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Z-transformatie

Das Z-Transformation ist ein Mathematiker zum Lösen verwendete Technik Differenzgleichungen. Dies sind Gleichungen, die besonders für zeitdiskrete Prozesse relevant sind. Die Z-Transformation ist das diskrete Analogon von Laplace-Transformation vor dem kontinuierliche Funktionen.

Definition

Sie ${displaystyle a=(a_{0},a_{1},a_{2},ldots)}$ ein Warteschlange reale Nummern. Die Z-Transformation dieser Folge ist die Laurent-Reihe in der formalen (komplexen) Variablen z:

{displaystyle A(z)=({mathcal {Z}}a)(z)=summe _{n=0}^{infty}a_{n}z^{-n}}

.

Diese Form wird als einseitige Z-Transformation bezeichnet, um sie von der für Zeilen definierten zweiseitigen Form zu unterscheiden ${displaystyle (a_{n})_{n=-infty }^{infty }}$ ohne Anfang, von:

{displaystyle A(z)=({mathcal {Z}}a)(z)=summe _{n=-infty}^{infty}a_{n}z^{-n}}

.

Notation

Die Z-Transformierte der Reihe ${Anzeigestil (a_{n})}$ wird normalerweise notiert als:

{displaystyle A(z)={mathcal {Z}}links{a_{n}nacht}(z)}

,

was nicht ganz korrekt ist, aber es erlaubt, den allgemeinen Begriff der Reihe in der Notation zu verwenden. Je nachdem, in welcher Form die Reihenfolge angezeigt wird, sehen wir dann zum Beispiel:

{displaystyle X(z)={mathcal {Z}}links{x[n]ight}(z)}

,

oder:

{displaystyle A(z)={mathcal {Z}}links{a(n)ight}(z)}

.

Beispiel

Wir bestimmen die Z-Transformation von geometrische Reihe:

{displaystyle a_{n}=r^{n}}

, für n=0,1,2, ...

Die Z-Transformation dieser Reihe ist:

{displaystyle A(z)={mathcal {Z}}links{r^{n}night}(z)=sum _{n=0}^{infty}r^{n}z^{-n}={ frac {1}{1-{frac {r}{z}}}}}

.

Die verwandelte A(z) ist nur konvergent, wenn |z|>|r| (diese Bedingung ist unter anderem auch notwendig, um die geschlossene Form ableiten zu können).