WikiDer > Спектр (топология)

Spectrum (topology)

В алгебраическая топология, филиал математика, а спектр это объект представляющий а обобщенная теория когомологий. Есть несколько разных категории спектров, но все они определяют одно и то же гомотопическая категория, известный как стабильная гомотопическая категория.

Определение спектра

Есть много вариантов определения: в общем, спектр любая последовательность точечных топологических пространств или точечных симплициальных множеств вместе со структурными отображениями .

Лечение здесь связано с Фрэнк Адамс (1974): спектр (или CW-спектр) представляет собой последовательность из Комплексы CW вместе с включениями из подвеска как подкомплекс .

Для других определений см. симметричный спектр и симплициальный спектр.

Примеры

Учитывать особые когомологии с коэффициентами в абелева группа А. Для CW комплекс Икс, группа можно отождествить с множеством гомотопических классов отображений из Икс к , то Пространство Эйленберга – Маклейна с гомотопией, сосредоточенной по степени п. Тогда соответствующий спектр HA имеет пое пространство ; это называется Спектр Эйленберга – Маклейна.

В качестве второго важного примера рассмотрим топологическая K-теория. По крайней мере для Икс компактный определяется как Группа Гротендик из моноид сложных векторные пакеты на Икс. Также, - группа, соответствующая векторным расслоениям на надстройке X. Топологическая K-теория - это обобщенная теория когомологий, поэтому она дает спектр. Нулевое пространство в то время как первое пространство . Здесь это бесконечный унитарная группа и это его классификация пространства. К Периодичность Ботта мы получаем и для всех п, поэтому все пространства в спектре топологической K-теории задаются либо или . Существует соответствующая конструкция с использованием вещественных векторных расслоений вместо комплексных векторных расслоений, которая дает 8-периодический спектр.

Для многих других примеров см. список теорий когомологий.

  • Спектр может быть построен из пространства. В спектр подвески пространства Икс это спектр (структурные карты идентичны.) Например, спектр подвеса 0-сфера называется сферический спектр и обозначается .
  • An Ω-спектр - спектр такой, что сопряженный к структурному отображению () является слабой эквивалентностью. В K-теория спектр кольца является примером Ω-спектра.
  • А кольцевой спектр это спектр Икс такие, что диаграммы, описывающие кольцевые аксиомы с точки зрения громких продуктов коммутируют «до гомотопии» ( соответствует тождеству.) Например, спектр топологических K-теория - это кольцевой спектр. А спектр модуля можно определить аналогично.

Инварианты

  • Гомотопическая группа спектра дан кем-то . Так, например, , сферический спектр, - kth стабильная гомотопическая группа сфер. Спектр называется соединительный если это равны нулю для отрицательных k.

Функции, отображения и гомотопии спектров

Есть три естественные категории, объектами которых являются спектры, морфизмами которых являются функции, отображения или гомотопические классы, определенные ниже.

А функция между двумя спектрами E и F последовательность отображений из Eп к Fп коммутирующие с отображениями ΣEп → Eп+1 и ΣFп → Fп+1.

Учитывая спектр , подспектр представляет собой последовательность подкомплексов, которая также является спектром. Поскольку каждый я-ячейка в приостанавливается до (я + 1) -ячейка в , конфинальный подспектр - это подспектр, для которого каждая ячейка родительского спектра в конечном итоге содержится в подспектре после конечного числа приостановок. Затем спектры можно превратить в категорию, определив карта спектров быть функцией от кофинального подспектра из к , где две такие функции представляют одно и то же отображение, если они совпадают на некотором конфинальном подспектре. Интуитивно такую ​​карту спектров не нужно везде определять, просто в итоге становятся определенными, и два отображения, совпадающие на конфинальном подспектре, называются эквивалентными. Это дает категория спектров (и карты), который является основным инструментом. Категория точечных комплексов CW естественным образом встраивается в эту категорию: она принимает к спектр подвески в которой пй комплекс .

В разбить продукт спектра и остроконечный комплекс спектр, задаваемый (ассоциативность продукта smash сразу дает понять, что это действительно спектр). А гомотопия карт между спектрами соответствует карте , где несвязный союз с принято за базовую точку.

В стабильная гомотопическая категория, или же гомотопическая категория (CW) спектров определяется как категория, объектами которой являются спектры, а морфизмами - гомотопические классы отображений между спектрами. Многие другие определения спектра, некоторые из которых кажутся очень разными, приводят к эквивалентным стабильным гомотопическим категориям.

Наконец, мы можем определить приостановку спектра как . Этот приостановка перевода обратим, так как мы можем также отключить приостановку, установив .

Триангулированная гомотопическая категория спектров

Категория стабильной гомотопии является аддитивной: карты могут быть добавлены с использованием варианта добавления треков, используемого для определения гомотопических групп. Таким образом, гомотопические классы от одного спектра к другому образуют абелеву группу. Кроме того, стабильная гомотопическая категория триангулированный (Vogt (1970)), сдвиг дается подвешиванием, а выделенные треугольники - картографический конус последовательности спектров

.

Разбить продукты спектров

В разбить продукт спектров расширяет продукт разрушения комплексов CW. Это превращает стабильную гомотопическую категорию в моноидальная категория; другими словами, он ведет себя как (производное) тензорное произведение абелевых групп. Основная проблема с продуктом огромного успеха состоит в том, что очевидные способы его определения делают его ассоциативным и коммутативным только с точностью до гомотопии. Некоторые более свежие определения спектров, такие как симметричные спектры, устраним эту проблему и зададим симметричную моноидальную структуру на уровне отображений перед переходом к гомотопическим классам.

Продукт Smash совместим с триангулированной категориальной структурой. В частности, произведение разбива выделенного треугольника со спектром - это выделенный треугольник.

Обобщенные гомологии и когомологии спектров.

Мы можем определить (стабильные) гомотопические группы спектра быть теми, которые задаются

,

где - спектр сферы и - множество гомотопических классов отображений из к . Определим обобщенную теорию гомологий спектра E к

и определим ее обобщенную теорию когомологий формулой

Здесь может быть спектром или (используя его спектр подвешивания) пространством.

История

Вариант концепции спектра был представлен в докторской диссертации 1958 г. Илон Лагес Лима. Его советник Эдвин Спаниер писал далее по этому поводу в 1959 году. Спектры были приняты Майкл Атья и Джордж Уайтхед в своей работе над обобщенными теориями гомологии в начале 1960-х гг. Докторская диссертация 1964 г. Дж. Майкл Бордман дал работоспособное определение категории спектров и отображений (не только гомотопических классов) между ними, столь же полезного в стабильной теории гомотопий, как категория комплексов CW в нестабильном случае. (По сути, это категория, описанная выше, и она до сих пор используется для многих целей: для других учетных записей см. Adams (1974) или Райнер Фогт (1970).) Однако с 1990 года были сделаны важные дальнейшие теоретические успехи, значительно улучшившие формальные свойства спектров. Следовательно, во многих недавних публикациях модифицированные определения спектра: см. Майкл Манделл и другие. (2001) для единого подхода к этим новым подходам.

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка