WikiDer > Антимагический квадрат

Antimagic square

An антимагический квадрат порядка п это расположение чисел от 1 до п2 в квадрате, так что суммы п ряды, п столбцы и две диагонали образуют последовательность из 2п + 2 последовательных целых числа. Самые маленькие антимагические квадраты имеют порядок 4.[1] Антимагические квадраты контрастируют с магические квадраты, где каждая строка, столбец и диагональная сумма должны иметь одно и то же значение.[2]

Примеры

Закажите 4 антимагических квадрата

215513
163712
98141
641110
113312
159410
72168
146115

В обоих этих антимагических квадратах четвертого порядка суммы строк, столбцов и диагоналей составляют десять различных чисел в диапазоне 29–38.[2]

Закажите 5 антимагических квадратов

5820922
192313102
21631525
11187241
121417416
21186174
73131624
52023111
15819225
141292210

В антимагическом квадрате 5-го порядка слева суммы строк, столбцов и диагоналей составляют числа от 60 до 71.[2] В квадрате антимагии справа строки, столбцы и диагонали в сумме дают числа от 59 до 70.[1]

Открытые проблемы

Следующие вопросы об антимагических квадратах не решены.[нужна цитата]

  • Сколько существует антимагических квадратов определенного порядка?
  • Существуют ли антимагические квадраты для всех порядков больше 3?
  • Есть ли простое доказательство того, что антимагического квадрата третьего порядка не существует?

Обобщения

А разреженный антимагический квадрат (SAM) представляет собой квадратную матрицу размером п к п неотрицательных целых чисел, ненулевые элементы которых являются последовательными целыми числами для некоторых , и суммы строк и столбцов которого составляют набор последовательных целых чисел.[3] Если диагонали включены в набор последовательных целых чисел, массив известен как разреженный полностью антимагический квадрат (STAM). Обратите внимание, что STAM не обязательно является SAM, и наоборот.

Начинка п × п квадрат с числами от 1 до п2 в квадрате, так что все строки, столбцы и диагонали суммируются с разными значениями, называется гетероквадрат.[4] (Таким образом, они представляют собой релаксацию, при которой не требуются конкретные значения для сумм по строкам, столбцам и диагонали.) Не существует гетероквадратов второго порядка, но гетероквадраты существуют для любого порядка. п ≥ 3: если п нечетное, заполняя квадрат в спираль узор даст гетероквадрат.[4] И если п четно, гетероквадрат получается в результате записи чисел от 1 до п2 по порядку, потом поменять местами 1 и 2. Есть подозрение, что их ровно 3120 существенно разные гетероквадраты 3-го порядка.[5]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б В., Вайсштейн, Эрик. «Антимагический квадрат». mathworld.wolfram.com. Получено 2016-12-03.
  2. ^ а б c «Антимагические квадраты». www.magic-squares.net. Получено 2016-12-03.
  3. ^ Gray, I.D .; Макдугалл, Дж. (2006). "Редкие антимагические квадраты и вершинно-магические разметки двудольных графов". Дискретная математика. 306 (22): 2878–2892. Дои:10.1016 / j.disc.2006.04.032.
  4. ^ а б Вайсштейн, Эрик В. "Гетероквадрат". MathWorld.
  5. ^ Гетероквадраты Питера Барча на magic-squares.net


внешняя ссылка