WikiDer > Теорема Egregium
 | Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. (Декабрь 2019 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
 | Эта статья отсутствует информация о многих основных деталях, включая уравнение, связанное с теоремой, или даже набросок ее доказательства. (Январь 2020) |
Гаусса Теорема Egregium (На латыни «Замечательная теорема») является основным результатом дифференциальная геометрия (доказано Карл Фридрих Гаусс в 1827 г.), что касается кривизна поверхностей. Теорема состоит в том, что Гауссова кривизна могут быть полностью определены путем измерения углов, расстояний и их скорости на поверхности, без привязки к конкретному способу, которым эта поверхность встроенный в окружающем трехмерном евклидовом пространстве. Другими словами, гауссова кривизна поверхность не меняется, если поверхность сгибать, не растягивая. Таким образом, гауссова кривизна - это внутренний инвариантный поверхности.
Гаусс изложил теорему следующим образом (в переводе с латыни):
- Таким образом, формула предыдущей статьи приводит к замечательной теореме. Если криволинейная поверхность образуется на любой другой поверхности, мера кривизны в каждой точке остается неизменной.
Теорема «замечательна», потому что стартовая определение гауссовой кривизны напрямую использует положение поверхности в пространстве. Поэтому довольно удивительно, что результат нет зависят от его заделки, несмотря на все деформации изгиба и скручивания.
Используя современную математическую терминологию, теорему можно сформулировать следующим образом:
В Гауссова кривизна поверхности инвариантна относительно локальных изометрия.
Элементарные приложения
А сфера радиуса р имеет постоянную гауссову кривизну, равную 1 /р2. В то же время плоскость имеет нулевую гауссову кривизну. Как следствие из теоремы Egregium, лист бумаги нельзя согнуть на сфере, не смяв. И наоборот, поверхность шара не может быть развернута на плоскую плоскость без искажения расстояний. Если наступить на пустую яичную скорлупу, ее края должны расколоться при расширении, прежде чем они станут плоскими. Математически сфера и плоскость не являются изометрический, даже локально. Этот факт имеет огромное значение для картография: это означает, что никакая планарная (плоская) карта Земли не может быть идеальной, даже для части земной поверхности. Таким образом, каждый картографическая проекция обязательно искажает хоть какие-то расстояния.[1]
В катеноид и геликоид две очень разные поверхности. Тем не менее, каждый из них можно непрерывно загибать в другой: они локально изометричны. Из теоремы Egregium следует, что при таком изгибе гауссова кривизна в любых двух соответствующих точках катеноида и геликоида всегда одинакова. Таким образом, изометрия - это просто изгибание и скручивание поверхности без внутреннего смятия или разрыва, другими словами без дополнительного растяжения, сжатия или сдвига.
Применение теоремы Egregium наблюдается, когда плоский объект несколько сгибается или изгибается вдоль линии, создавая жесткость в перпендикулярном направлении. Это имеет практическое применение в строительстве, а также в быту. пиццаСтратегия питания: плоский кусок пиццы можно рассматривать как поверхность с постоянной гауссовой кривизной 0. Осторожное изгибание ломтика должно затем примерно поддерживать эту кривизну (при условии, что изгиб является примерно локальной изометрией). Если сгибать срез по горизонтали по радиусу, ненулевой основные кривизны создаются вдоль изгиба, что означает, что другая основная кривизна в этих точках должна быть равна нулю. Это создает жесткость в направлении, перпендикулярном складке, что является желательным атрибутом для еды пиццы, поскольку она сохраняет свою форму достаточно долго, чтобы ее можно было съесть без беспорядка. Этот же принцип используется для усиления в гофрированный материалы, наиболее знакомо гофрированный картон и гофрированное оцинкованное железо,[2] и в некоторых формах картофельные чипсы.
Смотрите также
Примечания
- ^ Геодезический приложения были одним из основных мотивов для "исследований криволинейных поверхностей" Гаусса.
- ^ wired.com
Рекомендации
- Гаусс, К.Ф. (2005). Пешич, Питер (ред.). Общие исследования криволинейных поверхностей (Мягкая обложка ред.). Dover Publications. ISBN 0-486-44645-X.
- О'Нил, Барретт (1966). Элементарная дифференциальная геометрия. Нью-Йорк: Academic Press. С. 271–275.
- Стокер, Дж. Дж. (1969). "Уравнения в частных производных теории поверхности". Дифференциальная геометрия. Нью-Йорк: Вили. С. 133–150. ISBN 0-471-82825-4.