WikiDer > Коэффициент демпфирования

Damping ratio
Недостаточно демпфированный пружинно-массовая система с ζ < 1

Демпфирование влияние внутри или на колебательная система который имеет эффект уменьшения, ограничения или предотвращения его колебаний. В физических системах демпфирование создается процессами, которые рассеивают энергию, запасенную в колебаниях.[1] Примеры включают вязкий тащить в механических системах, сопротивление в электронные генераторы, а поглощение и рассеяние света в оптические генераторы. Демпфирование, не основанное на потерях энергии, может быть важным в других колебательных системах, таких как те, которые возникают в биологические системы и велосипеды.[2]

В коэффициент демпфирования это безразмерный мера, описывающая, как колебания в системе распад после беспокойства. Многие системы демонстрируют колебательное поведение, когда их отвлекают от своего положения. статическое равновесие. Например, масса, подвешенная на пружине, может, если ее потянуть и отпустить, подпрыгнет вверх и вниз. При каждом отскоке система стремится вернуться в свое положение равновесия, но проскакивает его. Иногда потери (например, фрикционный) демпфируют систему и могут вызвать постепенное затухание амплитуды колебаний в сторону нуля или ослаблять. Коэффициент затухания - это мера, описывающая, насколько быстро колебания затухают от одного отскока к другому.

Коэффициент демпфирования - системный параметр, обозначаемый ζ (дзета), который может варьироваться от незатухающий (ζ = 0), недостаточно демпфированный (ζ < 1) через критически затухающий (ζ = 1) к чрезмерно демпфированный (ζ > 1).

Поведение колебательных систем часто представляет интерес в самых разных дисциплинах, включая техника управления, химическая инженерия, машиностроение, Строительная инженерия, и электротехника. Физическая величина, которая колеблется, сильно различается и может быть колебанием высокого здания на ветру или скоростью электрический двигатель, но нормализованный или безразмерный подход может быть удобен для описания общих аспектов поведения.

Колебательные случаи

В зависимости от степени демпфирования система демонстрирует различные колебательные режимы.

  • Там, где система пружина-масса полностью без потерь, масса будет колебаться бесконечно, причем каждый отскок будет иметь одинаковую высоту с последним. Этот гипотетический случай называется незатухающий.
  • Если система содержит большие потери, например, если эксперимент с пружиной и массой проводился в вязкий жидкости, масса могла медленно возвращаться в исходное положение, даже не превышая ее. Этот случай называется чрезмерно демпфированный.
  • Обычно масса имеет тенденцию выходить за пределы своего исходного положения, а затем возвращаться, снова превышая ее. При каждом выбросе некоторая энергия в системе рассеивается, и колебания затухают до нуля. Этот случай называется недостаточно демпфированный.
  • Между случаями с избыточным и недостаточным демпфированием существует определенный уровень демпфирования, при котором система просто не сможет перескочить и не совершит ни одного колебания. Этот случай называется критическое демпфирование. Ключевое различие между критическим демпфированием и избыточным демпфированием заключается в том, что при критическом демпфировании система возвращается в состояние равновесия за минимальное время.

Определение

Влияние изменения коэффициента демпфирования на систему второго порядка.

В коэффициент демпфирования - параметр, обычно обозначаемый ζ (дзета),[3] что характеризует частотный отклик из обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Это особенно важно при изучении теория управления. Это также важно в гармонический осциллятор.

Коэффициент демпфирования представляет собой математическое средство выражения уровня демпфирования в системе относительно критического демпфирования. Для затухающего гармонического осциллятора с массой м, коэффициент демпфирования c, и постоянная пружины k, его можно определить как отношение коэффициента демпфирования в дифференциальном уравнении системы к критическому коэффициенту демпфирования:

где уравнение движения системы

а соответствующий критический коэффициент демпфирования равен

или же

куда

это собственная частота системы.

Коэффициент демпфирования безразмерен и представляет собой отношение двух коэффициентов одинаковых единиц.

Вывод

Используя собственную частоту гармонический осциллятор и определение коэффициента демпфирования выше, мы можем переписать это как:

Это уравнение можно решить с помощью подхода.

куда C и s оба сложный константы, с s удовлетворение

Два таких решения для двух значений s удовлетворяющие уравнению, могут быть объединены для получения общих реальных решений с колебательными и затухающими свойствами в нескольких режимах:

Незатухающий
Случай, когда соответствует незатухающему простому гармоническому осциллятору, и в этом случае решение имеет вид , как и ожидалось.
Недостаточно демпфированный
Если s представляет собой пару комплексных значений, тогда каждый член комплексного решения представляет собой убывающую экспоненту в сочетании с колеблющейся частью, которая выглядит как . Этот случай имеет место для , и называется недостаточно демпфированный.
Сверхдемпфированный
Если s - пара действительных значений, то решение представляет собой просто сумму двух убывающих экспонент без колебаний. Этот случай имеет место для , и называется чрезмерно демпфированный.
Критически затухающий
Случай, когда является границей между случаями сверхдемпфирования и недостаточного демпфирования, и называется критически затухающий. Это оказывается желательным результатом во многих случаях, когда требуется инженерная разработка демпфирующего генератора (например, механизма закрытия двери).

Добротность и скорость затухания

В Добротность, коэффициент демпфирования ζ, и экспоненциальная скорость затухания α связаны так, что[4]

Когда система второго порядка (то есть, когда система недостаточно демпфирована), она имеет два комплексно сопряженный полюса, каждый из которых имеет реальная часть из ; то есть параметр скорости распада представляет собой скорость экспоненциальный спад колебаний. Более низкий коэффициент демпфирования означает меньшую скорость затухания, и поэтому системы с очень слабым демпфированием колеблются в течение длительного времени.[5] Например, качественный камертон, который имеет очень низкий коэффициент демпфирования, имеет длительные колебания и очень медленно затухает после удара молотком.

Логарифмический декремент

Для недостаточно демпфированных колебаний коэффициент демпфирования также связан с логарифмический декремент через отношение

куда и - амплитуды колебаний на двух последовательных пиках затухающей вибрации.

Процент превышения

В теория управления, превышение относится к выходу, превышающему его конечное установившееся значение.[6] Для пошаговый ввод, то процентное превышение (PO) - максимальное значение минус значение шага, деленное на значение шага. В случае единичного шага превышение это просто максимальное значение шаговой характеристики минус один.

Процент превышения (PO) связана с коэффициентом демпфирования (ζ) к:

И наоборот, коэффициент демпфирования (ζ), что дает определенный процент перерегулирования (PO) дан кем-то:

Рекомендации

  1. ^ Стейдель (1971). Введение в механические колебания. Джон Вили и сыновья. п. 37. затухающий, который используется при изучении вибрации для обозначения рассеяния энергии
  2. ^ J. P. Meijaard; Дж. М. Пападопулос; А. Руина и А. Л. Шваб (2007). «Линеаризованные уравнения динамики для баланса и управляемости велосипеда: эталон и обзор». Труды Королевского общества А. 463 (2084): 1955–1982. Bibcode:2007RSPSA.463.1955M. Дои:10.1098 / rspa.2007.1857. S2CID 18309860. колебания наклона и поворота угасают, казалось бы, приглушенным образом. Однако система не имеет истинного демпфирования и сохраняет энергию. Энергия наклонных и управляемых колебаний передается на скорость движения, а не рассеивается.
  3. ^ Альсиатор, Дэвид Г. (2007). Введение в мехатронику и измерения (3-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-296305-2.
  4. ^ Уильям МакКи. Зиберт. Цепи, сигналы и системы. MIT Press.
  5. ^ Мин Рао и Хаймин Цю (1993). АСУ ТП: учебник для инженеров-химиков, механиков и электриков. CRC Press. п. 96. ISBN 978-2-88124-628-9.
  6. ^ Куо, Бенджамин С и Голнараги М. Ф. (2003). Системы автоматического управления (Восьмое изд.). Нью-Йорк: Уайли. п. §7.3 с. 236–237. ISBN 0-471-13476-7.