WikiDer > Внутренний продукт Фробениуса

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Внутренний продукт Фробениуса» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Март 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, то Внутренний продукт Фробениуса это двоичная операция, которая занимает два матрицы и возвращает число. Часто обозначается ${ Displaystyle langle mathbf {A}, mathbf {B} rangle _ { mathrm {F}}}$. Операция покомпонентная. внутренний продукт двух матриц, как если бы они были векторами. Две матрицы должны иметь одинаковое измерение - одинаковое количество строк и столбцов - но не ограничены квадратные матрицы.

Определение

Учитывая два комплексное число-значен п×м матрицы А и B, явно записанный как

${ displaystyle mathbf {A} = { begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} & cdots & A_ {1m} A_ {21} & A_ {22} & cdots & A_ {2m} vdots & vdots & ddots & vdots A_ {n1} & A_ {n2} & cdots & A_ {nm} end {pmatrix}} ,, quad mathbf {B} = { begin { pmatrix} B_ {11} & B_ {12} & cdots & B_ {1m} B_ {21} & B_ {22} & cdots & B_ {2m} vdots & vdots & ddots & vdots B_ {n1} & B_ {n2} & cdots & B_ {nm} end {pmatrix}}}$

внутреннее произведение Фробениуса определяется следующим суммирование Σ матричных элементов,

${ displaystyle langle mathbf {A}, mathbf {B} rangle _ { mathrm {F}} = sum _ {i, j} { overline {A_ {ij}}} B_ {ij} , = mathrm {Tr} left ({ overline { mathbf {A} ^ {T}}} mathbf {B} right) эквив mathrm {Tr} left ( mathbf {A} ^ { ! dagger} mathbf {B} right)}$

где черта обозначает комплексно сопряженный, и ${ displaystyle dagger}$ обозначает Эрмитово сопряжение. Явно эта сумма равна

${ displaystyle { begin {align} langle mathbf {A}, mathbf {B} rangle _ { mathrm {F}} = & { overline {A}} _ {11} B_ {11} + { overline {A}} _ {12} B_ {12} + cdots + { overline {A}} _ {1m} B_ {1m} & + { overline {A}} _ {21} B_ {21} + { overline {A}} _ {22} B_ {22} + cdots + { overline {A}} _ {2m} B_ {2m} & vdots & + { overline {A}} _ {n1} B_ {n1} + { overline {A}} _ {n2} B_ {n2} + cdots + { overline {A}} _ {nm} B_ {nm} конец {выровнен}}}$

Расчет очень похож на скалярное произведение, который, в свою очередь, является примером внутреннего продукта.

Характеристики

Это полуторалинейная форма, для четырех комплексных матриц А, B, C, D, и два комплексных числа а и б:

${ displaystyle langle a mathbf {A}, b mathbf {B} rangle _ { mathrm {F}} = { overline {a}} b langle mathbf {A}, mathbf {B} rangle _ { mathrm {F}}}$

${ displaystyle langle mathbf {A} + mathbf {C}, mathbf {B} + mathbf {D} rangle _ { mathrm {F}} = langle mathbf {A}, mathbf { B} rangle _ { mathrm {F}} + langle mathbf {A}, mathbf {D} rangle _ { mathrm {F}} + langle mathbf {C}, mathbf {B} rangle _ { mathrm {F}} + langle mathbf {C}, mathbf {D} rangle _ { mathrm {F}}}$

Кроме того, обмен матрицами представляет собой комплексное сопряжение:

${ displaystyle langle mathbf {B}, mathbf {A} rangle _ { mathrm {F}} = { overline { langle mathbf {A}, mathbf {B} rangle _ { mathrm {F}}}}}$

Для той же матрицы

${ Displaystyle langle mathbf {A}, mathbf {A} rangle _ { mathrm {F}} geq 0 ,.}$

Примеры

Матрицы с действительным знаком

Для двух вещественных матриц, если

${ displaystyle mathbf {A} = { begin {pmatrix} 2 & 0 & 6 1 & -1 & 2 end {pmatrix}} ,, quad mathbf {B} = { begin {pmatrix} 8 & -3 & 2 4 & 1 & -5 конец {pmatrix}}}$

тогда

${ Displaystyle { begin {align} langle mathbf {A}, mathbf {B} rangle _ { mathrm {F}} & = 2 cdot 8 + 0 cdot (-3) +6 cdot 2 + 1 cdot 4 + (- 1) cdot 1 + 2 cdot (-5) & = 16 + 12 + 4-1-10 & = 21 end {выравнивается}}}$

Комплексные матрицы

Для двух комплексных матриц, если

${ Displaystyle mathbf {A} = { begin {pmatrix} 1 + i & -2i 3 & -5 end {pmatrix}} ,, quad mathbf {B} = { begin {pmatrix} -2 и 3i 4-3i & 6 end {pmatrix}}}$

тогда комплексные сопряжения (без транспонирования) равны

${ displaystyle { overline { mathbf {A}}} = { begin {pmatrix} 1-i & + 2i 3 & -5 end {pmatrix}} ,, quad { overline { mathbf {B }}} = { begin {pmatrix} -2 & -3i 4 + 3i & 6 end {pmatrix}}}$

и

${ Displaystyle { begin {align} langle mathbf {A}, mathbf {B} rangle _ { mathrm {F}} & = (1-i) cdot (-2) + (+ 2i) cdot 3i + 3 cdot (4-3i) + (- 5) cdot 6 & = (- 2 + 2i) + - 6 + 12-9i + -30 & = - 26-7i end { выровнено}}}$

пока

${ Displaystyle { begin {align} langle mathbf {B}, mathbf {A} rangle _ { mathrm {F}} & = (- 2) cdot (1 + i) + (- 3i) cdot (-2i) + (4 + 3i) cdot 3 + 6 cdot (-5) & = - 26 + 7i end {выровнено}}}$

Внутренние продукты Фробениуса А с собой, и B с собой, соответственно

${ Displaystyle langle mathbf {A}, mathbf {A} rangle _ { mathrm {F}} = 2 + 4 + 9 + 25 = 40}$

${ displaystyle langle mathbf {B}, mathbf {B} rangle _ { mathrm {F}} = 4 + 9 + 25 + 36 = 74}$

Норма Фробениуса

Внутренний продукт вызывает Норма Фробениуса

${ displaystyle | mathbf {A} | _ { mathrm {F}} = { sqrt { langle mathbf {A}, mathbf {A} rangle _ { mathrm {F}}}} ,.}$

Отношение к другим продуктам

Если А и B каждый настоящий-значные матрицы, скалярное произведение Фробениуса - это сумма элементов Произведение Адамара.

Если матрицы векторизованный (обозначается "vec", преобразовано в векторы-столбцы) следующим образом:

${ displaystyle mathrm {vec} ( mathbf {A}) = { begin {pmatrix} A_ {11} A_ {12} vdots A_ {21} A_ {22} vdots A_ {nm} end {pmatrix}}, quad mathrm {vec} ( mathbf {B}) = { begin {pmatrix} B_ {11} B_ {12} vdots B_ {21} B_ {22} vdots B_ {nm} end {pmatrix}} ,,}$

матричный продукт

${ displaystyle { overline { mathrm {vec} ( mathbf {A})}} ^ {T} mathrm {vec} ( mathbf {B}) = { begin {pmatrix} { overline {A} } _ {11} & { overline {A}} _ {12} & cdots & { overline {A}} _ {21} & { overline {A}} _ {22} & cdots & { overline {A}} _ {nm} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} B_ {11} B_ {12} vdots B_ {21} B_ {22} vdots B_ {nm} end {pmatrix}}}$

воспроизводит определение, поэтому

${ displaystyle langle mathbf {A}, mathbf {B} rangle _ { mathrm {F}} = { overline { mathrm {vec} ( mathbf {A})}} ^ {T} mathrm {vec} ( mathbf {B}) ,.}$

Смотрите также

• Произведение Адамара (матрицы)
• Внутреннее произведение Гильберта – Шмидта
• Кронекер продукт
• Матричный анализ
• Умножение матриц
• Матричная норма