WikiDer > Tetradic Palatini действие

Эта статья может быть сбивает с толку или неясно читателям. В частности, нет указаний на то, в каком контексте это уравнение может быть использовано, и кто его разработал. Пожалуйста, помоги нам прояснить статью. Возможно обсуждение этого вопроса на страница обсуждения. (Май 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В Действие Эйнштейна – Гильберта за общая теория относительности была впервые сформулирована чисто в терминах метрики пространства-времени. Взять метрику и аффинная связь в качестве независимых переменных в принципе действия был впервые рассмотрен Палатини.^[1] Это называется формулировкой первого порядка, поскольку переменные, которые должны изменяться, включают в действие только первые производные, и поэтому не усложняют Уравнения Эйлера – Лагранжа. с условиями, происходящими от более высоких производных условий. В тетрадное действие Палатини это еще одна формулировка действия Эйнштейна – Гильберта первого порядка в терминах другой пары независимых переменных, известной как поля кадра и спин-соединение. Использование каркасных полей и спиновых связей необходимо при формулировке общековариантного фермионного действия (см. Статью спин-соединение для более подробного обсуждения этого), который связывает фермионы с гравитацией при добавлении к тетрадному действию Палатини.

Это необходимо не только для связывания фермионов с гравитацией и делает тетрадное действие более фундаментальным по сравнению с метрической версией, действие Палатини также является ступенькой к более интересным действиям, таким как самодвойственное действие Палатини что можно рассматривать как лагранжев базис для формулировки Аштекара канонической гравитации (см. Переменные Аштекара) или Холст действие которая является основой версии теории Аштекара для вещественных переменных. Еще одно важное действие - это Плебанский действие (см. запись на Модель Барретта – Крейна), и доказательство того, что она дает общую теорию относительности при определенных условиях, включает в себя доказательство того, что она сводится к действию Палатини в этих условиях.

Здесь мы приводим определения и подробно вычисляем уравнения Эйнштейна из действия Палатини. Эти вычисления могут быть легко изменены для самодвойственного действия Палатини и действия Холста.

Некоторые определения

Сначала нам нужно ввести понятие тетрад. Тетрада - это ортонормированный векторный базис, в терминах которого метрика пространства-времени выглядит локально плоской,

${ displaystyle g _ { alpha beta} = e _ { alpha} ^ {I} e _ { beta} ^ {J} eta _ {IJ}}$

куда ${ displaystyle eta _ {IJ} = { text {diag}} (- 1,1,1,1)}$ - метрика Минковского. Тетрады кодируют информацию о метрике пространства-времени и будут приняты в качестве одной из независимых переменных в принципе действия.

Теперь, если кто-то собирается работать с объектами, у которых есть внутренние индексы, необходимо ввести соответствующую производную (ковариантную производную). Введем произвольную ковариантную производную через

${ displaystyle { mathcal {D}} _ { alpha} V_ {I} = partial _ { alpha} V_ {I} + { omega _ { alpha I}} ^ {J} V_ {J} .}$

Где ${ displaystyle { omega _ { alpha I}} ^ {J}}$ является лоренцевой связностью (производная аннулирует метрику Минковского ${ displaystyle eta _ {IJ}}$). Определим кривизну через

${ displaystyle { Omega _ { alpha beta I}} ^ {J} V_ {J} = ({ mathcal {D}} _ { alpha} { mathcal {D}} _ { beta} - { mathcal {D}} _ { beta} { mathcal {D}} _ { alpha}) V_ {I}}$

Мы получаем

${ displaystyle { Omega _ { alpha beta}} ^ {IJ} = 2 partial _ {[ alpha} { omega _ { beta]}} ^ {IJ} +2 { omega _ {[ alpha}} ^ {IK} { omega _ { beta] K}} ^ {J}}$.

Введем ковариантную производную, аннулирующую тетраду:

${ Displaystyle набла _ { альфа} е _ { бета} ^ {I} = 0}$.

Связь полностью определяется тетрадой. Действие этого на обобщенный тензор ${ displaystyle V _ { beta} ^ {I}}$ дан кем-то

${ displaystyle nabla _ { alpha} V _ { beta} ^ {I} = partial _ { alpha} V _ { beta} ^ {I} - Gamma _ { alpha beta} ^ { gamma } V _ { gamma} ^ {I} + { omega _ { alpha J}} ^ {I} V _ { beta} ^ {J}.}$

Определим кривизну ${ displaystyle {R _ { alpha beta}} ^ {IJ}}$ к

${ displaystyle {R _ { alpha beta I}} ^ {J} V_ {J} = ( nabla _ { alpha} nabla _ { beta} - nabla _ { beta} nabla _ { альфа}) V_ {I}.}$

Это легко связано с обычной кривизной, определяемой формулой

${ displaystyle {R _ { alpha beta gamma}} ^ { delta} V _ { delta} = ( nabla _ { alpha} nabla _ { beta} - nabla _ { beta} nabla _ { alpha}) V _ { gamma}}$

путем замены ${ displaystyle V _ { gamma} = V_ {I} e _ { gamma} ^ {I}}$ в это выражение (подробности см. ниже). Получается,

${ displaystyle {R _ { alpha beta gamma}} ^ { delta} = e _ { gamma} ^ {I} {R _ { alpha beta I}} ^ {J} e_ {J} ^ { delta}, quad R _ { alpha beta} = {R _ { alpha gamma I}} ^ {J} e _ { beta} ^ {I} e_ {J} ^ { gamma}, R = {R_ { alpha beta}} ^ {IJ} e_ {I} ^ { alpha} e_ {J} ^ { beta}}$

для Тензор Римана, Тензор Риччи и Скаляр Риччи соответственно.

Тетрадное действие Палатини

В Скаляр Риччи этой кривизны можно выразить как ${ displaystyle e_ {I} ^ { alpha} e_ {J} ^ { beta} { Omega _ { alpha beta}} ^ {IJ}.}$ Действие можно написать

${ displaystyle S_ {HP} = int d ^ {4} x ; e ; e_ {I} ^ { alpha} e_ {J} ^ { beta} { Omega _ { alpha beta}} ^ {IJ}}$

куда ${ displaystyle e = { sqrt {-g}}}$ но сейчас ${ displaystyle g}$ является функцией поля кадра.

Мы выведем уравнения Эйнштейна, варьируя это действие относительно тетрады и спиновой связи как независимых величин.

В качестве ярлыка для выполнения расчета мы вводим соединение, совместимое с тетрадой, ${ displaystyle nabla _ { alpha} e _ { beta} ^ {I} = 0.}$^[2] Связь, связанная с этой ковариантной производной, полностью определяется тетрадой. Разница между двумя введенными нами связями - это поле ${ displaystyle {C _ { alpha I}} ^ {J}}$ определяется

${ displaystyle {C _ { alpha I}} ^ {J} V_ {J} = left (D _ { alpha} - nabla _ { alpha} right) V_ {I}.}$

Мы можем вычислить разницу между кривизнами этих двух ковариантных производных (подробности см. Ниже),

${ displaystyle { Omega _ { alpha beta}} ^ {IJ} - {R _ { alpha beta}} ^ {IJ} = nabla _ {[ alpha} {C _ { beta]}} ^ {IJ} + {C _ {[ alpha}} ^ {IM} {C _ { beta] M}} ^ {J}}$

Причина этого промежуточного вычисления заключается в том, что легче вычислить изменение, повторно выразив действие в терминах ${ displaystyle nabla}$ и ${ displaystyle {C _ { alpha}} ^ {IJ}}$ и отмечая, что вариация относительно ${ displaystyle { omega _ { alpha}} ^ {IJ}}$ такая же, как и вариация по ${ displaystyle {C _ { alpha}} ^ {IJ}}$ (при фиксированной тетраде). Действие становится

${ displaystyle S_ {HP} = int d ^ {4} x ; e ; e_ {I} ^ { alpha} e_ {J} ^ { beta} left ({R _ { alpha beta} } ^ {IJ} + nabla _ {[ alpha} {C _ { beta]}} ^ {IJ} + {C _ {[ alpha}} ^ {IM} {C _ { beta] M}} ^ { J} right)}$

Сначала варьируемся по ${ displaystyle {C _ { alpha}} ^ {IJ}}$. Первый член не зависит от ${ displaystyle {C _ { alpha}} ^ {IJ}}$ так что это не способствует. Второй член - это полная производная. Последний член дает

${ displaystyle e_ {M} ^ {[a} e_ {N} ^ {b]} delta _ {[I} ^ {M} delta _ {J]} ^ {K} {C_ {bK}} ^ {N} = 0.}$

Ниже мы покажем, что отсюда следует, что ${ displaystyle {C _ { alpha}} ^ {IJ} = 0}$ в качестве префактора ${ displaystyle e_ {M} ^ {[a} e_ {N} ^ {b]} delta _ {[I} ^ {M} delta _ {J]} ^ {K}}$ невырожден. Это говорит нам, что ${ displaystyle nabla}$ совпадает с ${ displaystyle D}$ при воздействии на объекты только с внутренними индексами. Таким образом, связь ${ displaystyle D}$ полностью определяется тетрадой и ${ displaystyle Omega}$ совпадает с ${ displaystyle R}$. Для вычисления вариации относительно тетрады нам понадобится вариация ${ Displaystyle е = Дет е _ { альфа} ^ {I}}$. По стандартной формуле

${ displaystyle delta det (a) = det (a) left (a ^ {- 1} right) _ {ji} delta a_ {ij}}$

у нас есть ${ displaystyle delta e = ee_ {I} ^ { alpha} delta e _ { alpha} ^ {I}}$. Или при использовании ${ displaystyle delta left (е _ { alpha} ^ {I} e_ {I} ^ { alpha} right) = 0}$, это становится ${ displaystyle delta e = -ee _ { alpha} ^ {I} delta e_ {I} ^ { alpha}}$. Мы вычисляем второе уравнение, варьируя по тетраде,

${ displaystyle { begin {align} delta S_ {HP} & = int d ^ {4} x ; e left ( left ( delta e_ {I} ^ { alpha} right) e_ { J} ^ { beta} { Omega _ { alpha beta}} ^ {IJ} + e_ {I} ^ { alpha} left ( delta e_ {J} ^ { beta} right) { Omega _ { alpha beta}} ^ {IJ} -e _ { gamma} ^ {K} left ( delta e_ {K} ^ { gamma} right) e_ {I} ^ { alpha} e_ {J} ^ { beta} { Omega _ { alpha beta}} ^ {IJ} right) & = 2 int d ^ {4} x ; e left (e_ {J} ^ { beta} { Omega _ { alpha beta}} ^ {IJ} - {1 over 2} e_ {M} ^ { gamma} e_ {N} ^ { delta} e _ { alpha} ^ {I} { Omega _ { gamma delta}} ^ {MN} right) left ( delta e_ {I} ^ { alpha} right) end {выравнивается}}}$

После подстановки получается ${ displaystyle { Omega _ { alpha beta}} ^ {IJ}}$ за ${ displaystyle {R _ { alpha beta}} ^ {IJ}}$ как указано в предыдущем уравнении движения,

${ displaystyle e_ {J} ^ { gamma} {R _ { alpha gamma}} ^ {IJ} - {1 over 2} {R _ { gamma delta}} ^ {MN} e_ {M} ^ { gamma} e_ {N} ^ { delta} e _ { alpha} ^ {I} = 0}$

который после умножения на ${ displaystyle e_ {I beta}}$ просто говорит нам, что Тензор Эйнштейна ${ displaystyle R _ { alpha beta} - { tfrac {1} {2}} Rg _ { alpha beta}}$ метрики, определяемой тетрадами, обращается в нуль. Таким образом, мы доказали, что вариант действия Палатини в тетрадной форме дает обычное Уравнения Эйнштейна.

Обобщения действия Палатини

Изменяем действие, добавляя термин

${ displaystyle - {1 over 2 gamma} ee_ {I} ^ { alpha} e_ {J} ^ { beta} { Omega _ { alpha beta}} ^ {MN} [ omega] { epsilon ^ {IJ}} _ {MN}}$

Это изменяет действие Палатини на

${ displaystyle S = int d ^ {4} x ; e ; e_ {I} ^ { alpha} e_ {J} ^ { beta} {P ^ {IJ}} _ {MN} { Omega _ { alpha beta}} ^ {MN}}$

куда

${ displaystyle {P ^ {IJ}} _ {MN} = delta _ {M} ^ {[I} delta _ {N} ^ {J]} - {1 over 2 gamma} { epsilon ^ {IJ}} _ {MN}.}$

Это действие, приведенное выше, является действием Холста, введенным Холстом.^[3] и ${ displaystyle gamma}$ - параметр Барберо-Иммирци, роль которого был признан Барберо^[4] и Иммиризи.^[5] Самодуальная формулировка соответствует выбору ${ displaystyle gamma = -i}$.

Легко показать, что эти действия дают одни и те же уравнения. Однако случай, соответствующий ${ displaystyle gamma = pm i}$ нужно делать отдельно (см. статью самодвойственное действие Палатини). Предполагать ${ displaystyle gamma not = pm я}$, тогда ${ displaystyle {P ^ {IJ}} _ {MN}}$ имеет обратное значение

${ displaystyle {(P ^ {- 1}) _ {IJ}} ^ {MN} = { frac { gamma ^ {2}} { gamma ^ {2} +1}} left ( delta _ {I} ^ {[M} delta _ {J} ^ {N]} + { frac {1} {2 gamma}} { epsilon _ {IJ}} ^ {MN} right).}$

(обратите внимание, это расходится для ${ displaystyle gamma = pm i}$). Поскольку это обратное существует, обобщение префактора ${ displaystyle e_ {M} ^ {[a} e_ {N} ^ {b]} delta _ {[I} ^ {M} delta _ {J]} ^ {K}}$ также будет невырожденным, и как такие эквивалентные условия получаются из вариации относительно связи. Снова получаем ${ displaystyle {C _ { alpha}} ^ {IJ} = 0}$. В то время как изменение по отношению к тетраде дает уравнение Эйнштейна плюс дополнительный член. Однако этот дополнительный член исчезает из-за симметрии тензора Римана.

Детали расчета

Связь обычной кривизны со смешанным индексом кривизны

Обычный тензор кривизны Римана ${ displaystyle {R _ { alpha beta gamma}} ^ { delta}}$ определяется

${ displaystyle {R _ { alpha beta gamma}} ^ { delta} V _ { delta} = left ( nabla _ { alpha} nabla _ { beta} - nabla _ { beta} nabla _ { alpha} right) V _ { gamma}.}$

Чтобы найти связь с тензором кривизны смешанного индекса, подставим ${ Displaystyle V _ { gamma} = е _ { gamma} ^ {I} V_ {I}}$

${ displaystyle { begin {align} {R _ { alpha beta gamma}} ^ { delta} V _ { delta} & = left ( nabla _ { alpha} nabla _ { beta} - nabla _ { beta} nabla _ { alpha} right) V _ { gamma} & = left ( nabla _ { alpha} nabla _ { beta} - nabla _ { beta } nabla _ { alpha} right) left (e _ { gamma} ^ {I} V_ {I} right) & = e _ { gamma} ^ {I} left ( nabla _ { alpha} nabla _ { beta} - nabla _ { beta} nabla _ { alpha} right) V_ {I} & = e _ { gamma} ^ {I} {R _ { alpha beta I}} ^ {J} e_ {J} ^ { delta} V _ { delta} end {align}}}$

где мы использовали ${ Displaystyle набла _ { альфа} е _ { бета} ^ {I} = 0}$. Поскольку это верно для всех ${ displaystyle V _ { delta}}$ мы получаем

${ displaystyle {R _ { alpha beta gamma}} ^ { delta} = e _ { gamma} ^ {I} {R _ { alpha beta I}} ^ {J} e_ {J} ^ { дельта}}$.

Используя это выражение, находим

${ Displaystyle R _ { alpha beta} = {R _ { alpha gamma beta}} ^ { gamma} = {R _ { alpha gamma I}} ^ {J} e _ { beta} ^ {I } e_ {J} ^ { gamma}.}$

Заключение контракта ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ позволяет нам написать скаляр Риччи

${ displaystyle R = {R _ { alpha beta}} ^ {IJ} e_ {I} ^ { alpha} e_ {J} ^ { beta}.}$

Разница между кривизнами

Производная, определяемая формулой ${ displaystyle D _ { alpha} V_ {I}}$ умеет только действовать на внутренние индексы. Однако нам удобно рассматривать расширение без кручения на пространственно-временные индексы. Все расчеты не будут зависеть от этого выбора расширения. Применение ${ Displaystyle { mathcal {D}} _ {а}}$ дважды на ${ displaystyle V_ {I}}$,

${ displaystyle { mathcal {D}} _ { alpha} { mathcal {D}} _ { beta} V_ {I} = { mathcal {D}} _ { alpha} ( nabla _ { beta} V_ {I} + {C _ { beta I}} ^ {J} V_ {J}) = nabla _ { alpha} left ( nabla _ { beta} V_ {I} + {C_ { beta I}} ^ {J} V_ {J} right) + {C _ { alpha I}} ^ {K} left ( nabla _ {b} V_ {K} + {C _ { beta K} } ^ {J} V_ {J} right) + { overline { Gamma}} _ { alpha beta} ^ { gamma} left ( nabla _ { gamma} V_ {I} + {C_ { gamma I}} ^ {J} V_ {J} right)}$

куда ${ displaystyle { overline { Gamma}} _ { alpha beta} ^ { gamma}}$ неважно, отметим только, что он симметричен по ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ так как он без кручения. потом

${ displaystyle { begin {align} { Omega _ { alpha beta I}} ^ {J} V_ {J} & = left ({ mathcal {D}} _ { alpha} { mathcal { D}} _ { beta} - { mathcal {D}} _ { beta} { mathcal {D}} _ { alpha} right) V_ {I} & = left ( nabla _ { alpha} nabla _ { beta} - nabla _ { beta} nabla _ { alpha} right) V_ {I} + nabla _ { alpha} left ({C _ { beta I }} ^ {J} V_ {J} right) - nabla _ { beta} left ({C _ { alpha I}} ^ {J} V_ {J} right) + {C _ { alpha I }} ^ {K} nabla _ { beta} V_ {K} - {C _ { beta I}} ^ {K} nabla _ { alpha} V_ {K} + {C _ { alpha I}} ^ {K} {C _ { beta K}} ^ {J} V_ {J} - {C _ { beta I}} ^ {K} {C _ { alpha K}} ^ {J} V_ {J} & = {R _ { alpha beta I}} ^ {J} V_ {J} + left ( nabla _ { alpha} {C _ { beta I}} ^ {J} - nabla _ { beta} {C _ { alpha I}} ^ {J} + {C _ { alpha I}} ^ {K} {C _ { beta K}} ^ {J} - {C _ { beta _ {I}} } ^ {K} {C _ { alpha K}} ^ {J} right) V_ {J} end {align}}}$

Следовательно:

${ displaystyle { Omega _ {ab}} ^ {IJ} - {R_ {ab}} ^ {IJ} = 2 nabla _ {[a} {C_ {b]}} ^ {IJ} +2 {C_ {[a}} ^ {IK} {C_ {b] K}} ^ {J}}$

Варьируя действие по отношению к полю ${ displaystyle {C _ { alpha}} ^ {IJ}}$

Мы ожидали ${ displaystyle nabla _ {a}}$ чтобы также уничтожить метрику Минковского ${ displaystyle eta _ {IJ} = e _ { beta I} e_ {J} ^ { beta}}$. Если еще предположить, что ковариантная производная ${ displaystyle { mathcal {D}} _ { alpha}}$ аннулирует метрику Минковского (тогда называемую без кручения), мы имеем,

${ displaystyle 0 = ({ mathcal {D}} _ { alpha} - nabla _ { alpha}) eta _ {IJ} = {C _ { alpha I}} ^ {K} eta _ { KJ} + {C_ {aJ}} ^ {K} eta _ {IK} = C _ { alpha IJ} + C _ { alpha JI}.}$

Подразумевая

${ displaystyle C _ { alpha IJ} = C _ { alpha [IJ]}.}$

Из последнего члена действия мы имеем от варьирования по ${ displaystyle {C _ { alpha I}} ^ {J},}$

${ displaystyle { begin {align} delta S_ {EH} & = delta int d ^ {4} x ; e ; e_ {M} ^ { gamma} e_ {N} ^ { beta} {C _ {[ gamma}} ^ {MK} {C _ { beta] K}} ^ {N} & = delta int d ^ {4} x ; e ; e_ {M} ^ { [ gamma} e_ {N} ^ { beta]} {C _ { gamma}} ^ {MK} {C _ { beta K}} ^ {N} & = delta int d ^ {4} x ; e ; e ^ {M [ gamma} e_ {N} ^ { beta]} {C _ { gamma M}} ^ {K} {C _ { beta K}} ^ {N} & = int d ^ {4} x ; ee ^ {M [ gamma} e_ {N} ^ { beta]} left ( delta _ { gamma} ^ { alpha} delta _ {M } ^ {I} delta _ {J} ^ {K} {C _ { beta K}} ^ {N} + {C _ { gamma M}} ^ {K} delta _ { beta} ^ { alpha} delta _ {K} ^ {I} delta _ {J} ^ {N} right) delta {C _ { alpha I}} ^ {J} & = int d ^ {4} x ; e left (e ^ {I [ alpha} e_ {N} ^ { beta]} {C _ { beta J}} ^ {N} + e ^ {M [ beta} e_ {J} ^ { alpha]} {C _ { beta M}} ^ {I} right) delta {C _ { alpha I}} ^ {J} end {выравнивается}}}$

или же

${ displaystyle e_ {I} ^ {[ alpha} e_ {K} ^ { beta]} {C _ { beta J}} ^ {K} + e ^ {K [ beta} e_ {J} ^ { alpha]} C _ { beta KI} = 0}$

или же

${ displaystyle {C _ { beta I}} ^ {K} e_ {K} ^ {[ alpha} e_ {J} ^ { beta]} + {C _ { beta J}} ^ {K} e_ { I} ^ {[ alpha} e_ {K} ^ { beta]} = 0.}$

где мы использовали ${ displaystyle C _ { beta KI} = - C _ { beta IK}}$. Более компактно это можно записать как

${ displaystyle e_ {M} ^ {[ alpha} e_ {N} ^ { beta]} delta _ {[I} ^ {M} delta _ {J]} ^ {K} {C _ { beta K}} ^ {N} = 0.}$

Исчезновение ${ displaystyle {C _ { alpha}} ^ {IJ}}$

Мы покажем следующую ссылку "Геометродинамика против динамики соединения"^[6] который

${ displaystyle {C _ { beta I}} ^ {K} e_ {K} ^ {[ alpha} e_ {J} ^ { beta]} + {C _ { beta J}} ^ {K} e_ { I} ^ {[ alpha} e_ {K} ^ { beta]} = 0 quad Eq.1}$

подразумевает ${ displaystyle {C _ { alpha I}} ^ {J} = 0.}$ Сначала определим тензорное поле пространства-времени как

${ displaystyle S _ { alpha beta gamma}: = C _ { alpha IJ} e _ { beta} ^ {I} e _ { gamma} ^ {J}.}$

Тогда условие ${ displaystyle C _ { alpha IJ} = C _ { alpha [IJ]}}$ эквивалентно ${ Displaystyle S _ { альфа бета гамма} = S _ { альфа [ бета гамма]}}$. Заключение уравнения. 1 с ${ Displaystyle е _ { альфа} ^ {I} е _ { gamma} ^ {J}}$ можно подсчитать, что

${ displaystyle {C _ { beta J}} ^ {I} e _ { gamma} ^ {J} e_ {I} ^ { beta} = 0.}$

В качестве ${ displaystyle {S _ { alpha beta}} ^ { gamma} = {C _ { alpha I}} ^ {J} e _ { beta} ^ {I} e_ {J} ^ { gamma},}$ у нас есть ${ displaystyle {S _ { beta gamma}} ^ { beta} = 0.}$ Мы пишем это как

${ displaystyle ({C _ { beta I}} ^ {J} e_ {J} ^ { beta}) e _ { gamma} ^ {I} = 0,}$

и, как ${ displaystyle e _ { alpha} ^ {I}}$ обратимы, отсюда следует

${ displaystyle {C _ { beta I}} ^ {J} e_ {J} ^ { beta} = 0.}$

Таким образом, условия ${ displaystyle {C _ { beta I}} ^ {K} e_ {K} ^ { beta} e_ {J} ^ { alpha},}$ и ${ displaystyle {C _ { beta J}} ^ {K} e_ {I} ^ { alpha} e_ {K} ^ { beta}}$ уравнения 1 оба равны нулю и уравнение. 1 сводится к

${ displaystyle {C _ { beta I}} ^ {K} e_ {K} ^ { alpha} e_ {J} ^ { beta} - {C _ { beta J}} ^ {K} e_ {I} ^ { beta} e_ {K} ^ { alpha} = 0.}$

Если мы теперь свяжем это с ${ Displaystyle е _ { gamma} ^ {I} е _ { delta} ^ {J}}$, мы получили

${ displaystyle { begin {align} 0 & = left ({C _ { beta I}} ^ {K} e_ {K} ^ { alpha} e_ {J} ^ { beta} - {C _ { beta} J}} ^ {K} e_ {I} ^ { beta} e_ {K} ^ { alpha} right) e _ { gamma} ^ {I} e _ { delta} ^ {J} & = {C _ { beta I}} ^ {K} e_ {K} ^ { alpha} e _ { gamma} ^ {I} delta _ { delta} ^ { beta} - {C _ { beta J} } ^ {K} delta _ { gamma} ^ { beta} e_ {K} ^ { alpha} e _ { delta} ^ {J} & = {C _ { delta I}} ^ {K } e _ { gamma} ^ {I} e_ {K} ^ { alpha} - {C _ { gamma J}} ^ {K} e _ { delta} ^ {J} e_ {K} ^ { alpha} конец {выровнено}}}$

или же

${ displaystyle {S _ { gamma delta}} ^ { alpha} = {S _ {( gamma delta)}} ^ { alpha}.}$

Поскольку у нас есть ${ Displaystyle S _ { альфа бета гамма} = S _ { альфа [ бета гамма]}}$ и ${ Displaystyle S _ { альфа бета гамма} = S _ {( альфа бета) гамма}}$, мы можем последовательно менять местами первые два, а затем последние два индекса с соответствующим изменением знака каждый раз, чтобы получить,

${ displaystyle S _ { alpha beta gamma} = S _ { beta alpha gamma} = - S _ { beta gamma alpha} = - S _ { gamma beta alpha} = S _ { gamma alpha beta} = S _ { alpha gamma beta} = - S _ { alpha beta gamma}}$

Подразумевая

${ Displaystyle S _ { альфа бета gamma} = 0,}$

или же

${ displaystyle C _ { alpha IJ} e _ { beta} ^ {I} e _ { gamma} ^ {J} = 0,}$

и так как ${ displaystyle e _ { alpha} ^ {I}}$ обратимы, получаем ${ displaystyle C _ { alpha IJ} = 0}$. Это желаемый результат.

Смотрите также

• Тензор Ланцоша
• Тензор Вейля

Рекомендации