WikiDer > Условие восходящей цепи на главных идеалах

Ascending chain condition on principal ideals

В абстрактная алгебра, то условие возрастающей цепи может применяться к позы главных левых, главных правых или главных двусторонних идеалов звенеть, частично заказано включение. В условие возрастающей цепи на главных идеалах (сокращенно ACCP) выполняется, если не существует бесконечной строго возрастающей цепочки главные идеалы данного типа (левая / правая / двусторонняя) в кольце, или, говоря иначе, каждая восходящая цепочка в конечном итоге постоянна.

Аналог состояние нисходящей цепочки могут также применяться к этим позициям, однако в настоящее время нет необходимости в терминологии «DCCP», поскольку такие кольца уже называются левыми или правыми идеальные кольца. (См. Раздел Некоммутативное кольцо ниже.)

Нётерские кольца (например. области главных идеалов) являются типичными примерами, но некоторые важные нётеровы кольца также удовлетворяют (ACCP), в частности уникальные домены факторизации и левые или правые совершенные кольца.

Коммутативные кольца

Хорошо известно, что ненулевая неединица в нётеровой области целостности разлагается на неприводимые. Доказательство этого опирается только на (ACCP), но не на (ACC), поэтому в любой области целостности с (ACCP) существует неприводимая факторизация. (Другими словами, любые области целостности с (ACCP) являются атомный. Но обратное неверно, как показано в (Грамм 1974).) Такая факторизация не может быть уникальной; обычный способ установления уникальности факторизации использует Лемма евклида, что требует, чтобы факторы были основной а не просто несводимый. Действительно, имеется следующая характеристика: пусть А - область целостности. Тогда следующие эквивалентны.

  1. А это УФО.
  2. А удовлетворяет (ACCP) и каждая неприводимая из А простое.
  3. А это GCD домен удовлетворительное (ACCP).

Так называемой Критерий Нагаты выполняется для области целостности А удовлетворяющий (ACCP): Пусть S быть мультипликативно замкнутое подмножество из А порожденные простыми элементами. Если локализация S−1А УрФО, так же А. (Нагата 1975, Лемма 2.1) (Заметим, что обратное утверждение тривиально.)

Область целостности А удовлетворяет (ACCP) тогда и только тогда, когда кольцо многочленов А[т] делает.[1] Аналогичный факт неверен, если А не является областью целостности. (Хайнцер и Ланц 1994)

An область целостности где каждый конечно порожденный идеал является главным (т. е. Безу домен) удовлетворяет (ACCP) тогда и только тогда, когда это главная идеальная область.[2]

Кольцо Z+ИксQ[Икс] всех рациональных многочленов с целым постоянным членом является примером области целостности (фактически, области НОД), которая не удовлетворяет (ACCP), для цепочки главных идеалов

не прекращается.

Некоммутативные кольца

В некоммутативном случае возникает необходимость различать правая ACCP из покинул ACCP. Первое требует лишь наличия идеалов в форме xR чтобы удовлетворить условию возрастающей цепи, и последнее только исследует чуство идеалов вида Rx.

Теорема о Хайман Басс в (Бас 1960), теперь известная как "Теорема Басса", показала, что состояние нисходящей цепочки на главном оставили идеалы кольца р эквивалентно р быть верно идеальное кольцо. Д. Иона показал в (Иона 1970) что существует соединение с переключением сторон между ACCP и совершенными кольцами. Было показано, что если р идеально справа (удовлетворяет правому DCCP), то р удовлетворяет левой ACCP, и симметрично, если р идеально слева (удовлетворяет левому DCCP), то он удовлетворяет правому ACCP. Обратное неверно, и указанные выше переключения между «левым» и «правым» не являются опечатками.

Держится ли ACCP на правой или левой стороне р, это означает, что р не имеет бесконечного множества ненулевых ортогональные идемпотенты, и это р это Конечное кольцо Дедекинда. (Лам 1999, стр. 230–231).

Рекомендации

  1. ^ Гилмер, Роберт (1986), "Собственность E в коммутативных кольцах моноидов », Групповые и полугрупповые кольца (Йоханнесбург, 1985), Северная Голландия Math. Stud., 126, Амстердам: Северная Голландия, стр. 13–18, МИСТЕР 0860048.
  2. ^ Доказательство: в области Безу ACCP эквивалентен ACC на конечно порожденные идеалы, но это, как известно, эквивалентно ACC на все идеалы. Таким образом, это область нетерова и Безу, следовательно, область главных идеалов.