WikiDer > U-статистика

В статистическая теория, а U-статистика это класс статистики, который особенно важен в теория оценки; буква «U» означает беспристрастность. В элементарной статистике U-статистика естественным образом возникает при получении несмещенные оценки с минимальной дисперсией.

Теория U-статистики позволяет несмещенная оценка с минимальной дисперсией выводиться из каждого объективный оценщик из оцениваемый параметр (альтернативно, статистический функциональный) для больших классов вероятностных распределений.^[1][2] Оцениваемый параметр - это измеримая функция населения кумулятивное распределение вероятностей: Например, для каждого распределения вероятностей медиана совокупности является оцениваемым параметром. Теория U-статистики применяется к общим классам вероятностных распределений.

Многие статистические данные, первоначально полученные для конкретных параметрических семейств, были признаны U-статистикой для общих распределений. В непараметрическая статистика, теория U-статистики используется для установления статистических процедур (таких как оценки и тесты) и оценок, относящихся к асимптотическая нормальность и дисперсии (в конечных выборках) таких величин.^[3] Теория использовалась для изучения более общей статистики, а также случайные процессы, Такие как случайные графы.^[4][5][6]

Предположим, что проблема связана с независимые и одинаково распределенные случайные величины и что требуется оценка определенного параметра. Предположим, что простая несмещенная оценка может быть построена на основе всего нескольких наблюдений: это определяет базовую оценку, основанную на заданном количестве наблюдений. Например, одно наблюдение само по себе является объективной оценкой среднего, а пара наблюдений может использоваться для получения объективной оценки дисперсии. U-статистика, основанная на этой оценке, определяется как среднее (по всем комбинаторным выборкам данного размера из полного набора наблюдений) базовой оценки, примененной к подвыборкам.

Сен (1992) дает обзор статьи Василий Хёффдинг (1948), который ввел U-статистику и изложил относящуюся к ней теорию, и тем самым Сен подчеркивает важность U-статистики в статистической теории. Сен говорит^[7] «Влияние Хёффдинга (1948) огромно в настоящее время и, скорее всего, сохранится и в ближайшие годы». Обратите внимание, что теория U-статистики не ограничивается^[8] случай независимые и одинаково распределенные случайные величины или скалярным случайным величинам.^[9]

Определение

Термин U-статистика, введенный Хёффдингом (1948), определяется следующим образом.

Позволять ${displaystyle fcolon R ^ {r} o R}$ быть действительной или комплексной функцией от ${displaystyle r}$ переменных. для каждого ${displaystyle ngeq r}$ ассоциированная U-статистика ${displaystyle f_ {n} двоеточие R ^ {n} o R}$ равно среднему по заказанным образцам ${displaystyle varphi (1), ldots, varphi (r)}$ размера ${displaystyle r}$ значений выборки ${displaystyle f (x_ {varphi})}$.Другими словами, ${displaystyle f_ {n} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = имя оператора {ave} f (x_ {varphi (1)}, ldots, x_ {varphi (r)})}$, среднее значение по разным упорядоченным выборкам размером ${displaystyle r}$ взято из ${displaystyle {1, ldots, n}}$.Каждая U-статистика ${displaystyle f_ {n} (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$ обязательно симметричная функция.

U-статистика очень естественна в статистической работе, особенно в контексте Хёффдинга. независимые и одинаково распределенные случайные величины, или в более общем плане для заменяемые последовательности, например, в простая случайная выборка от конечного населения, где определяющее свойство называется «наследование в среднем».

Фишера k-статистика и Тьюки поликайс являются примерами однородный многочлен U-статистика (Фишер, 1929; Тьюки, 1950). Для простой случайной выборки φ размерап взяты из популяцииN, U-статистика обладает тем свойством, что среднее значение выборкиƒ_п(xφ) в точности равно значению численности населенияƒ_N(Икс).

Примеры

Некоторые примеры: Если ${displaystyle f (x) = x}$ U-статистика ${displaystyle f_ {n} (x) = {ar {x}} _ {n} = (x_ {1} + cdots + x_ {n}) / n}$ - выборочное среднее.

Если ${displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}) = | x_ {1} -x_ {2} |}$, U-статистика - это среднее попарное отклонение${displaystyle f_ {n} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = 2 / (n (n-1)) сумма _ {i> j} | x_ {i} -x_ {j} |}$, определенная для ${displaystyle ngeq 2}$.

Если ${displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}) = (x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} / 2}$, U-статистика - это выборочная дисперсия ${displaystyle f_ {n} (x) = sum (x_ {i} - {ar {x}} _ {n}) ^ {2} / (n-1)}$с делителем ${displaystyle n-1}$, определенная для ${displaystyle ngeq 2}$.

Третий ${displaystyle k}$-статистический ${displaystyle k_ {3, n} (x) = sum (x_ {i} - {ar {x}} _ {n}) ^ {3} n / ((n-1) (n-2))}$,образец перекос определены для ${displaystyle ngeq 3}$, является U-статистикой.

Следующий случай подчеркивает важный момент. Если ${displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ это медиана трех значений, ${displaystyle f_ {n} (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$ не является медианой ${displaystyle n}$ значения. Однако это несмещенная оценка минимальной дисперсии ожидаемого значения медианы трех значений, а не медианы совокупности. Подобные оценки играют центральную роль, когда параметры семейства распределений вероятностей оцениваются с помощью моментов, взвешенных по вероятности или L-моменты.

Смотрите также

• V-статистика

Примечания

Рекомендации

• Боровских, Ю. В. (1996). U-статистика в банаховых пространствах. Утрехт: ВСП. С. xii + 420. ISBN 90-6764-200-2. МИСТЕР 1419498.
• Кокс, Д. Р., Хинкли, Д. В. (1974) Теоретическая статистика. Чепмен и Холл. ISBN 0-412-12420-3
• Фишер, Р.А. (1929) Моменты и моменты произведения выборочных распределений. Труды Лондонского математического общества, 2, 30:199–238.
• Хёффдинг, В. (1948) Класс статистики с асимптотически нормальным распределением. Анналы статистики, 19: 293–325. (Частично перепечатано в: Kotz, S., Johnson, N. L. (1992) Прогресс в статистике, Том I, стр. 308–334. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94037-5)
• Королюк, В. С .; Боровскич, Ю. В. (1994). Теория U-статистика. Математика и ее приложения. 273 (Перевод П. В. Малышева и Д. В. Малышева из русского оригинала 1989 г.). Дордрехт: Kluwer Academic Publishers Group. с. x + 552. ISBN 0-7923-2608-3. МИСТЕР 1472486.
• Ли, А. Дж. (1990) U-статистика: теория и практика. Марсель Деккер, Нью-Йорк. pp320 ISBN 0-8247-8253-4
• Сен, П. К. (1992) Введение в Хёффдинг (1948) Класс статистики с асимптотически нормальным распределением. В: Коц, С., Джонсон, Н. Л. Прогресс в статистике, Том I, стр. 299–307. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94037-5.
• Серфлинг, Роберт Дж. (1980). Аппроксимационные теоремы математической статистики. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-02403-1.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Тьюки, Дж. У. (1950). «Упрощенная выборка». Журнал Американской статистической ассоциации. 45 (252): 501–519. Дои:10.1080/01621459.1950.10501142.
• Халмос, П. (1946). «Теория объективного оценивания». Анналы математической статистики. 1 (17): 34–43. Дои:10.1214 / aoms / 1177731020.