WikiDer > Когерентная алгебра

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Когерентная алгебра» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Сентябрь 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

А когерентная алгебра является алгебра комплексных квадратных матриц, замкнутых относительно обычное матричное умножение, Schur продукт, транспозиция, и содержит как единичная матрица ${ displaystyle I}$ и матрица всех единиц ${ displaystyle J}$.^[1]

Определения

Подпространство ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ из ${ Displaystyle mathrm {Mat} _ {п раз п} ( mathbb {C})}$ называется когерентной алгеброй порядка ${ displaystyle n}$ если:

• ${ displaystyle I, J in { mathcal {A}}}$.
• ${ Displaystyle M ^ {T} in { mathcal {A}}}$ для всех ${ displaystyle M in { mathcal {A}}}$.
• ${ displaystyle MN in { mathcal {A}}}$ и ${ Displaystyle M circ N in { mathcal {A}}}$ для всех ${ displaystyle M, N in { mathcal {A}}}$.

Когерентная алгебра ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ считается:

• Однородный если каждая матрица в ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ имеет постоянную диагональ.
• Коммутативный если ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ коммутативна относительно обычного матричного умножения.
• Симметричный если каждая матрица в ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ симметрично.

Набор ${ Displaystyle Gamma ({ mathcal {A}})}$ из Примитивные матрицы Шура в когерентной алгебре ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ определяется как ${ displaystyle Gamma ({ mathcal {A}}): = {M in { mathcal {A}}: M circ M = M, M circ N in operatorname {span} {M } { text {для всех}} N in { mathcal {A}} }}$.

Двойственно набор ${ displaystyle Lambda ({ mathcal {A}})}$ из примитивные матрицы в когерентной алгебре ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ определяется как ${ displaystyle Lambda ({ mathcal {A}}): = {M in { mathcal {A}}: M ^ {2} = M, MN in operatorname {span} {M } { text {для всех}} N in { mathcal {A}} }}$.

Примеры

• В централизатор группы матриц перестановок является когерентной алгеброй, т. е. ${ displaystyle { mathcal {W}}}$ является когерентной алгеброй порядка ${ displaystyle n}$ если ${ displaystyle { mathcal {W}}: = {M in mathrm {Mat} _ {n times n} ( mathbb {C}): MP = PM { text {для всех}} P в S }}$ для группы ${ displaystyle S}$ из ${ Displaystyle п раз п}$ матрицы перестановок. Дополнительно централизатор группа матриц перестановок, представляющих группа автоморфизмов графа ${ displaystyle G}$ однородна тогда и только тогда, когда ${ displaystyle G}$ является вершинно-транзитивный.^[2]
• Оболочка множества матриц, связывающих пары элементов, лежащих на одной орбите диагонального действия конечной группы на конечном множестве, является когерентной алгеброй, т. Е. ${ displaystyle { mathcal {W}}: = operatorname {span} {A (u, v): u, v in V }}$ куда ${ Displaystyle А (и, v) in operatorname {Mat} _ {V times V} ( mathbb {C})}$ определяется как ${ displaystyle (A (u, v)) _ {x, y}: = { begin {case} 1 { text {if}} (x, y) = (u ^ {g}, v ^ { g}) { text {для некоторых}} g in G 0 { text {иначе}} end {case}}}$для всех ${ displaystyle u, v in V}$ конечного множества ${ displaystyle V}$ под действием конечной группы ${ displaystyle G}$.
• Пролет регулярное представительство конечной группы как группы матриц перестановок над ${ displaystyle mathbb {C}}$ является когерентной алгеброй.

Характеристики

• В пересечение набора когерентных алгебр порядка ${ displaystyle n}$ является когерентной алгеброй.
• В тензорное произведение когерентных алгебр является когерентной алгеброй, т.е. ${ displaystyle { mathcal {A}} otimes { mathcal {B}}: = {M otimes N: M in { mathcal {A}} { text {and}} N in { mathcal {B}} }}$ если ${ displaystyle { mathcal {A}} in operatorname {Mat} _ {m times m} ( mathbb {C})}$ и ${ Displaystyle { mathcal {B}} in mathrm {Mat} _ {п раз п} ( mathbb {C})}$ являются когерентными алгебрами.
• В симметризация ${ displaystyle { widehat { mathcal {A}}}: = operatorname {span} {M + M ^ {T}: M in { mathcal {A}} }}$ коммутативной когерентной алгебры ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ является когерентной алгеброй.
• Если ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ когерентная алгебра, то ${ Displaystyle M ^ {T} in Gamma ({ mathcal {A}})}$ для всех ${ displaystyle M in { mathcal {A}}}$, ${ displaystyle { mathcal {A}} = operatorname {span} left ( Gamma ({ mathcal {A}} right))}$, и ${ Displaystyle I in Gamma ({ mathcal {A}})}$ если ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ однородна.
• Вдвойне, если ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ является коммутативной когерентной алгеброй (порядка ${ displaystyle n}$), тогда ${ Displaystyle E ^ {T}, E ^ {*} in Lambda ({ mathcal {A}})}$ для всех ${ displaystyle E in { mathcal {A}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {n}} J in Lambda ({ mathcal {A}})}$, и ${ displaystyle { mathcal {A}} = operatorname {span} left ( Lambda ({ mathcal {A}} right))}$ также.
• Каждая симметрическая когерентная алгебра коммутативна, и каждая коммутативная когерентная алгебра однородна.
• Когерентная алгебра коммутативна тогда и только тогда, когда она является Алгебра Бозе – Меснера из (коммутативного) схема ассоциации.^[1]
• Когерентная алгебра образует кольцо главных идеалов под продуктом Schur; более того, коммутативная когерентная алгебра образует кольцо главных идеалов и при обычном матричном умножении.

Смотрите также

• Схема ассоциации
• Алгебра Бозе – Меснера

Рекомендации