции, ${ displaystyle V}$ = объем конструкции; ${ Displaystyle xi}$ = относительные (не зависящие от размера) векторы координат, ${ Displaystyle { шляпа { sigma}} ( xi)}$ = безразмерное поле напряжений (зависит от геометрии), масштабируемое таким образом, чтобы максимальное напряжение равнялось 1; ${ displaystyle n_ {d}}$ = количество пространственных измерений ( ${ displaystyle n_ {d}}$ = 1, 2 или 3); ${ displaystyle l_ {0}}$ = характеристическая длина материала, представляющая эффективный размер RVE (обычно около трех размеров неоднородности).

RVE здесь определяется как наименьший объем материала, разрушения которого достаточно для разрушения всей конструкции. По опыту, структура достаточно крупнее, чем один RVE, если эквивалентное число ${ displaystyle N_ {eq}}$ RVE в структуре больше, чем примерно ${ displaystyle 10 ^ {4}}$ ; ${ Displaystyle N_ {eq} = (D / l_ {0}) ^ {n_ {d}} Psi}$ = количество RVE, дающих то же самое ${ displaystyle P_ {f}}$ если поле напряжений однородно (всегда ${ displaystyle N_ {eq}$ , и обычно ${ displaystyle N_ {eq} ll N}$ ). Для большинства применений нормального масштаба для металлов и мелкозернистой керамики, за исключением устройств микрометрового масштаба, размер достаточно велик для применения теории Вейбулла (но не для крупнозернистых материалов, таких как бетон).

Из уравнения. 2 можно показать, что средняя прочность и коэффициент вариации прочности получаются следующим образом:

{ displaystyle { bar { sigma}} _ {N} ; = ; C_ {s} (l_ {0} / D) ^ {n / m}, ; C_ {s} ; = ; [ Gamma (1 + m ^ {- 1}) Psi ^ {- 1 / m} s_ {0}}

(3)

{ displaystyle w ; = ; [ Gamma (1 + 2m ^ {- 1}) Gamma ^ {- 2} (1 + m ^ {- 1}) - 1] ^ {1/2}}

(4)

(куда ${ displaystyle Gamma}$ - гамма-функция) Первое уравнение показывает, что влияние размера на среднюю номинальную прочность является степенной функцией размера ${ displaystyle D}$ независимо от геометрии конструкции.

Параметр Вейбулла ${ displaystyle m}$ можно экспериментально идентифицировать двумя способами: 1) значения ${ displaystyle sigma _ {N}}$ измерения на многих идентичных образцах используются для расчета коэффициента вариации прочности, а значение ${ displaystyle m}$ затем следует путем решения уравнения. (4); или 2) значения ${ displaystyle { bar { sigma}} _ {N}}$ измеряются на геометрически подобных образцах нескольких различных размеров. ${ displaystyle D}$ и наклон их линейной регрессии на графике ${ displaystyle log { bar { sigma}} _ {N}}$ против ${ displaystyle log D}$ дает ${ displaystyle -1 / m}$ . Метод 1 должен давать тот же результат для разных размеров, а метод 2 такой же, как и метод 1. В противном случае размерный эффект частично или полностью не является вейбулловским. Пропуск испытаний для разных размеров часто приводил к неверным выводам. Другая проверка заключается в том, что гистограмма сильных сторон многих идентичных образцов должна быть прямой линией при построении по шкале Вейбулла. Отклонение вправо при высоком диапазоне прочности означает, что ${ displaystyle N_ {eq}}$ слишком мал, а материал квазихрупок.

Энергичный размерный эффект

Тот факт, что размерный эффект Вейбулла является степенным, означает, что он самоподобен, т.е.не характерный размер структуры ${ displaystyle D_ {0}}$ существует, и ${ displaystyle l_ {0}}$ и неоднородности материала пренебрежимо малы по сравнению с ${ displaystyle D}$ . Это касается металлов и мелкозернистой керамики, охрупченных от усталости, за исключением микрометров. Существование конечного ${ displaystyle D_ {0}}$ является характерной чертой энергетического размерного эффекта, открытого в 1984 году. Этот вид размерного эффекта представляет собой переход между двумя степенными законами и наблюдается в хрупких гетерогенных материалах, называемых квазихрупкими. Эти материалы включают бетон, волокнистые композиты, горные породы, крупнозернистую и упрочненную керамику, жесткую пену, морской лед, стоматологическую керамику, дентин, кость, биологические оболочки, многие био- и биологические материалы, кладку, строительный раствор, жесткие связные грунты, цементный грунт, сплошной снег, древесина, бумага, картон, уголь, цементный песок и т. д. В микро- или нано-масштабе все хрупкие материалы становятся квазихрупкими и, следовательно, должны проявлять энергетический размерный эффект.

Выраженный энергетический размерный эффект возникает при разрушении железобетона при сдвиге, кручении и продавливании, при вырыве анкеров из бетона, при разрушении тонких конструкций при сжатии. железобетонные колонны и предварительно напряженных бетонных балок, при разрушении при сжатии и растяжении волокнисто-полимерных композитов и многослойных конструкций, а также при разрушении всех вышеупомянутых квазихрупких материалов. Можно выделить два основных типа размерного эффекта.

Тип 1: конструкции, разрушающиеся при зарождении трещин.

Рис. 2

Когда макротрещина инициируется одной RVE, размер которой нельзя пренебречь по сравнению с размером конструкции, детерминированный размерный эффект преобладает над статистическим размерным эффектом. Размерный эффект вызывает перераспределение напряжений в конструкции (рис. 2c) из-за повреждения в инициирующем RVE, который обычно располагается на поверхности разрушения.

Простое интуитивное обоснование этого размерного эффекта может быть дано при рассмотрении разрушения при изгибе несущей балки без надреза под действием сосредоточенной нагрузки. ${ displaystyle P}$ в середине пролета (рис. 2d). Из-за неоднородности материала, что определяет максимальную нагрузку ${ displaystyle P}$ не является упруго рассчитанным напряжением ${ Displaystyle sigma _ {1} = Mc / I = 3PL / 2bD ^ {2}}$ на растяжении, где ${ displaystyle M = PL / 4}$ = изгибающий момент, ${ displaystyle D}$ = глубина балки, ${ displaystyle c = D / 2, ; I = bh ^ {3} / 12}$ и ${ displaystyle b}$ = ширина луча. Скорее, решает значение стресса. ${ displaystyle { bar { sigma}}}$ примерно на расстоянии ${ displaystyle l_ {0} / 2}$ от растягиваемой поверхности, которая находится в середине FPZ (2c). Отмечая, что ${ displaystyle { bar { sigma}}}$ = ${ displaystyle sigma _ {1} - sigma '_ {n} l_ {0} / 2}$ , куда ${ displaystyle sigma '_ {n}}$ = градиент напряжения = ${ displaystyle 2 sigma _ {1} / D}$ и ${ displaystyle { bar { sigma}} = f '_ {t}}$ = собственная прочность материала на растяжение с учетом условий разрушения ${ displaystyle { bar { sigma}}}$ = ${ displaystyle f '_ {t}}$ , получается ${ Displaystyle P / bD = sigma _ {N}}$ = ${ displaystyle sigma _ {0} / (1-D_ {b} / D)}$ куда ${ displaystyle sigma _ {0} = (2D / 3L) f '_ {t}}$ , которая является постоянной, так как для геометрически подобных балок ${ Displaystyle L / D}$ = константа. Это выражение действительно только для достаточно малых ${ displaystyle l_ {0} / D}$ , и поэтому (согласно первым двум членам биномиального разложения) его можно аппроксимировать как

{ displaystyle sigma _ {N} = sigma _ {0} left (1 + { frac {rl_ {0}} {D}} right) ^ {1 / r}}

(5)

что является законом детерминированного размерного эффекта 1-го типа (рис. 2а). Цель сделанного приближения: (а) предотвратить ${ displaystyle sigma _ {N}}$ стать отрицательным для очень маленьких ${ displaystyle D}$ , к которому предыдущий аргумент неприменим; и (б) удовлетворять асимптотическому условию, что детерминированный размерный эффект должен исчезать при ${ Displaystyle D / l_ {0} to infty}$ . Здесь ${ displaystyle r}$ = положительная эмпирическая константа; ценности ${ displaystyle r = 1}$ = или 2 были использованы для бетона, а ${ displaystyle r приблизительно 1,45}$ является оптимальным согласно имеющимся тестовым данным из литературы (рис. 2г).

Фундаментальный вывод уравнения. 5 для общей структурной геометрии была дана путем применения анализа размеров и асимптотического согласования к предельному случаю выделения энергии, когда начальная длина макротрещины стремится к нулю. Для общих структур следующий эффективный размер может быть заменен в формуле. (5):

{ displaystyle D = 2 sigma _ {0} / E epsilon '_ {n}}

(6)

куда ${ displaystyle epsilon '_ {n}}$ = градиент деформации в точке максимальной деформации, расположенной на поверхности, в направлении, нормальном к поверхности.

Уравнение 5 не может применяться для больших размеров, потому что подходит для ${ displaystyle D to infty}$ горизонтальная асимптота. для больших размеров ${ displaystyle sigma _ {N}}$ должен приближаться к статистическому размерному эффекту Вейбулла, уравнение 3. Этому условию удовлетворяет обобщенный закон энергетико-статистического размерного эффекта:

{ displaystyle { bar { sigma}} _ {N} = sigma _ {0} left [ left ({ frac {l_ {0}} {D}} right) ^ {rn_ {d} / m} + { frac {rl_ {0}} {D}} right] ^ {1 / r}}

(7)

куда ${ displaystyle r, m}$ - эмпирические константы ( ${ displaystyle rn_ {d} / м <1}$ ). Детерминированная формула (5) восстанавливается как предельный случай для ${ Displaystyle м rightarrow infty}$ . (Рис. 2d) показывает сравнение последней формулы с результатами испытаний для многих различных бетонов, представленных как безразмерная прочность. ${ displaystyle sigma _ {N} / f '_ {t}}$ по сравнению с безразмерными размерами структуры ${ displaystyle D / D_ {0}}$ .

Вероятностная теория размерного эффекта 1-го типа может быть получена из наномеханики разрушения. Теория скорости перехода Крамера показывает, что в наномасштабе крайний левый хвост распределения вероятностей наномасштабной силы ${ displaystyle s}$ является степенным законом типа ${ displaystyle s ^ {2}}$ . Затем анализ многомасштабного перехода к макроуровню материала показывает, что распределение прочности RVE является гауссовым, но с левым хвостом Вейбулла (или степенным законом), показатель степени которого ${ displaystyle m}$ намного больше 2 и прививается примерно с вероятностью около 0,001.

Для конструкций с ${ displaystyle N_ {eq} <10 ^ {4}}$ , которые являются обычными для квазихрупких материалов, теория Вейбулла неприменима. Но лежащая в основе модель самого слабого звена, выраженная формулой. (1) для ${ displaystyle P_ {f}}$ , хотя и с конечным ${ displaystyle N}$ , что является важным моментом. Конечность модели цепочки с самым слабым звеном вызывает серьезные отклонения от распределения Вейбулла. Как размер структуры, измеренный ${ displaystyle N_ {eq}}$ , увеличивается, точка прививки левой части Вейбулла перемещается вправо до тех пор, пока ${ displaystyle N_ {eq} = 10 ^ {4}}$ , все распределение становится вейбулловским. Среднее значение силы может быть вычислено из этого распределения, и, как оказалось, его график идентичен графику уравнения. 5 видно на рис. 2g. Точка отклонения от асимптоты Вейбулла определяется расположением точки прививки на распределении прочности одного RVE (рис. 2g). Обратите внимание, что конечность цепи в модели с самым слабым звеном отражает детерминированную часть размерного эффекта.

Эта теория также была распространена на размерный эффект на Evans и Законы Парижа роста трещин в квазихрупких материалах и размерного влияния на статическую и усталостную долговечность. Оказалось, что размерный эффект на время жизни намного сильнее, чем на кратковременной силе (хвостовой показатель ${ displaystyle m}$ на порядок меньше).

Тип 2: конструкции с большой трещиной или выемкой.

Рис. 4

Наибольший возможный размерный эффект наблюдается у образцов с одинаковой глубиной выемки (Рис. 4b), или для конструкций, в которых большая трещина, аналогичная для разных размеров, стабильно образуется до достижения максимальной нагрузки. Поскольку место начала разрушения заранее определено как вершина трещины и, таким образом, не может производить выборку случайной силы различных RVE, статистический вклад в эффект среднего размера незначителен. Такое поведение характерно для железобетона, поврежденных фиброармированных полимеров и некоторых сжатых неармированных конструкций.

Эффект энергетического размера можно интуитивно объяснить, рассматривая панель на рис. 1c, d, первоначально находящуюся под однородным напряжением, равным ${ displaystyle sigma _ {N}}$ . Введение трещины длины ${ displaystyle a}$ , с зоной поражения шириной ${ displaystyle h}$ на кончике, снимает напряжение и, следовательно, энергию деформации от заштрихованных неповрежденных треугольников наклона ${ displaystyle k}$ по бокам трещины. Тогда, если ${ displaystyle k}$ и ${ displaystyle a / D}$ примерно одинаковы для разных размеров, энергия, выделяемая заштрихованными треугольниками, пропорциональна ${ displaystyle { bar {U}} D ^ {2}}$ , а энергия, рассеиваемая процессом разрушения, пропорциональна ${ displaystyle G_ {f} D}$ ; Вот ${ displaystyle G_ {f}}$ = энергия разрушения материала, ${ displaystyle { bar {U}} = sigma _ {N} ^ {2} / 2E}$ = плотность энергии до разрушения, и ${ displaystyle E}$ = Модуль упругости Юнга. Несоответствие между ${ displaystyle D}$ и ${ displaystyle D ^ {2}}$ показывает, что баланс высвобождения энергии и скорости рассеяния может существовать для любого размера ${ displaystyle D}$ только если ${ displaystyle sigma _ {N}}$ уменьшается с увеличением ${ displaystyle D}$ . Если энергия рассеивается в зоне повреждения шириной ${ displaystyle h}$ добавляется, получаем закон размерного эффекта Бажанта (1984) (Тип 2):

{ displaystyle sigma _ {N} = Bf '_ {t} left (1 + { frac {D} {D_ {0}}} right) ^ {- 1/2}}

(8)

(Рис. 4в, г) где ${ displaystyle B, f '_ {t}, D_ {0}}$ = константы, где ${ displaystyle f '_ {t}}$ = предел прочности материала на разрыв, и ${ displaystyle B}$ учитывает геометрию конструкции.

Для более сложных геометрий такой интуитивный вывод невозможен. Однако размерный анализ в сочетании с асимптотическим согласованием показал, что уравнение. 8 применимо в целом, и что зависимость его параметров от геометрии конструкции имеет примерно следующий вид:

{ displaystyle Bf '_ {t} = { sqrt { frac {EG_ {f}} {g' ( alpha _ {0}) c_ {f}}}}, ; ; ; ; D_ {0} = c_ {f} { frac {g '( alpha _ {0})} {g ( alpha _ {0})}}}

(9)

куда ${ displaystyle c_ {f} приблизительно}$ половина длины ФПЗ, ${ displaystyle alpha _ {0} = а / D}$ = относительная начальная длина трещины (которая постоянна для геометрически подобного масштабирования); ${ Displaystyle г ( альфа _ {0}) = к ^ {2} ( альфа _ {0})}$ = безразмерная функция энерговыделения линейной упругой механики разрушения (LEFM), которая вызывает эффект геометрии конструкции; ${ Displaystyle к ( альфа _ {0}) = К ( альфа _ {0}) б { sqrt {D}} / P}$ , и ${ displaystyle K}$ = коэффициент интенсивности напряжений. Подгонка уравнения. 8 к ${ displaystyle sigma _ {N}}$ данные испытаний геометрически похожих образцов с надрезом очень разных размеров - хороший способ определить ${ displaystyle G_ {f}}$ и ${ displaystyle c_ {f}}$ материала.

Размерный эффект в когезионных трещинах, трещинных полосах и нелокальных моделях

Численное моделирование отказов с помощью программ конечных элементов может уловить энергетический (или детерминированный) размерный эффект только в том случае, если закон материала, связывающий напряжение с деформацией, имеет характерную длину. Это было не так для классических кодов конечных элементов с материалом, характеризующимся исключительно отношениями напряжения и деформации.

Одним из достаточно простых вычислительных методов является модель связной (или фиктивной) трещины, в которой предполагается, что напряжение ${ displaystyle sigma}$ передача через частично открытую трещину является убывающей функцией раскрытия трещины ${ displaystyle w}$ , т.е. ${ Displaystyle sigma = е (ш)}$ . Площадь под этой функцией ${ displaystyle G_ {f}}$ , и

{ displaystyle l_ {ch} = EG_ {f} / {f '_ {t}} ^ {2}}

(10)

- характерная длина материала, вызывающая детерминированный размерный эффект. Еще более простым методом является модель полосы трещин, в которой связная трещина заменяется при моделировании полосой трещины шириной ${ displaystyle h}$ равным одному размеру конечного элемента и соотношению напряжение-деформация, которое смягчается в поперечном направлении как ${ Displaystyle sigma = { шляпа {f}} ( epsilon)}$ куда ${ displaystyle epsilon = ш / в}$ = средняя деформация в этом направлении.

Когда ${ displaystyle h}$ необходимо отрегулировать, соотношение напряжения и деформации при разупрочнении регулируется таким образом, чтобы поддерживать правильное рассеяние энергии ${ displaystyle G_ {f}}$ . Более универсальным методом является модель нелокального повреждения, в которой напряжение в точке континуума является функцией не деформации в этой точке, а среднего значения поля деформации в определенной окрестности размера ${ displaystyle h}$ сосредоточен в этой точке. Еще одним методом является модель градиентного повреждения, в которой напряжение зависит не только от деформации в этой точке, но также от градиента деформации. Все эти вычислительные методы могут гарантировать объективность и правильную сходимость в отношении уточнения сетки конечных элементов.

Фрактальные аспекты размерного эффекта

Фрактальные свойства материала, включая фрактальный аспект шероховатости поверхности трещины и лакунарный фрактальный аспект пористой структуры, могут иметь значение в размерном эффекте в бетоне и могут влиять на энергию разрушения материала. Однако фрактальные свойства еще не были экспериментально задокументированы в достаточно широком масштабе, и проблема еще не изучена глубоко, сравнимо со статистическими и энергетическими размерными эффектами. Основное препятствие на пути практического рассмотрения влияния фрактала на размерный эффект состоит в том, что при калибровке для одной геометрии структуры неясно, как вывести размерный эффект для другой геометрии. Плюсы и минусы обсуждались, например, Carpinteri et al. (1994, 2001) и Бажант и Явари (2005).

Практическое значение

Рис. 5 Схематическое объяснение отказа нефтяной платформы Sleipner A, Норвегия, 1991 год. Трицелл этой конструкции стоимостью 500 миллионов долларов, высотой 190 метров, взорвался под напором воды 67 м, в результате чего платформа затонула в течение 18 минут (без погибших). Правительственная комиссия определила два фактора, вызывающих отказ: плохая детализация арматуры и плохая сетка конечных элементов. Отдельное исследование задокументировало третий способствующий фактор: размерный эффект показанного разрушения при сдвиге, который снизил сдвигающую способность примерно на 40%.

Учет размерного эффекта необходим для безопасного прогнозирования прочности больших бетонных мостов, ядерных защитных ограждений, оболочек крыш, высотных зданий, футеровки туннелей, больших несущих частей самолетов, космических аппаратов и кораблей из композитов с волокном и полимером, ветряных турбин , крупные инженерно-геологические раскопки, откосы земли и горных пород, плавающие морские ледовые нагрузки, нефтяные платформы под воздействием ледовых сил и т. д. Их конструкция зависит от свойств материала, измеренных на гораздо меньших лабораторных образцах. Эти свойства необходимо экстраполировать на размеры на один или два порядка больше. Даже если может быть проведено дорогостоящее полномасштабное испытание на отказ, например испытание на отказ руля направления очень большого самолета, повторение его тысячу раз для получения статистического распределения грузоподъемности является финансово недопустимым. Такую статистическую информацию, лежащую в основе факторов безопасности, можно получить только путем надлежащей экстраполяции лабораторных испытаний.

Эффект размера приобретает все большее значение по мере того, как строятся все более и более крупные структуры, все более и более тонкие формы.Коэффициенты безопасности, конечно, дают большой запас прочности - настолько большой, что даже для самых крупных строительных конструкций классический детерминированный анализ, основанный на средних свойствах материала, обычно дает разрушающие нагрузки, меньшие, чем максимальные расчетные нагрузки. По этим причинам влияние размера на прочность при хрупком разрушении бетонных конструкций и конструкционных ламинатов долгое время игнорировалось. Однако тогда вероятность отказа, которая должна быть ${ displaystyle <10 ^ {- 6}}$ , и действительно имеет такие значения для структур нормального размера, может стать для очень больших структур всего лишь ${ displaystyle 10 ^ {- 3}}$ за всю жизнь. Такая высокая вероятность отказа недопустима, поскольку она значительно увеличивает риски, которым неизбежно подвергаются люди. Фактически, исторический опыт показывает, что очень большие конструкции выходили из строя с частотой на несколько порядков выше, чем более мелкие. Причина, по которой это не вызвало общественного резонанса, заключается в том, что крупных сооружений немного. Но для местных жителей, которым приходится ежедневно пользоваться сооружениями, риск неприемлем.

Еще одно приложение - это испытание энергии разрушения и характерной длины материала. Для квазихрупких материалов измерение влияния размера на пиковые нагрузки (и на размягчение образца после пиковой нагрузки) является самым простым подходом.

Знание размерного эффекта также важно в обратном смысле - для устройств с микрометрической шкалой, если они спроектированы частично или полностью на основе свойств материала, которые более удобно измерять в масштабе от 0,01 до 0,1 м.

Смотрите также

Примечания

^ Номинальная прочность конструкции (σ_N) имеет единицы стресс и относится к максимальной нагрузке (п_{Максимум}), которую может поддерживать конструкция. Для структур, которые можно аппроксимировать двумерными, σ_N = п_{Максимум}/bD куда б - толщина двумерной структуры. Для трехмерных структур σ_N = п_{Максимум}/D². Любой размер конструкции может быть выбран для D но это должно быть гомологичный на любой размер.

Ссылки и библиография

Баренблатт, Г. (1959). «Образование равновесных трещин при хрупком разрушении. Общие представления и гипотезы, осесимметричные трещины». Прикл. Мат. Мех. 23 (3), 434—444.
Баренблатт, Г. (1996). Масштабирование, самоподобие и промежуточная асимптотика. Издательство Кембриджского университета.
Баренблатт, Г. (1978). Сходство, самоподобие и промежуточная асимптотика Гирометеоиздат, Москва; и английский перевод, Бюро консультантов, Нью-Йорк, 1979 год.
Баренблатт, Г. И. (2003) Масштабирование, Издательство Кембриджского университета.
Бажант, З.П. (1976). «Нестабильность, пластичность и размерный эффект в деформируемом бетоне». J. Engng. Мех. Div., Am. Soc. Civil Engrs., 102, EM2, 331–344; диск. 103, 357–358, 775–777, 104, 501–502.
Бажант, З.П. (1984). «Размерный эффект при тупой трещине: бетон, скала, металл». J. of Engng. Механика, ASCE, 110, 518—535.
Бажант, З.П. (1997a). «Масштабирование квазихрупкого разрушения: асимптотический анализ». Int. J. перелома 83 (1), 19—40.
Бажант, З.П. (2002). «Масштабирование прочности конструкции». 2-е изд., Elsevier, Лондон, 2005.
Бажант, З.П., Чен, Э.-П. (1997). «Масштабирование разрушения конструкции». Обзоры прикладной механики ASME 50 (10), 593—627.
Бажант, З.П., Каземи, М. (1990). «Определение энергии разрушения, длины технологической зоны и числа хрупкости по размерному эффекту, применительно к породе и бетону». Int. J. перелома, 44, 111—131.
Бажант, З.П., и Новак, Д. (2000). «Энергетико-статистический размерный эффект при квазихрупком разрушении при зарождении трещины». Журнал материалов ACI 97 (3), 381—392.
Бажант, З.П., и Планас, Дж. (1998). Разрушение и размерный эффект в бетоне и других квазихрупких материалах. CRC Press, Бока-Ратон, Флорида.
Бажант, З.П., Явари А. (2005). «Является ли причина размерного эффекта на прочность конструкции фрактальной или энергетико-статистической?» Engrg. Механика разрушения 72, 1--31; с обсуждением и ответом в т. 74 (2007), стр. 2897.
Бажант, З. П. (2004) "Теория масштабирования квазихрупких структурных разрушений". Proc. Nat'l. Акад. Наук, США 101 (37), 13397-13399.
Бажант, З.П., Даниэль, И.М., и Ли, З. (1996). «Размерный эффект и характеристики разрушения композитных ламинатов». J. of Engrg. Материалы и технологии ASME 118 (3), 317–324.
Бажант, З.П., Йирасек, М. (2002). «Нелокальные интегральные формулировки пластичности и поврежденности: обзор прогресса». J. Engrg Mech., ASCE, 128(11), 1119-1149.
Бажант, З.П., Ле, Ж.-Л. (2009) «Моделирование распределения срока службы квазихрупких структур на основе наномеханики», J. Engrg. Неудача Ана., 16. С. 2521–2529.
Бажант, З.П., Ле, Ж.-Л., и Базант, М.З. (2009). «Масштабирование распределения прочности и срока службы квазихрупких структур на основе атомистической механики разрушения». Proc. National Acad. наук США 11484-11489
Бажант, З.П., Панг, С.-Д. (2006) «Основанная на механике статистика риска отказа квазихрупких конструкций и влияние размеров на факторы безопасности». Proc. Nat'l Acad. Наук, США 103 (25), стр. 9434–9439.
Бажант З.П., Панг С.-Д. (2007) «Статистика экстремальных значений энергии активации и размерный эффект при хрупком и квазихрупком разрушении». J. Mech. Phys. Твердые тела 55. С. 91–134.
Бажант, З. П., Воржеховский, М., и Новак, Д. (2007) "Асимптотическое предсказание энергетико-статистического размерного эффекта на основе детерминированных решений конечных элементов". J. Engrg. Мех, ASCE, 128, 153–162.
Бажант, З. П. и Кси, Ю. (1991) "Статистический размерный эффект в квазихрупких структурах: II. Нелокальная теория". J. Engrg. Мех., ASCE 117(7), 2623-2640.
Бажант, З. П., Чжоу, Ю., Даниэль, И. М., Канер, Ф. К., и Ю. К. (2006). «Влияние размера на прочность многослойных плит из пенопласта», J. of Engrg. Материалы и технологии ASME 128 (3), 366—374.
Беремин, Ф. (1983). «Локальный критерий разрушения раскола стали корпуса ядерного высокого давления». Металлургические операции A, 14, 2277—2287.
Бушо, Э. (1997). «Масштабируемость трещин». J. Phys .: Condens. Иметь значение 9, 4319—4344.
Карпинтери, А. (1994). «Законы масштабирования и ренормгруппы для прочности и вязкости неупорядоченных материалов». Int. J. твердых тел и структур 31 (3), 291—302.
Карпинтери А., Кьяйя Б. и Корнетти П. (2001). «Статико-кинематическая двойственность и принцип виртуальной работы в механике фрактальных сред». Комп. Meth. в Прил. Мех. и Engrg. 19, 3--19.
Коулман, Б. Д. (1958) "Статистика и зависимость от времени механического разрушения волокон". J. Appl. Phys. 29 (6), стр. 968–983.
да Винчи, Л. (1500-е годы) --- см. Записные книжки Леонардо да Винчи (1945), Эдвард Маккарди, Лондон (стр. 546); и Les Manuscrits de Léonard de Vinci, пер. на французском языке К. Равассон-Моллиен, Institut de France (1881–91), Vol. 3.
Фишер, Р.А. и Типпетт, L.H.C. (1928). «Предельные формы частотного распределения самого большого и самого маленького члена выборки». Proc., Кембриджское философское общество 24, 180—190.
Фреше, М. (1927). "Sur la loi de probabilité de l 'écart maximum". Анна. Soc. Полон. Математика. 6, стр. 93.
Фройденталь А.М., Гамбелл Э.Дж. (1956). «Физические и статистические аспекты утомления». в Успехи прикладной механики, Vol. 4, Academic Press, 117–157.
Грассл П., Бажант З. П. (2009). «Случайное моделирование с помощью частиц решетки статистического размерного эффекта в квазихрупких структурах, разрушающихся при зарождении трещины». J. of Engrg. Мех. ASCE 135 (2), февраль, 85–92.
Гамбель, Э.Дж. (1958). Статистика крайностей. Издательство Колумбийского университета, Нью-Йорк.
Харлоу, Д. Г. и Феникс, С. Л. (1978) "Вероятностная модель цепочки пучков для прочности волокнистых материалов I: анализ и предположения". J. Comp. Mater. 12: 195-214
Харлоу, Д. Г. и Феникс, С. Л. (1979) "Границы вероятности разрушения композитных материалов". Int. J. Frac. 15(4), 312-336
Хиллерборг А. (1985). «Теоретические основы метода определения энергии разрушения. ${ displaystyle G_ {f}}$ из бетона ". Материалы и конструкции 18 (106), 291—296.
Хиллерборг А., Модеер М. и Петерссон П.Е. (1976). «Анализ трещинообразования и роста трещин в бетоне с помощью механики разрушения и конечных элементов». Цемент и бетонные исследования 6 773—782.
Ле, Ж.-Л., и Бажант, З.П. (2009) "Модель конечного слабого звена с нулевым порогом для распределения прочности зубной реставрационной керамики", Вмятина. Mater., 25, № 5, 2009, с. 641–648
Ле Ж.-Л., Бажант З.П. (2011). "Единая вероятностная теория квазихрупких и хрупких структур на основе наномеханики". J. мех. и Phys. твердых тел, в прессе.
Махеш, С. и Феникс, С. Л. (2004) "Распределение срока службы для однонаправленных волокнистых композитов при ползучести-разрывной нагрузке". Int. J. Fract. 127. С. 303–360.
Мариотт, Э. (1686). Traité du mouvement des eaux, посмертно отредактированный М. де ла Гиром; Англ. перевод автор: J.T. Desvaguliers, Лондон (1718), стр. 249; также Собрание сочинений Мариотта, 2-е изд., Гаага (1740 г.).
Михаши, Х., Окамура, Х., Бажант, З.П., редакторы (1994). Размерный эффект в бетонных конструкциях (Proc., Международный семинар Японского института бетона, проведенный в Сендае, Япония, 31 октября - 2 ноября 1993 г.). E & FN Spon, Лондон-Нью-Йорк, 556 + xiv страниц).
Феникс, С. Л. (1978a) "Стохастическая прочность и усталость пучков волокон". Int. J. Frac. Vol. 14, № 3, 327-344.
Феникс, С. Л. (1978b) "Асимптотическое время до отказа механической системы параллельных элементов". SIAM J. Appl. Математика. Vol. 34, No. 2, 227-246.
Феникс, С. Л., и Тирни, Л.-Дж. (1983) «Статистическая модель для зависящего от времени разрушения однонаправленных композитных материалов при локальном распределении упругой нагрузки между волокнами». Engrg. Фракция. Мех. 18 (1), стр. 193–215.
Phoenix, S. L., Ibnabdeljalil, M., Hui, C.-Y. (1997). «Размерные эффекты в распределении прочности волокнистых композитов с хрупкой матрицей». Int. J. Solids Struct. 34(5), 545-568.
Пияодье-Кабот, Г., Бажант, З.П. (1987). «Теория нелокальных повреждений». J. of Engrg. Механика, ASCE 113 (10), 1512–1533.
Комитет RILEM TC-QFS (2004). «Масштабирование квазихрупких трещин и размерный эффект --- Заключительный отчет». Материалы и конструкции (Париж) 37 (№ 272), 547–586.
Избранные статьи Альфреда М. Фройденталя (1981). Являюсь. Soc. of Civil Engrs., Нью-Йорк.
Смит, Р. Л. (1982) "Асимптотическое распределение прочности последовательно-параллельной системы с равным распределением нагрузки". Энн Пробаб. 10 (1), с. 137 - 171.
Тирни, Л.-Дж. (1983) «Асимптотические оценки времени до усталостного разрушения пучков волокон при локальном распределении нагрузки». Adv. Appl. Вероятность. Том 14, №1, стр. 95–121.
Вейбулл, В. (1939). «Явление разрыва твердых тел». Proc., Шведский королевский институт инженерных исследований (Ingenioersvetenskaps Akad. Handl.) 153, Стокгольм, 1--55.
Вейбулл, В. (1949). «Статистическое представление усталостных отказов твердых тел». Proc., Рой. Inst. техн. Нет. 27.
Вейбулл, В. (1951). «Статистическая функция распределения широкого применения». J. прикладной механики ASME, Vol. 18.
Вейбулл, В. (1956). «Основные аспекты переутомления». Proc., Коллоквиум по усталости., Стокгольм, Спрингер — Верлаг.
Сюй, X. F. (2007) "Многомасштабный стохастический метод конечных элементов для эллиптических задач, связанных с неопределенностями". Comput. Meth. Appl. Мех. Engrg. 196. С. 2723–2736.
Журков, С. Н. (1965). «Кинетическая концепция прочности твердых тел». Int. J. Fract. Мех. 1 (4), стр. 311–323.
Степанов И.А. (1995). «Масштабный эффект - следствие ячеистой структуры твердых тел. Термофлуктуационный характер разброса значений прочности». Материаловедение 31 (4), стр. 441–447.

внешняя ссылка

СМИ, связанные с Влияние размера на прочность конструкции в Wikimedia Commons

[1] Номинальная прочность конструкции (σ_N) имеет единицы стресс и относится к максимальной нагрузке (п_{Максимум}), которую может поддерживать конструкция. Для структур, которые можно аппроксимировать двумерными, σ_N = п_{Максимум}/bD куда б - толщина двумерной структуры. Для трехмерных структур σ_N = п_{Максимум}/D². Любой размер конструкции может быть выбран для D но это должно быть гомологичный на любой размер.

[2] Баренблатт, Г. (1959). «Образование равновесных трещин при хрупком разрушении. Общие представления и гипотезы, осесимметричные трещины». Прикл. Мат. Мех. 23 (3), 434—444.

[3] Баренблатт, Г. (1996). Масштабирование, самоподобие и промежуточная асимптотика. Издательство Кембриджского университета.

[4] Баренблатт, Г. (1978). Сходство, самоподобие и промежуточная асимптотика Гирометеоиздат, Москва; и английский перевод, Бюро консультантов, Нью-Йорк, 1979 год.

[5] Баренблатт, Г. И. (2003) Масштабирование, Издательство Кембриджского университета.

[6] Бажант, З.П. (1976). «Нестабильность, пластичность и размерный эффект в деформируемом бетоне». J. Engng. Мех. Div., Am. Soc. Civil Engrs., 102, EM2, 331–344; диск. 103, 357–358, 775–777, 104, 501–502.

[7] Бажант, З.П. (1984). «Размерный эффект при тупой трещине: бетон, скала, металл». J. of Engng. Механика, ASCE, 110, 518—535.

[8] Бажант, З.П. (1997a). «Масштабирование квазихрупкого разрушения: асимптотический анализ». Int. J. перелома 83 (1), 19—40.

[9] Бажант, З.П. (2002). «Масштабирование прочности конструкции». 2-е изд., Elsevier, Лондон, 2005.

[10] Бажант, З.П., Чен, Э.-П. (1997). «Масштабирование разрушения конструкции». Обзоры прикладной механики ASME 50 (10), 593—627.

[11] Бажант, З.П., Каземи, М. (1990). «Определение энергии разрушения, длины технологической зоны и числа хрупкости по размерному эффекту, применительно к породе и бетону». Int. J. перелома, 44, 111—131.

[12] Бажант, З.П., и Новак, Д. (2000). «Энергетико-статистический размерный эффект при квазихрупком разрушении при зарождении трещины». Журнал материалов ACI 97 (3), 381—392.

[13] Бажант, З.П., и Планас, Дж. (1998). Разрушение и размерный эффект в бетоне и других квазихрупких материалах. CRC Press, Бока-Ратон, Флорида.

[14] Бажант, З.П., Явари А. (2005). «Является ли причина размерного эффекта на прочность конструкции фрактальной или энергетико-статистической?» Engrg. Механика разрушения 72, 1--31; с обсуждением и ответом в т. 74 (2007), стр. 2897.

[15] Бажант, З. П. (2004) "Теория масштабирования квазихрупких структурных разрушений". Proc. Nat'l. Акад. Наук, США 101 (37), 13397-13399.

[16] Бажант, З.П., Даниэль, И.М., и Ли, З. (1996). «Размерный эффект и характеристики разрушения композитных ламинатов». J. of Engrg. Материалы и технологии ASME 118 (3), 317–324.

[17] Бажант, З.П., Йирасек, М. (2002). «Нелокальные интегральные формулировки пластичности и поврежденности: обзор прогресса». J. Engrg Mech., ASCE, 128(11), 1119-1149.

[18] Бажант, З.П., Ле, Ж.-Л. (2009) «Моделирование распределения срока службы квазихрупких структур на основе наномеханики», J. Engrg. Неудача Ана., 16. С. 2521–2529.

[19] Бажант, З.П., Ле, Ж.-Л., и Базант, М.З. (2009). «Масштабирование распределения прочности и срока службы квазихрупких структур на основе атомистической механики разрушения». Proc. National Acad. наук США 11484-11489

[20] Бажант, З.П., Панг, С.-Д. (2006) «Основанная на механике статистика риска отказа квазихрупких конструкций и влияние размеров на факторы безопасности». Proc. Nat'l Acad. Наук, США 103 (25), стр. 9434–9439.

[21] Бажант З.П., Панг С.-Д. (2007) «Статистика экстремальных значений энергии активации и размерный эффект при хрупком и квазихрупком разрушении». J. Mech. Phys. Твердые тела 55. С. 91–134.

[22] Бажант, З. П., Воржеховский, М., и Новак, Д. (2007) "Асимптотическое предсказание энергетико-статистического размерного эффекта на основе детерминированных решений конечных элементов". J. Engrg. Мех, ASCE, 128, 153–162.

[23] Бажант, З. П. и Кси, Ю. (1991) "Статистический размерный эффект в квазихрупких структурах: II. Нелокальная теория". J. Engrg. Мех., ASCE 117(7), 2623-2640.

[24] Бажант, З. П., Чжоу, Ю., Даниэль, И. М., Канер, Ф. К., и Ю. К. (2006). «Влияние размера на прочность многослойных плит из пенопласта», J. of Engrg. Материалы и технологии ASME 128 (3), 366—374.

[25] Беремин, Ф. (1983). «Локальный критерий разрушения раскола стали корпуса ядерного высокого давления». Металлургические операции A, 14, 2277—2287.

[26] Бушо, Э. (1997). «Масштабируемость трещин». J. Phys .: Condens. Иметь значение 9, 4319—4344.

[27] Карпинтери, А. (1994). «Законы масштабирования и ренормгруппы для прочности и вязкости неупорядоченных материалов». Int. J. твердых тел и структур 31 (3), 291—302.

[28] Карпинтери А., Кьяйя Б. и Корнетти П. (2001). «Статико-кинематическая двойственность и принцип виртуальной работы в механике фрактальных сред». Комп. Meth. в Прил. Мех. и Engrg. 19, 3--19.

[29] Коулман, Б. Д. (1958) "Статистика и зависимость от времени механического разрушения волокон". J. Appl. Phys. 29 (6), стр. 968–983.

[30] да Винчи, Л. (1500-е годы) --- см. Записные книжки Леонардо да Винчи (1945), Эдвард Маккарди, Лондон (стр. 546); и Les Manuscrits de Léonard de Vinci, пер. на французском языке К. Равассон-Моллиен, Institut de France (1881–91), Vol. 3.

[31] Фишер, Р.А. и Типпетт, L.H.C. (1928). «Предельные формы частотного распределения самого большого и самого маленького члена выборки». Proc., Кембриджское философское общество 24, 180—190.

[32] Фреше, М. (1927). "Sur la loi de probabilité de l 'écart maximum". Анна. Soc. Полон. Математика. 6, стр. 93.

[33] Фройденталь А.М., Гамбелл Э.Дж. (1956). «Физические и статистические аспекты утомления». в Успехи прикладной механики, Vol. 4, Academic Press, 117–157.

[34] Грассл П., Бажант З. П. (2009). «Случайное моделирование с помощью частиц решетки статистического размерного эффекта в квазихрупких структурах, разрушающихся при зарождении трещины». J. of Engrg. Мех. ASCE 135 (2), февраль, 85–92.

[35] Гамбель, Э.Дж. (1958). Статистика крайностей. Издательство Колумбийского университета, Нью-Йорк.

[36] Харлоу, Д. Г. и Феникс, С. Л. (1978) "Вероятностная модель цепочки пучков для прочности волокнистых материалов I: анализ и предположения". J. Comp. Mater. 12: 195-214

[37] Харлоу, Д. Г. и Феникс, С. Л. (1979) "Границы вероятности разрушения композитных материалов". Int. J. Frac. 15(4), 312-336

[38] Хиллерборг А. (1985). «Теоретические основы метода определения энергии разрушения. ${ displaystyle G_ {f}}$ из бетона ". Материалы и конструкции 18 (106), 291—296.

[39] Хиллерборг А., Модеер М. и Петерссон П.Е. (1976). «Анализ трещинообразования и роста трещин в бетоне с помощью механики разрушения и конечных элементов». Цемент и бетонные исследования 6 773—782.

[40] Ле, Ж.-Л., и Бажант, З.П. (2009) "Модель конечного слабого звена с нулевым порогом для распределения прочности зубной реставрационной керамики", Вмятина. Mater., 25, № 5, 2009, с. 641–648

[41] Ле Ж.-Л., Бажант З.П. (2011). "Единая вероятностная теория квазихрупких и хрупких структур на основе наномеханики". J. мех. и Phys. твердых тел, в прессе.

[42] Махеш, С. и Феникс, С. Л. (2004) "Распределение срока службы для однонаправленных волокнистых композитов при ползучести-разрывной нагрузке". Int. J. Fract. 127. С. 303–360.

[43] Мариотт, Э. (1686). Traité du mouvement des eaux, посмертно отредактированный М. де ла Гиром; Англ. перевод автор: J.T. Desvaguliers, Лондон (1718), стр. 249; также Собрание сочинений Мариотта, 2-е изд., Гаага (1740 г.).

[44] Михаши, Х., Окамура, Х., Бажант, З.П., редакторы (1994). Размерный эффект в бетонных конструкциях (Proc., Международный семинар Японского института бетона, проведенный в Сендае, Япония, 31 октября - 2 ноября 1993 г.). E & FN Spon, Лондон-Нью-Йорк, 556 + xiv страниц).

[45] Феникс, С. Л. (1978a) "Стохастическая прочность и усталость пучков волокон". Int. J. Frac. Vol. 14, № 3, 327-344.

[46] Феникс, С. Л. (1978b) "Асимптотическое время до отказа механической системы параллельных элементов". SIAM J. Appl. Математика. Vol. 34, No. 2, 227-246.

[47] Феникс, С. Л., и Тирни, Л.-Дж. (1983) «Статистическая модель для зависящего от времени разрушения однонаправленных композитных материалов при локальном распределении упругой нагрузки между волокнами». Engrg. Фракция. Мех. 18 (1), стр. 193–215.

[48] Phoenix, S. L., Ibnabdeljalil, M., Hui, C.-Y. (1997). «Размерные эффекты в распределении прочности волокнистых композитов с хрупкой матрицей». Int. J. Solids Struct. 34(5), 545-568.

[49] Пияодье-Кабот, Г., Бажант, З.П. (1987). «Теория нелокальных повреждений». J. of Engrg. Механика, ASCE 113 (10), 1512–1533.

[50] Комитет RILEM TC-QFS (2004). «Масштабирование квазихрупких трещин и размерный эффект --- Заключительный отчет». Материалы и конструкции (Париж) 37 (№ 272), 547–586.

[51] Избранные статьи Альфреда М. Фройденталя (1981). Являюсь. Soc. of Civil Engrs., Нью-Йорк.

[52] Смит, Р. Л. (1982) "Асимптотическое распределение прочности последовательно-параллельной системы с равным распределением нагрузки". Энн Пробаб. 10 (1), с. 137 - 171.

[53] Тирни, Л.-Дж. (1983) «Асимптотические оценки времени до усталостного разрушения пучков волокон при локальном распределении нагрузки». Adv. Appl. Вероятность. Том 14, №1, стр. 95–121.

[54] Вейбулл, В. (1939). «Явление разрыва твердых тел». Proc., Шведский королевский институт инженерных исследований (Ingenioersvetenskaps Akad. Handl.) 153, Стокгольм, 1--55.

[55] Вейбулл, В. (1949). «Статистическое представление усталостных отказов твердых тел». Proc., Рой. Inst. техн. Нет. 27.

[56] Вейбулл, В. (1951). «Статистическая функция распределения широкого применения». J. прикладной механики ASME, Vol. 18.

[57] Вейбулл, В. (1956). «Основные аспекты переутомления». Proc., Коллоквиум по усталости., Стокгольм, Спрингер — Верлаг.

[58] Сюй, X. F. (2007) "Многомасштабный стохастический метод конечных элементов для эллиптических задач, связанных с неопределенностями". Comput. Meth. Appl. Мех. Engrg. 196. С. 2723–2736.

[59] Журков, С. Н. (1965). «Кинетическая концепция прочности твердых тел». Int. J. Fract. Мех. 1 (4), стр. 311–323.

[60] Степанов И.А. (1995). «Масштабный эффект - следствие ячеистой структуры твердых тел. Термофлуктуационный характер разброса значений прочности». Материаловедение 31 (4), стр. 441–447.

[1]

Navigation