WikiDer > Теорема Z * - Википедия

В математике Джордж Глауберманс Z * теорема утверждается следующим образом:

Теорема Z *: Позволять грамм быть конечная группа, с О(грамм) будучи его максимальным нормальная подгруппа из странный порядок. Если Т это Силовская 2-подгруппа из грамм содержащий инволюция нет сопрягать в грамм к любому другому элементу Т, то инволюция лежит в Z *(грамм), который является прообразом в грамм из центр из грамм/О(грамм).

Это обобщает Теорема Брауэра – Судзуки (и доказательство использует теорему Брауэра – Судзуки для рассмотрения некоторых небольших случаев).

Подробности

Исходная статья (Глауберман 1966) дал несколько критериев для того, чтобы элемент лежал вне Z *(грамм). Его теорема 4 гласит:

Для элемента т в Т, это необходимо и достаточно для т лежать снаружи Z *(грамм) что есть некоторые грамм в грамм и абелева подгруппа U из Т удовлетворяющие следующим свойствам:

1. грамм нормализует оба U и централизатор C_Т(U), то есть грамм содержится в N = N_грамм(U) ∩ N_грамм(C_Т(U))
2. т содержится в U и тг ≠ gt
3. U генерируется N-конъюгаты т
4. то показатель степени из U равно порядок из т

более того грамм может быть выбрано иметь основная сила заказ если т находится в центре Т, и грамм может быть выбран в Т иначе.

Простое следствие состоит в том, что элемент т в Т не в Z *(грамм) тогда и только тогда, когда есть s ≠ т такой, что s и т ездить на работу и s и т находятся грамм-сопряженные.

Обобщение на странное простые числа был записан в (Гуралник и Робинсон 1993): если т элемент простого порядка п и коммутатор [т, грамм] имеет порядок совмещать к п для всех грамм, тогда т является центральным по модулю п'-основной. Это также было обобщено на нечетные простые числа и компактные группы Ли в (Мислин и Тевеназ 1991), который также содержит несколько полезных результатов в конечном случае.

(Хенке и Семераро 2014) также изучили распространение теоремы Z * на пары групп (грамм, ЧАС) с ЧАС нормальная подгруппа грамм.

Рекомендации

• Дейд, Эверетт С. (1971), "Теория характеров, относящаяся к конечным простым группам", в Powell, M. B .; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 249–327, ISBN 978-0-12-563850-0, МИСТЕР 0360785 дает подробное доказательство теоремы Брауэра – Судзуки.
• Глауберман, Джордж (1966), «Центральные элементы в группах без ядра», Журнал алгебры, 4 (3): 403–420, Дои:10.1016/0021-8693(66)90030-5, ISSN 0021-8693, МИСТЕР 0202822, Zbl 0145.02802
• Гуралник, Роберт М .; Робинсон, Джеффри Р. (1993), "О расширениях теоремы Бэра-Судзуки", Израильский математический журнал, 82 (1): 281–297, Дои:10.1007 / BF02808114, ISSN 0021-2172, МИСТЕР 1239051, Zbl 0794.20029
• Хенке, Эллен; Семераро, Джейсон (2014). «Обобщение теоремы Z *». arXiv:1411.1932v1 [math.GR].
• Мислин, Гвидо; Тевеназ, Жак (1991), «Z * -теорема для компактных групп Ли», Mathematische Annalen, 291 (1): 103–111, Дои:10.1007 / BF01445193, ISSN 0025-5831, МИСТЕР 1125010