WikiDer > Кососимметричная матрица

Эта статья включает в себя список общих использованная литература, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшить эта статья введение более точные цитаты. (Ноябрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, особенно в линейная алгебра, а кососимметричный (или антисимметричный или антиметрический^[1]) матрица это квадратная матрица чья транспонировать равно его отрицательному. То есть удовлетворяет условию^{[2]:п. 38}

В терминах элементов матрицы, если ${ textstyle a_ {ij}}$ обозначает запись в ${ textstyle i}$-й ряд и ${ textstyle j}$-го столбца, то условие кососимметричности эквивалентно

пример

Матрица

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 0 & 2 & -45 - 2 & 0 & -4 45 & 4 & 0 end {bmatrix}}}$

кососимметричен, потому что

${ displaystyle -A = { begin {bmatrix} 0 & -2 & 45 2 & 0 & 4 - 45 & -4 & 0 end {bmatrix}} = A ^ { extf {T}}.}$

Характеристики

Всюду мы предполагаем, что все элементы матрицы принадлежат поле ${ textstyle mathbb {F}}$ чья характеристика не равно 2. То есть мы предполагаем, что 1 + 1 ≠ 0, где 1 обозначает мультипликативную единицу, а 0 - аддитивную единицу данного поля. Если характеристика поля равна 2, то кососимметричная матрица - это то же самое, что симметричная матрица.

• Сумма двух кососимметричных матриц кососимметрична.
• Скалярное кратное кососимметричной матрицы является кососимметричным.
• Элементы на диагонали кососимметричной матрицы равны нулю, и поэтому ее след равно нулю.
• Если ${ textstyle A}$ - вещественная кососимметричная матрица и ${ textstyle lambda}$ настоящий собственное значение, тогда ${ textstyle lambda = 0}$, т.е. ненулевые собственные значения кососимметричной матрицы невещественны.
• Если ${ textstyle A}$ - вещественная кососимметричная матрица, то ${ textstyle I + A}$ является обратимый, где ${ textstyle I}$ - единичная матрица.
• Если ${ textstyle A}$ является кососимметричной матрицей, то ${ textstyle A ^ {2}}$ симметричный отрицательная полуопределенная матрица.

Структура векторного пространства

В результате первых двух свойств, описанных выше, набор всех кососимметричных матриц фиксированного размера образует векторное пространство. Пространство ${ textstyle п раз п}$ кососимметричные матрицы имеют измерение ${ textstyle { frac {1} {2}} n (n-1).}$

Позволять ${ displaystyle { mbox {Mat}} _ {n}}$ обозначим пространство ${ textstyle п раз п}$ матрицы. Кососимметричная матрица определяется формулой ${ textstyle { frac {1} {2}} п (п-1)}$ скаляры (количество записей над главная диагональ); а симметричная матрица определяется ${ textstyle { frac {1} {2}} п (п + 1)}$ скаляры (количество вхождений на главной диагонали или выше). Позволять ${ textstyle { mbox {Skew}} _ {n}}$ обозначим пространство ${ textstyle п раз п}$ кососимметричные матрицы и ${ textstyle { mbox {Sym}} _ {n}}$ обозначим пространство ${ textstyle п раз п}$ симметричные матрицы. Если ${ textstyle A in { mbox {Mat}} _ {n}}$ тогда

${ displaystyle A = { frac {1} {2}} left (AA ^ { mathsf {T}} right) + { frac {1} {2}} left (A + A ^ { mathsf {T}} right).}$

Заметь ${ textstyle { frac {1} {2}} left (A-A ^ { extf {T}} right) in { mbox {Skew}} _ {n}}$ и ${ textstyle { frac {1} {2}} left (A + A ^ { extf {T}} right) in { mbox {Sym}} _ {n}.}$ Это верно для каждого квадратная матрица ${ textstyle A}$ с записями из любых поле чья характеристика отличается от 2. Тогда, поскольку ${ textstyle { mbox {Mat}} _ {n} = { mbox {Skew}} _ {n} + { mbox {Sym}} _ {n}}$ и ${ textstyle { mbox {Skew}} _ {n} cap { mbox {Sym}} _ {n} = 0,}$

${ displaystyle { mbox {Mat}} _ {n} = { mbox {Skew}} _ {n} oplus { mbox {Sym}} _ {n},}$

где ${ displaystyle oplus}$ обозначает прямая сумма.

Обозначим через ${ textstyle langle cdot, cdot rangle}$ стандарт внутренний продукт на ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}.}$ Реальность ${ Displaystyle п раз п}$ матрица ${ textstyle A}$ кососимметрична тогда и только тогда, когда

${ displaystyle langle Ax, y rangle = - langle x, Ay rangle quad forall x, y in mathbb {R} ^ {n}.}$

Это также эквивалентно ${ textstyle langle x, Ax rangle = 0}$ для всех ${ Displaystyle х в mathbb {R} ^ {п}}$ (одно следствие очевидно, другое - простое следствие ${ textstyle langle x + y, A (x + y) rangle = 0}$ для всех ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$).

Поскольку это определение не зависит от выбора основа, кососимметрия - это свойство, зависящее только от линейный оператор ${ displaystyle A}$ и выбор внутренний продукт.

${ displaystyle 3 times 3}$ кососимметричные матрицы могут использоваться для представления перекрестные продукты как матричные умножения.

Детерминант

Позволять ${ displaystyle A}$ быть ${ Displaystyle п раз п}$ кососимметричная матрица. В детерминант из ${ displaystyle A}$ удовлетворяет

${ displaystyle det left (A ^ { extf {T}} right) = det (-A) = (- 1) ^ {n} det (A).}$

В частности, если ${ displaystyle n}$ нечетно, и поскольку основное поле не имеет характеристики 2, определитель обращается в нуль. Следовательно, все кососимметричные матрицы нечетной размерности сингулярны, поскольку их определители всегда равны нулю. Этот результат называется Теорема Якоби, после Карл Густав Якоби (Eves, 1980).

Чётный случай более интересен. Оказывается, определитель ${ displaystyle A}$ за ${ displaystyle n}$ даже можно записать как квадрат многочлен в записях ${ displaystyle A}$, что впервые было доказано Кэли:^[3]

${ displaystyle det {(A)} = operatorname {Pf} (A) ^ {2}.}$

Этот многочлен называется Пфаффиан из ${ displaystyle A}$ и обозначается ${ displaystyle operatorname {Pf} (A)}$. Таким образом, определитель реальной кососимметричной матрицы всегда неотрицателен. Однако этот последний факт можно элементарно доказать следующим образом: собственные значения вещественной кососимметричной матрицы являются чисто мнимыми (см. Ниже) и каждому собственному значению соответствует сопряженное собственное значение той же кратности; следовательно, поскольку определитель является произведением собственных значений, каждое из которых повторяется в соответствии с его кратностью, сразу следует, что определитель, если он не равен 0, является положительным действительным числом.

Количество различных терминов ${ Displaystyle s (п)}$ в разложении определителя кососимметричной матрицы порядка ${ displaystyle n}$ уже рассматривался Кэли, Сильвестром и Пфаффом. Из-за отмены это количество довольно мало по сравнению с количеством членов общей матрицы порядка. ${ displaystyle n}$, который ${ displaystyle n!}$. Последовательность ${ Displaystyle s (п)}$ (последовательность A002370 в OEIS) является

1, 0, 1, 0, 6, 0, 120, 0, 5250, 0, 395010, 0, …

и он закодирован в экспоненциальная производящая функция

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {s (n)} {n!}} x ^ {n} = left (1-x ^ {2} right) ^ {- { frac {1} {4}}} exp left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right).}$

Последняя поддается асимптотике (при ${ displaystyle n}$ четное)

${ displaystyle s (n) = pi ^ {- { frac {1} {2}}} 2 ^ { frac {3} {4}} Gamma left ({ frac {3} {4} } right) left ({ frac {n} {e}} right) ^ {n - { frac {1} {4}}} left (1 + O left ({ frac {1} {n}} right) right).}$

Количество положительных и отрицательных членов составляет примерно половину от общего числа, хотя их разница принимает все большие и большие положительные и отрицательные значения, поскольку ${ displaystyle n}$ увеличивается (последовательность A167029 в OEIS).

Перекрестное произведение

Кососимметричные матрицы размером три на три могут использоваться для представления перекрестных произведений в виде умножения матриц. Учитывать векторов ${ textstyle mathbf {a} = left (a_ {1} a_ {2} a_ {3} right) ^ { extf {T}}}$ и ${ textstyle mathbf {b} = left (b_ {1} b_ {2} b_ {3} right) ^ { extf {T}}.}$ Затем, определяя матрицу

${ displaystyle [ mathbf {a}] _ { times} = { begin {bmatrix} , , 0 & ! - a_ {3} & , , , a_ {2} , , , a_ {3} & 0 & ! - a_ {1} ! - a_ {2} & , , a_ {1} & , , 0 end {bmatrix}},}$

перекрестное произведение можно записать как

${ displaystyle mathbf {a} times mathbf {b} = [ mathbf {a}] _ { times} mathbf {b}.}$

Это можно сразу проверить, вычислив обе части предыдущего уравнения и сравнив каждый соответствующий элемент результатов.

У одного действительно есть

${ displaystyle [ mathbf {a times b}] _ { times} = [ mathbf {a}] _ { times} [ mathbf {b}] _ { times} - [ mathbf {b} ] _ { times} [ mathbf {a}] _ { times};}$

т.е. коммутатор кососимметричных матриц размером три на три можно отождествить с кросс-произведением трех векторов. Поскольку кососимметричные матрицы размером три на три являются Алгебра Ли группы ротации ${ textstyle SO (3)}$ это проясняет связь между трехпространственным ${ textstyle mathbb {R} ^ {3}}$, поперечное произведение и трехмерные вращения. Подробнее о бесконечно малых поворотах можно найти ниже.

Спектральная теория

Поскольку матрица аналогичный для своего собственного транспонирования они должны иметь одинаковые собственные значения. Отсюда следует, что собственные значения кососимметричной матрицы всегда попадают в пары ± λ (за исключением нечетномерного случая, когда имеется дополнительное непарное собственное значение 0). От спектральная теорема, для вещественной кососимметричной матрицы все ненулевые собственные значения являются чистыми воображаемый и поэтому имеют вид ${ displaystyle lambda _ {1} я, - lambda _ {1} я, lambda _ {2} я, - lambda _ {2} я, ldots}$ где каждый из ${ displaystyle lambda _ {k}}$ настоящие.

Действительные кососимметричные матрицы: нормальные матрицы (они ездят со своими примыкает) и, таким образом, подпадают под спектральная теорема, который утверждает, что любую вещественную кососимметричную матрицу можно диагонализовать унитарная матрица. Поскольку собственные значения реальной кососимметричной матрицы мнимые, диагонализовать их с помощью действительной матрицы невозможно. Однако любую кососимметричную матрицу можно привести к диагональ блока форма специальное ортогональное преобразование.^[4][5] В частности, каждый ${ displaystyle 2n times 2n}$ вещественная кососимметричная матрица может быть записана в виде ${ Displaystyle А = Q Sigma Q ^ { extf {T}}}$ где ${ displaystyle Q}$ ортогонален и

${ displaystyle Sigma = { begin {bmatrix} { begin {matrix} 0 & lambda _ {1} - lambda _ {1} & 0 end {matrix}} & 0 & cdots & 0 0 & { begin {matrix} 0 & lambda _ {2} - lambda _ {2} & 0 end {matrix}} && 0 vdots && ddots & vdots 0 & 0 & cdots & { begin {matrix} 0 & lambda _ {r} - lambda _ {r} & 0 end {matrix}} &&&& { begin {matrix} 0 & ddots && 0 end {matrix}} end { bmatrix}}}$

для реального положительно определенного ${ displaystyle lambda _ {k}}$. Ненулевые собственные значения этой матрицы равны ± λ_k я. В нечетномерном случае Σ всегда имеет хотя бы одну строку и столбец нулей.

В более общем смысле любая комплексная кососимметричная матрица может быть записана в виде ${ Displaystyle A = U Sigma U ^ { mathrm {T}}}$ где ${ displaystyle U}$ унитарен и ${ displaystyle Sigma}$ имеет приведенную выше блочно-диагональную форму с ${ displaystyle lambda _ {k}}$ все еще реальный положительно определенный. Это пример разложения Юла сложной квадратной матрицы.^[6]

Кососимметричные и знакопеременные формы

А кососимметричная форма ${ displaystyle varphi}$ на векторное пространство ${ displaystyle V}$ через поле ${ displaystyle K}$ произвольной характеристики определяется как билинейная форма

${ displaystyle varphi: V times V mapsto K}$

такое, что для всех ${ displaystyle v, w}$ в ${ Displaystyle V,}$

${ displaystyle varphi (v, w) = - varphi (w, v).}$

Это определяет форму с желательными свойствами для векторных пространств над полями характеристики, не равной 2, но в векторном пространстве над полем характеристики 2 определение эквивалентно определению симметричной формы, поскольку каждый элемент является его собственным аддитивным обратным .

Где векторное пространство ${ displaystyle V}$ находится над полем произвольных характеристика включая характеристику 2, мы можем определить переменная форма как билинейная форма ${ displaystyle phi}$ такой, что для всех векторов ${ displaystyle v}$ в ${ displaystyle V}$

${ Displaystyle varphi (v, v) = 0.}$

Это эквивалентно кососимметричной форме, когда поле не имеет характеристики 2, как видно из

${ Displaystyle 0 = varphi (v + w, v + w) = varphi (v, v) + varphi (v, w) + varphi (w, v) + varphi (w, w) = varphi (v, w) + varphi (w, v),}$

откуда

${ displaystyle varphi (v, w) = - varphi (w, v).}$

Билинейная форма ${ displaystyle varphi}$ будет представлена ​​матрицей ${ displaystyle A}$ такой, что ${ Displaystyle varphi (v, w) = v ^ { extf {T}} Aw}$, когда основа из ${ displaystyle V}$ выбирается, и, наоборот, ${ Displaystyle п раз п}$ матрица ${ displaystyle A}$ на ${ displaystyle K ^ {n}}$ вызывает отправку формы ${ displaystyle (v, w)}$ к ${ displaystyle v ^ { extf {T}} Ав.}$ Для каждой из симметричных, кососимметричных и переменных форм представляющие матрицы являются симметричными, кососимметричными и чередующимися соответственно.

Бесконечно малые вращения

Кососимметричные матрицы над полем действительных чисел образуют касательное пространство к настоящему ортогональная группа ${ Displaystyle О (п)}$ у единичной матрицы; формально специальная ортогональная алгебра Ли. В этом смысле кососимметричные матрицы можно представить как бесконечно малые вращения.

Другими словами, пространство кососимметричных матриц образует Алгебра Ли ${ Displaystyle о (п)}$ из Группа Ли ${ Displaystyle O (п).}$ Скобка Ли на этом пространстве задается коммутатор:

${ Displaystyle [A, B] = AB-BA. ,}$

Легко проверить, что коммутатор двух кососимметричных матриц снова кососимметричен:

${ displaystyle { begin {align} {[} A, B {]} ^ { extf {T}} & = B ^ { extf {T}} A ^ { extf {T}} - A ^ { extf {T}} B ^ { extf {T}} & = (- B) (- A) - (- A) (- B) = BA-AB = - [A, B] ,. конец {выровнено}}}$

В матричная экспонента кососимметричной матрицы ${ displaystyle A}$ тогда ортогональная матрица ${ displaystyle R}$:

${ displaystyle R = exp (A) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {A ^ {n}} {n!}}.}$

Образ экспоненциальная карта алгебры Ли всегда лежит в связный компонент группы Ли, содержащей единичный элемент. В случае группы Ли ${ Displaystyle О (п),}$ этот компонент связности является специальная ортогональная группа ${ Displaystyle SO (п),}$ состоящий из всех ортогональных матриц с определителем 1. Итак ${ Displaystyle R = ехр (А)}$ будет иметь определитель +1. Более того, поскольку экспоненциальное отображение связной компактной группы Ли всегда сюръективно, оказывается, что каждый Ортогональную матрицу с единичным определителем можно записать как экспоненту некоторой кососимметричной матрицы. В особо важном случае размерности ${ Displaystyle п = 2,}$ экспоненциальное представление для ортогональной матрицы сводится к хорошо известному полярная форма комплексного числа единичного модуля. Действительно, если ${ Displaystyle п = 2,}$ специальная ортогональная матрица имеет вид

${ displaystyle { begin {bmatrix} a & -b b & , a end {bmatrix}},}$

с ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = 1}$. Поэтому, положив ${ Displaystyle а = соз тета}$ и ${ Displaystyle Ь = грех тета,}$ это можно написать

${ displaystyle { begin {bmatrix} cos , theta & - sin , theta sin , theta & , cos , theta end {bmatrix}} = exp left ( theta { begin {bmatrix} 0 & -1 1 & , 0 end {bmatrix}} right),}$

что в точности соответствует полярной форме ${ Displaystyle соз тета + я грех тета = е ^ {я тета}}$ комплексного числа единичного модуля.

Экспоненциальное представление ортогональной матрицы порядка ${ displaystyle n}$ можно также получить, исходя из того, что в размерности ${ displaystyle n}$ любая специальная ортогональная матрица ${ displaystyle R}$ можно записать как ${ Displaystyle R = QSQ ^ { extf {T}},}$ где ${ displaystyle Q}$ ортогонален и S является блочно-диагональная матрица с ${ textstyle lfloor n / 2 rfloor}$ блоки порядка 2, плюс один из порядка 1, если ${ displaystyle n}$ нечетный; поскольку каждый отдельный блок порядка 2 также является ортогональной матрицей, он допускает экспоненциальную форму. Соответственно матрицаS записывает как экспоненту кососимметричной блочной матрицы ${ displaystyle Sigma}$ формы выше, ${ Displaystyle S = ехр ( Sigma),}$ так что ${ Displaystyle R = Q ехр ( Sigma) Q ^ { extf {T}} = exp (Q Sigma Q ^ { extf {T}}),}$ экспонента кососимметричной матрицы ${ displaystyle Q Sigma Q ^ { extf {T}}.}$ И наоборот, сюръективность экспоненциального отображения вместе с вышеупомянутой блочной диагонализацией для кососимметричных матриц подразумевает блочную диагонализацию для ортогональных матриц.

Без координат

По сути (то есть без использования координат), кососимметричные линейные преобразования в векторном пространстве ${ displaystyle V}$ с внутренний продукт можно определить как бивекторы на пространстве, которые представляют собой суммы простых бивекторов (2 лопасти) ${ textstyle v wedge w.}$ Соответствие дается картой ${ textstyle v wedge w mapsto v ^ {*} otimes w-w ^ {*} otimes v,}$ где ${ textstyle v ^ {*}}$ ковектор, двойственный вектору ${ textstyle v}$; в ортонормированных координатах это и есть элементарные кососимметричные матрицы. Эта характеристика используется при интерпретации завиток векторного поля (естественно, 2-вектора) как бесконечно малое вращение или "завиток", отсюда и название.

Кососимметризуемая матрица

An ${ Displaystyle п раз п}$ матрица ${ displaystyle A}$ как говорят кососимметризуемый если существует обратимый диагональная матрица ${ displaystyle D}$ такой, что ${ displaystyle DA}$ кососимметрична. За настоящий ${ Displaystyle п раз п}$ матрицы, иногда условие ${ displaystyle D}$ иметь положительные записи добавляется.^[7]

Смотрите также

• Преобразование Кэли
• Симметричная матрица
• Косоэрмитова матрица
• Симплектическая матрица
• Симметрия в математике

использованная литература

дальнейшее чтение

• Евс, Ховард (1980). Элементарная матричная теория. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63946-8.
• Супруненко, Д. А. (2001) [1994], «Кососимметричная матрица», Энциклопедия математики, EMS Press
• Эйткен, А. С. (1944). «О числе различных членов в разложении симметричных и косых определителей». Edinburgh Math. Примечания.

внешняя ссылка

• «Антисимметричная матрица». Вольфрам Mathworld.
• Беннер, Питер; Кресснер, Дэниел. "HAPACK - Программное обеспечение для (косо-) гамильтоновых задач на собственные значения".
• Ward, R.C .; Грей, Л. Дж. (1978). «Алгоритм 530: алгоритм вычисления собственной системы кососимметричных матриц и класса симметричных матриц [F2]». Транзакции ACM на математическом ПО. 4 (3): 286. Дои:10.1145/355791.355799. Фортран Fortran90