WikiDer > Тензор вязких напряжений

Viscous stress tensor

В тензор вязких напряжений это тензор используется в механика сплошной среды смоделировать часть стресс в какой-то момент материала, который можно отнести к скорость деформации, то ставка на котором это деформирующий вокруг этой точки.

Тензор вязких напряжений формально аналогичен тензор упругих напряжений (тензор Коши) который описывает внутренние силы в эластичный материал из-за его деформации. Оба тензора отображают нормальный вектор из элемент поверхности плотности и направления напряжения, действующего на этот элемент поверхности. Однако упругое напряжение связано с количество деформации (напряжение), а вязкое напряжение связано с ставка изменения деформации во времени (скорости деформации). В вязкоупругий материалы, поведение которых занимает промежуточное положение между жидкостями и твердыми телами, тензор полного напряжения состоит из вязких и упругих («статических») компонентов. Для полностью жидкого материала эластичный член сводится к гидростатическое давление.

В произвольной системе координат вязкое напряжение ε и скорость деформации E в определенный момент и время может быть представлено как 3 × 3 матрицы реальных чисел. Во многих ситуациях между этими матрицами существует приблизительно линейная связь; то есть четвертого порядка тензор вязкости μ такой, что ε = μE. Тензор μ имеет четыре индекса и состоит из 3 × 3 × 3 × 3 действительных чисел (из которых только 21 независимый). В Ньютоновская жидкость, по определению, связь между ε и E идеально линейна, а тензор вязкости μ не зависит от состояния движения или напряжения в жидкости. Если жидкость является изотропной, а также ньютоновской, тензор вязкости μ будет иметь только три независимых реальных параметра: объемная вязкость коэффициент, определяющий сопротивление среды постепенному равномерному сжатию; а динамическая вязкость коэффициент, который выражает его сопротивление постепенному сдвигу, а вращательная вязкость коэффициент, который возникает в результате связи между потоком жидкости и вращением отдельных частиц.[1]:304 В отсутствие такой связи тензор вязких напряжений будет иметь только два независимых параметра и будет симметричным. В неньютоновские жидкости, с другой стороны, связь между ε и E может быть крайне нелинейным, и ε может даже зависеть от других характеристик потока помимо E.

Определение

Вязкое и упругое напряжение

Внутренний механические напряжения в сплошная среда обычно связаны с деформацией материала из некоторого «расслабленного» (ненапряженного) состояния. Эти напряжения обычно включают упругое («статическое») напряжение компонент, связанный с текущим количество деформации и действия по восстановлению материала до состояния покоя; и вязкое напряжение компонент, который зависит от ставка при котором деформация меняется со временем и противодействует этому изменению.

Тензор вязких напряжений

Подобно полному и упругому напряжениям, вязкое напряжение вокруг определенной точки материала в любое время можно смоделировать с помощью тензора напряжений a линейная связь между вектор направления нормали идеальной плоскости через точку и локальную плотность напряжения на том самолете в тот момент.

В любом выбранном система координат с осями под номерами 1, 2, 3, это тензор вязких напряжений можно представить как 3 × 3 матрица действительных чисел:

Обратите внимание, что эти числа обычно меняются с точкой п и время т.

Рассмотрим бесконечно малый плоский элемент поверхности сосредоточен на точке п, представленный вектором dA чья длина площадь элемента и направление которого перпендикулярно ему. Позволять dF быть бесконечно малой силой из-за вязкого напряжения, которое прикладывается через этот элемент поверхности к материалу на стороне, противоположной dA. Компоненты dF вдоль каждой координатной оси тогда задаются

В любом материале тензор полного напряжения σ сумма этого тензора вязких напряжений εтензор упругих напряжений τ и гидростатическое давление п. В идеально текучем материале, который по определению не может иметь статического напряжения сдвига, тензор упругих напряжений равен нулю:

куда δij это единичный тензор, так что δij равно 1, если я = j и 0, если яj.

В то время как вязкие напряжения создаются физическими явлениями, которые сильно зависят от природы среды, тензор вязких напряжений ε это только описание локальных мгновенных сил между соседними участками материала, а не свойство материала.

Симметрия

Игнорируя крутящий момент на элементе из-за потока («внешний» крутящий момент), вязкий «собственный» крутящий момент на единицу объема на жидком элементе записывается (как антисимметричный тензор) как

и представляет собой скорость изменения собственной плотности углового момента со временем. Если частицы имеют вращательные степени свободы, это будет означать собственный угловой момент, и если этот угловой момент может быть изменен столкновениями, возможно, что этот собственный угловой момент может измениться во времени, что приведет к собственному крутящему моменту, который не равен нулю, что будет означать, что тензор вязких напряжений будет иметь антисимметричную составляющую с соответствующим вращательная вязкость коэффициент.[1] Если частицы жидкости имеют пренебрежимо малый угловой момент или если их угловой момент существенно не связан с внешним угловым моментом, или если время установления равновесия между внешней и внутренней степенями свободы практически равно нулю, крутящий момент будет равен нулю и тензор вязких напряжений будет симметричным. Внешние силы могут привести к асимметричной составляющей тензора напряжений (например, ферромагнитные жидкости который может испытывать крутящий момент из-за внешнего магнитные поля).

Физические причины вязкого напряжения

В твердом материале упругую составляющую напряжения можно приписать деформации облигации между атомы и молекулы материала, и может включать напряжения сдвига. В жидкости упругое напряжение может быть связано с увеличением или уменьшением среднего расстояния между частицами, что влияет на скорость их столкновения или взаимодействия и, следовательно, на перенос частиц. импульс через жидкость; поэтому это связано с микроскопическим тепловой случайная составляющая движения частиц и проявляется как изотропная гидростатическое давление стресс.

С другой стороны, вязкая составляющая напряжения возникает из-за макроскопического иметь в виду скорость частиц. Его можно отнести к трение или частица распространение между соседними участками среды, имеющими разные средние скорости.

Уравнение вязкости

Тензор скорости деформации

В плавном потоке скорость, с которой локальная деформация среды изменяется во времени (скорость деформации), может быть аппроксимирована тензор скорости деформации E(п, т), которая обычно является функцией точки п и время т. По отношению к любой системе координат это может быть выражено матрицей 3 × 3.

Тензор скорости деформации E(п, т) можно определить как производная из тензор деформации е(п, т) относительно времени, или, что то же самое, как симметричная часть градиент (производная по пространству) вектора скорости потока v(п, т):

куда v обозначает градиент скорости. В декартовых координатах v это Матрица якобиана,

и поэтому

В любом случае тензор скорости деформации E(п, т) выражает скорость, с которой средняя скорость изменяется в среде при удалении от точки п - кроме изменений, связанных с вращение СМИ о п как твердые тела, которые не изменяют относительные расстояния между частицами и вносят вклад только во вращательную часть вязкого напряжения посредством вращения самих отдельных частиц. (Эти изменения включают завихренность потока, который является завиток (вращательный) ∇ × v скорости; которая также является антисимметричной частью градиента скорости v.)

Общие потоки

Тензор вязких напряжений представляет собой только линейную аппроксимацию напряжений вокруг точки п, и не учитывает условия более высокого порядка Серия Тейлор. Однако почти во всех практических ситуациях этими членами можно пренебречь, поскольку они становятся незначительными в масштабах размеров, где возникает вязкое напряжение и влияет на движение среды. То же можно сказать и о тензоре скорости деформации E как представление картины скорости вокруг п.

Таким образом, линейные модели, представленные тензорами E и ε почти всегда достаточно для описания вязкого напряжения и скорости деформации вокруг точки с целью моделирования ее динамика. В частности, скорость локальной деформации E(п, т) - единственное свойство скоростного потока, которое напрямую влияет на вязкое напряжение ε(п, т) в заданной точке.

С другой стороны, связь между E и ε может быть довольно сложным и сильно зависит от состава, физического состояния и микроскопической структуры материала. Это также часто очень нелинейно и может зависеть от деформаций и напряжений, которые ранее испытывал материал, который сейчас находится в рассматриваемой точке.

Общие ньютоновские СМИ

Говорят, что среда Ньютоновский если вязкое напряжение ε(п, т) является линейной функцией скорости деформации E(п, т), а в остальном эта функция не зависит от напряжений и движения жидкости вокруг п. Никакая настоящая жидкость не является полностью ньютоновской, но можно предположить, что многие важные жидкости, включая газы и воду, являются таковыми, если напряжения потока и скорости деформации не слишком высоки.

В общем случае линейная связь между двумя тензорами второго порядка является тензором четвертого порядка. В частности, в ньютоновской среде вязкое напряжение и скорость деформации связаны соотношением тензор вязкости μ:

Коэффициент вязкости μ является свойством ньютоновского материала, которое по определению не зависит от v или же σ.

Тензор скорости деформации E(п, т) симметричен по определению, поэтому имеет только шесть линейно независимых элементов. Следовательно, тензор вязкости μ имеет только 6 × 9 = 54 степени свободы, а не 81. В большинстве жидкостей тензор вязких напряжений также является симметричным, что дополнительно снижает количество параметров вязкости до 6 × 6 = 36.

Сдвиг и объемное вязкое напряжение

При отсутствии вращательных эффектов тензор вязких напряжений будет симметричным. Как и любой симметричный тензор, тензор вязких напряжений ε возможно выражается как сумма а бесследный симметричный тензор εs, и скалярное кратное εv тождественного тензора. В координатной форме

Это разложение не зависит от системы координат и поэтому имеет физическое значение. Постоянная часть εv тензора вязких напряжений проявляется как своего рода давление или объемное напряжение, которое действует одинаково и перпендикулярно на любую поверхность независимо от ее ориентации. В отличие от обычного гидростатического давления, оно может появиться только при изменении деформации, противодействуя изменению; и может быть отрицательным.

Изотропный ньютоновский случай

В ньютоновской среде, которая является изотропной (то есть чьи свойства одинаковы во всех направлениях), каждая часть тензора напряжений связана с соответствующей частью тензора скорости деформации.

куда Ev и Es - скалярная изотропная и бесследная части тензора скорости деформации E, и μv и μs два действительных числа.[2] Таким образом, в этом случае тензор вязкости μ имеет всего два независимых параметра.

Часть с нулевым следом Es из E представляет собой симметричный тензор 3 × 3, который описывает скорость, с которой среда деформируется путем сдвига, игнорируя любые изменения ее объема. Таким образом, часть с нулевым следом εs из ε знакомый вязкое напряжение сдвига что связано с прогрессивным стрижка деформация. Это вязкое напряжение, которое возникает в жидкости, движущейся по трубке с равномерным поперечное сечениеПоток Пуазейля) или между двумя параллельно движущиеся пластины (а Поток Куэтта) и сопротивляется этим движениям.

Часть Ev из E действует как скалярный множитель (например, εv), среднее скорость расширения среды вокруг рассматриваемой точки. (Он представлен в любой системе координат диагональной матрицей 3 × 3 с равными значениями по диагонали.) Численно он равен 1/3 из расхождение скорости

что, в свою очередь, является относительной скоростью изменения объем жидкости из-за потока.

Следовательно, скалярная часть εv из ε представляет собой напряжение, которое может наблюдаться, когда материал сжимается или расширяется с одинаковой скоростью во всех направлениях. Это проявляется как дополнительная давление который появляется только во время сжатия материала, но (в отличие от истинного гидростатического давления) пропорционален скорости изменения сжатия, а не величине сжатия, и исчезает, как только объем перестает изменяться.

Эта часть вязкого напряжения, обычно называемая объемной вязкостью или объемной вязкостью, часто важна для вязкоупругий материалы и несет ответственность за затухание из волны давления в среде. Объемной вязкостью можно пренебречь, если материал можно рассматривать как несжимаемый (например, при моделировании течения воды в канале).

Коэффициент μv, часто обозначаемый η, называется коэффициентом объемная вязкость (или «вторая вязкость»); пока μs - коэффициент обычной (сдвиговой) вязкости.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б De Groot, S. R .; Мазур, П. (1984). Неравновесная термодинамика. Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-64741-2.
  2. ^ Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1997). Механика жидкости. Перевод Sykes, J. B .; Рид, У. Х. (2-е изд.). Баттерворт Хайнеманн. ISBN 0-7506-2767-0.