WikiDer > Векторная логика - Википедия

Vector logic - Wikipedia

Векторная логика[1][2] является алгебраический модель элементарного логика на основе матричная алгебра. Векторная логика предполагает, что ценности истины карта на векторов, и что монадический и диадический операции выполняются матричными операторами. «Векторная логика» также использовалась для обозначения представления классической логики высказываний как векторного пространства,[3][4] в котором единичные векторы являются пропозициональными переменными. Логика предикатов может быть представлена ​​как векторное пространство того же типа, в котором оси представляют буквы предикатов. и .[5] В векторном пространстве для логики высказываний начало координат представляет ложное, F, а бесконечная периферия представляет истинное, T, тогда как в пространстве для логики предикатов начало координат представляет «ничто», а периферия представляет бегство из ничего или «что-то». ".

Обзор

Классический двоичный логика представлена ​​небольшим набором математических функций, зависящих от одной (монадической) или двух (диадической) переменных. В двоичном наборе значение 1 соответствует истинный и значение от 0 до ложный. Двузначная векторная логика требует соответствия между истинностными значениями истинный (t) и ложный (f) и два q-мерные нормализованные действительные значения вектор-столбец s и п, следовательно:

и

(куда произвольное натуральное число, а "нормализованный" означает, что длина вектора - 1; обычно s и n - ортогональные векторы). Это соответствие порождает пространство векторных истинностных значений: V2 = {s,п}. Основные логические операции, определенные с помощью этого набора векторов, приводят к матричным операторам.

Операции векторной логики основаны на скалярном произведении между q-мерные векторы-столбцы: : ортонормальность между векторами s и п подразумевает, что если , и если , куда .

Монадические операторы

Монадические операторы являются результатом приложения , а соответствующие матрицы имеют q ряды и q столбцы. Двумя основными монадическими операторами этой двузначной векторной логики являются личность и отрицание:

  • Личность: Логический идентификатор личности (п) представлена ​​матрицей , где сопоставления Продукция Kronecker. Эта матрица работает следующим образом: IP = п, п ∈ V2; из-за ортогональности s уважение к п, у нас есть , и наоборот . Важно отметить, что эта единичная матрица векторной логики обычно не является единичная матрица в смысле матричной алгебры.
  • Отрицание: Логическое отрицание ¬п представлен матрицей Как следствие, Ns = п и Nn = s. В инволютивный поведение логического отрицания, а именно, что ¬ (¬п) равно п, соответствует тому, что N2 = я.

Диадические операторы

16 двузначных диадических операторов соответствуют функциям типа ; диадические матрицы имеют q2 ряды и q столбцы. Матрицы, которые выполняют эти диадические операции, основаны на свойствах Кронекер продукт. (Умножая такую ​​диадическую матрицу на матрица дает столбец, записи которого Внутренние продукты Фробениуса квадратной матрицы блоками того же размера в диадической матрице.)

Два свойства этого продукта существенны для формализма векторной логики:

  1. Свойство смешанного продукта

    Если А, B, C и D - матрицы такого размера, что можно формировать матричные произведения AC и BD, тогда

  2. Распределительное транспонирование Операция транспонирования распространяется на произведение Кронекера:

Используя эти свойства, можно получить выражения для функций диадической логики:

  • Соединение. Конъюнкция (p∧q) выполняется матрицей, которая действует на два вектора истинностных значений: Эта матрица воспроизводит черты классической таблицы истинности конъюнкции в своей формулировке:
и проверяет
и
в результате чего
и
  • Последствия. Импликация соответствует в классической логике выражению p → q ≡ ¬p ∨ q. Версия этой эквивалентности с векторной логикой приводит к матрице, которая представляет это значение в векторной логике: . Явное выражение для этой импликации:
и выполняются свойства классической импликации:
и
с
и
Исключительное или является отрицанием эквивалентности, ¬ (p≡q); это соответствует матрице данный
с и

Матрицы S и п соответствуют Шеффер (NAND) и Пирс (NOR) операции соответственно:

Закон де Моргана

В двузначной логике операции конъюнкции и дизъюнкции удовлетворяют Закон де Моргана: p∧q≡¬ (¬p∨¬q) и его двойственное: p∨q≡¬ (¬p∧¬q)). Для двузначной векторной логики также проверяется этот Закон:

, куда ты и v два логических вектора.

Произведение Кронекера подразумевает следующую факторизацию:

Тогда можно доказать, что в двумерной векторной логике закон Де Моргана - это закон с участием операторов, а не только закон, касающийся операций:[6]

Закон противопоставления

В классическом исчислении высказываний Закон противопоставления п → q ≡ ¬q → ¬п доказано, потому что эквивалентность верна для всех возможных комбинаций истинностных значений п и q.[7] Вместо этого в векторной логике закон противопоставления возникает из цепочки равенств в рамках правил матричной алгебры и произведений Кронекера, как показано ниже:

Этот результат основан на том, что D, матрица дизъюнкции, представляет собой коммутативную операцию.

Многозначная двумерная логика

Многозначная логика был разработан многими исследователями, в частности Ян Лукасевич и позволяет расширить логические операции до значений истинности, которые включают неопределенности.[8] В случае двузначной векторной логики неопределенности в значениях истинности могут быть введены с использованием векторов с s и п взвешенные по вероятностям.

Позволять , с быть такого рода «вероятностными» векторами. Здесь вводится многозначный характер логики. апостериорный через неопределенности, внесенные во входные данные.[1]

Скалярные проекции векторных выходов

Результаты этой многозначной логики могут быть спроецированы на скалярные функции и порождают определенный класс вероятностной логики, схожей с многозначной логикой Райхенбаха.[9][10][11] Учитывая два вектора и и диадическая логическая матрица , скалярная вероятностная логика обеспечивается проекцией на векторs:

Вот основные результаты этих прогнозов:

Связанные отрицания:

Если скалярные значения принадлежат множеству {0, ½, 1}, эта многозначная скалярная логика для многих операторов почти идентична 3-значной логике Лукасевича. Кроме того, было доказано, что когда монадические или диадические операторы действуют над вероятностными векторами, принадлежащими этому набору, выход также является элементом этого набора.[6]

История

Ранние попытки использовать линейную алгебру для представления логических операций можно отнести к Пирс и Copilowish,[12] особенно в использовании логические матрицы интерпретировать исчисление отношений.

Подход был вдохновлен нейронная сеть модели, основанные на использовании многомерных матриц и векторов.[13][14] Векторная логика - это прямой перевод в матрично-векторный формализм классической Булевы полиномы.[15] Такой формализм был применен для разработки нечеткая логика с точки зрения сложные числа.[16] Другие матричный и векторный подходы к логическому исчислению были разработаны в рамках квантовая физика, Информатика и оптика.[17][18]

В Индийский биофизик Г. Рамачандран разработал формализм с использованием алгебраических матриц и векторов для представления многих операций классической джайнской логики, известных как Syad и Saptbhangi. Индийская логика.[19] Он требует независимых подтверждающих свидетельств для каждого утверждения в предложении и не делает предположений о бинарном дополнении.

Булевы полиномы

Джордж Буль установил развитие логических операций как многочленов.[15] В случае монадических операторов (таких как личность или жеотрицание) булевы полиномы выглядят следующим образом:

Четыре различных монадических операции являются результатом разных двоичных значений коэффициентов. Операция идентификации требует ж(1) = 1 и ж(0) = 0, и отрицание происходит, если ж(1) = 0 и ж(0) = 1. Для 16 диадических операторов булевы многочлены имеют вид:

Диадические операции могут быть переведены в этот полиномиальный формат, когда коэффициенты ж принять значения, указанные в соответствующих таблицы истинности. Например: NAND операция требует, чтобы:

и .

Эти булевы полиномы могут быть немедленно расширены до любого числа переменных, создавая большое потенциальное разнообразие логических операторов. В векторной логике матрично-векторная структура логических операторов является точным переводом в формат линейной алгебры этих булевых полиномов, где то Икс и 1−Икс соответствуют векторам s и п соответственно (то же для у и 1−у). В примере с NAND, ж(1,1)=п и ж(1,0)=ж(0,1)=ж(0,0)=s и версия матрицы становится:

Расширения

  • Векторная логика может быть расширена для включения множества значений истинности, поскольку большие размерные векторные пространства позволяют создавать множество ортогональных значений истинности и соответствующие логические матрицы.[2]
  • Логические модальности могут быть полностью представлены в этом контексте с рекурсивным процессом, вдохновленным нейронные модели.[2][20]
  • Некоторые когнитивные проблемы, связанные с логическими вычислениями, могут быть проанализированы с использованием этого формализма, в частности, рекурсивные решения. Любое логическое выражение классического исчисления высказываний может быть естественно представлено в виде древовидная структура.[7] Этот факт сохраняется в векторной логике и частично используется в нейронных моделях, направленных на исследование разветвленной структуры естественных языков.[21][22][23][24][25][26]
  • Вычисление с помощью обратимых операций как Фредкин ворота могут быть реализованы в векторной логике. Такая реализация обеспечивает явные выражения для матричных операторов, которые производят формат ввода и фильтрацию вывода, необходимую для получения вычислений.[2][6]
  • Элементарные клеточные автоматы могут быть проанализированы с использованием операторной структуры векторной логики; этот анализ приводит к спектральному разложению законов, управляющих его динамикой.[27][28]
  • Кроме того, на основе этого формализма разработано дискретное дифференциальное и интегральное исчисление.[29]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Мизраджи, Э. (1992). Векторная логика: матрично-векторное представление логического исчисления. Нечеткие множества и системы, 50, 179–185
  2. ^ а б c d Мизраджи, Э. (2008) Векторная логика: естественное алгебраическое представление фундаментальных логических элементов. Журнал логики и вычислений, 18, 97–121.
  3. ^ Вестфаль Дж. И Харди Дж. (2005) Логика как векторная система. Журнал логики и вычислений, 751-765
  4. ^ Вестфаль, Дж. Колфилд, Х. Дж. Харди, Дж. И Цянь, Л. (2005) Доказательство теорем оптической векторной логики. Труды Объединенной конференции по информационным системам, фотонике, сетевым технологиям и вычислительной технике.
  5. ^ Вестфаль, Дж (2010). Применение теории векторов к силлогистической логике. Новые перспективы на площади оппозиции, Берн, Питер Ланг.
  6. ^ а б c Мизраджи, Э. (1996) Операторы векторной логики. Mathematical Logic Quarterly, 42, 27–39
  7. ^ а б Суппес, П. (1957) Введение в логику, Ван Ностранд Рейнхольд, Нью-Йорк.
  8. ^ Лукасевич, Дж. (1980) Избранные произведения. Л. Борковский, ред., С. 153–178. Северная Голландия, Амстердам, 1980 г.
  9. ^ Решер Н. (1969) Многозначная логика. Макгроу-Хилл, Нью-Йорк
  10. ^ Blanché, R. (1968) Введение в Logique Contemporaine, Арман Колен, Париж
  11. ^ Клир Г.Дж., Юань Г. (1995) Нечеткие множества и нечеткая логика. Прентис-Холл, Нью-Джерси
  12. ^ Копиловиш И.М. (1948) Матричное развитие исчисления отношений. Журнал символической логики, 13, 193–203
  13. ^ Кохонен Т. (1977) Ассоциативная память: теоретико-системный подход. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк
  14. ^ Мизраджи, Э. (1989) Контекстно-зависимые ассоциации в линейно распределенных воспоминаниях. Вестник математической биологии, 50, 195–205.
  15. ^ а б Бул, Г. (1854) Исследование законов мысли, на которых основаны теории логики и вероятностей. Макмиллан, Лондон, 1854 г .; Дувр, New York Reedition, 1958 г.
  16. ^ Дик, С. (2005) К сложной нечеткой логике. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 15 405–414, 2005 г.
  17. ^ Миттельштадт, П. (1968) Philosophische Probleme der Modernen Physik, Bibliographisches Institut, Mannheim
  18. ^ Стерн А. (1988) Матричная логика: теория и приложения. Северная Голландия, Амстердам
  19. ^ Джайн, М. (2011) Логика основанных на доказательствах предположений вывода, Current Science, 1663–1672, 100
  20. ^ Мизраджи, Э. (1994) Модальности в векторной логике В архиве 2014-08-11 в Wayback Machine. Журнал Нотр-Дам по формальной логике, 35, 272–283.
  21. ^ Мизраджи, Э., Лин, Дж. (2002) Динамика логических решений. Physica D, 168–169, 386–396
  22. ^ Бейм Грабен, П., Поттхаст, Р. (2009). Обратные задачи динамического когнитивного моделирования. Хаос, 19, 015103
  23. ^ Бейм Грабен, П., Пиноцис, Д., Сэдди, Д., Поттхаст, Р. (2008). Языковая обработка с динамическими полями. Cogn. Нейродин., 2, 79–88
  24. ^ Бейм Грабен, П., Герт, С., Васишт, С. (2008) К динамическим системным моделям связанных с языком потенциалов мозга. Cogn. Нейродин., 2, 229–255
  25. ^ Бейм Грабен, П., Герт, С. (2012) Геометрические представления минималистских грамматик. Журнал логики, языка и информации, 21, 393-432.
  26. ^ Бинацци, А. (2012) Cognizione logica e modelli mentali. Studi sulla formazione, 1–2012, pag. 69–84
  27. ^ Мизраджи, Э. (2006) Части и целое: изучение того, как взаимодействие простых подсистем порождает сложность. Международный журнал общих систем, 35, стр. 395–415.
  28. ^ Аррути, К., Мизраджи, Э. (2006) Скрытые возможности. Международный журнал общих систем, 35, 461–469.
  29. ^ Мизраджи, Э. (2015) Дифференциальное и интегральное исчисление для логических операций. Матрично-векторный подход Журнал логики и вычислений 25, 613-638, 2015