WikiDer > Метод Датара – Мэтьюза для оценки реальных опционов

В Метод Датара – Мэтьюза^[1] (Метод DM)^[2] это метод для оценка реальных опционов. Этот метод обеспечивает простой способ определить реальную стоимость опциона проекта, просто используя среднее значение положительных результатов проекта. Метод можно понимать как расширение чистая приведенная стоимость (NPV) мульти-сценарий Модель Монте-Карло с поправкой на предотвращение риска и принятие экономических решений. Метод использует информацию, которая естественным образом возникает в стандартном дисконтированный денежный поток (DCF), или ЧПС, финансовая оценка проекта. Он был создан в 2000 году Винаем Датаром, профессором Сиэтлский университет; и Скотт Х. Мэтьюз, Технический сотрудник в Компания Боинг.

Метод

Рис.1 Типичный денежный поток проекта с неопределенностью

Математическое уравнение для метода DM показано ниже. Метод фиксирует реальную стоимость опциона путем дисконтирования распределение из операционная прибыль в р, ставка рыночного риска и дисконтирование распределения дискреционных инвестиций на р, безрисковая ставка, перед рассчитывается ожидаемый выигрыш. Тогда стоимость опциона - это ожидаемое значение максимальной разницы между двумя дисконтированными распределениями или ноль.^[3][4] Рисунок 1.

${ Displaystyle C_ {0} = mathbf {E_ {0}} left [ max left ({ tilde {S}} _ {T} e ^ {- Rt} - { tilde {X}} _ {T} e ^ {- rt}, 0 right) right]}$

• ${ displaystyle { tilde {S}} _ {T}}$ это случайная переменная представляющие будущие выгоды или операционную прибыль в определенный момент Т. В текущая оценка из ${ displaystyle { tilde {S}} _ {T}}$ использует р, ставка дисконтирования, соответствующая уровню риска ${ displaystyle { tilde {S}} _ {T}}$. р это требуемая норма прибыли для участия в целевом рынке, иногда называемый барьерная ставка.
• ${ displaystyle { tilde {X}} _ {T}}$ случайная величина, представляющая цена исполнения. Текущая оценка ${ displaystyle { tilde {X}} _ {T}}$ использует р, ставка соответствует риску инвестирования ${ displaystyle { tilde {X}} _ {T}}$. Во многих обобщенных опционных приложениях используется безрисковая ставка дисконтирования. Однако могут быть рассмотрены и другие ставки дисконтирования, например ставка корпоративных облигаций, особенно когда заявка представляет собой внутренний проект разработки корпоративного продукта.
• ${ displaystyle C_ {0}}$ - реальная стоимость опциона для одноэтапного проекта. Стоимость опциона можно понимать как ожидаемое значение разницы двух распределений приведенной стоимости с экономически рациональным порогом, ограничивающим убытки с поправкой на риск. Это значение также может быть выражено как стохастическое распределение.

Дифференциальная ставка дисконтирования для р и р неявно позволяет методу DM учитывать основной риск.^[5] Если р > р, то вариант будет не склонный к риску, характерный как для финансовых, так и для реальных опционов. Если р < р, то вариант будет рискованным. Если р = р, то это называется нейтральный к риску вариант, и имеет параллели с анализом типа NPV с принятием решений, например деревья решений. Метод DM дает те же результаты, что и Блэк – Скоулз и биномиальная решетка опционные модели, при условии, что используются те же исходные данные и методы скидки. Следовательно, стоимость этого неторгуемого реального опциона зависит от восприятия оценщиком риска рыночного актива по сравнению с частным инвестиционным активом.

Метод DM выгоден для использования в приложениях с реальными опционами, потому что в отличие от некоторых других моделей опционов он не требует значения для сигма (мера неопределенности) или для S₀ (ценность проекта сегодня), оба из которых трудно вывести для проектов разработки новых продуктов; видеть дальше под оценка реальных опционов. Наконец, метод DM использует реальные значения любой тип распространения, избегая требования перехода к значениям, нейтральным к риску, и ограничения логнормальное распределение;^[6] видеть дальше под Методы Монте-Карло для ценообразования опционов.

Были разработаны расширения этого метода для других оценок реальных опционов, такие как контрактная гарантия (пут-опцион), многоэтапный (составной вариант), Early Launch (американский вариант) и другие.

Выполнение

Рис. 2A Распределение чистой прибыли по текущей стоимости

Рис. 2B Распределение рациональных решений

Рис. 2C Распределение выплат и стоимость опциона

Метод DM может быть реализован с использованием Моделирование Монте-Карло,^[7] или в упрощенной, алгебраической или другой форме (см. параметр диапазона DM ниже).

Используя моделирование, для каждого образца движок извлекает случайную величину из обоих S_Т и Икс_Т, вычисляет их текущую стоимость и берет разницу.^[8][9] Рис. 2А. Значение разности сравнивается с нулем, определяется максимальное из двух и результирующее значение записывается механизмом моделирования. Здесь, отражая возможность выбора, присущую проекту, прогноз чистого отрицательного результата соответствует заброшенному проекту и имеет нулевое значение.^[10] Рис. 2В. Полученные значения создают распределение выплат, представляющее экономически рациональный набор правдоподобных, дисконтированных прогнозов стоимости проекта на определенный момент времени. Т₀.

Когда записаны достаточные значения выплат, обычно несколько сотен, вычисляется среднее или ожидаемое значение распределения выплат. Рис. 2С. Стоимость опциона - это ожидаемая стоимость, первый момент всех положительных значений NPV и нулей распределения выплат.^[11]

Простая интерпретация:

${ displaystyle { text {Реальное значение опциона}} = { text {среднее}} left [ max left ({ text {операционная прибыль}} - { text {затраты на запуск}} right), 0 )верно]}$

куда операционный доход и затраты на запуск являются соответствующим образом дисконтированным диапазоном денежных потоков во времени Т₀.^[12]

Интерпретация

При определенных ограничениях структура проблемы инвестиций в проект, структурированная для метода Датара – Мэтьюза, может быть преобразована в эквивалентную структуру, структурированную для Формула Блэка – Шоулза.^[13] Рис. 3, слева. В Блэк – Скоулз (так же хорошо как биномиальная решетка) модель ценообразования опционов ограничена логнормальным распределением стоимости актива, S, типично для торгуемых финансовых опционов и требует скалярного значения для обоих S₀ и Икс_Т, и сигма (σ₀), показатель волатильности актива S. Предположим, что существует проблема инвестирования в проект с прогнозируемым логнормальным распределением стоимости активов со средним ${ displaystyle { bar {S}} _ {T}}$ и стандартное отклонение σ_Т. Эквивалентные значения Блэка – Шоулза:

${ Displaystyle S_ {0} = { bar {S}} _ {T} e ^ {- RT} { text {и}} sigma _ {0} = { frac { sqrt { ln left (1+ left ({ frac { sigma _ {T}} {S_ {T}}} right) ^ {2} right)}} { sqrt {T}}}.}$

Условия N(d₁) и N(d₂) применяются при вычислении формулы Блэка – Шоулза, и являются выражениями, относящимися к операциям с логнормальным распределением;^[14] см. раздел "Интерпретация" под Блэк – Скоулз. Метод Датара – Мэтьюза не использует N(d₁) или же N(d₂), но вместо этого обычно решает проблему опционов с помощью моделирования Монте-Карло, применимого ко многим различным типам распределений, присущих контекстам реальных опционов. Когда метод Датара – Мэтьюса применяется к активам с логнормальным распределением, становится возможным графически визуализировать работу N(d₁) и N(d₂).

Рис. 3. Слева: Сравнение структур Блэка-Шоулза и Датара-Мэтьюса. Справа: деталь хвоста распределения в точке T₀.

N(d₂) - мера площади хвост распределения относительно всего распределения, например вероятность хвоста распределения во время Т₀. Хвост распределения обозначен Икс₀ = Икс_Те ^− rT, приведенная стоимость страйк-цены. Рис. 3, справа. Истинная вероятность истечения срока в деньгах в реальном («физическом») мире рассчитывается во времени. Т, дата запуска, измеренная по площади хвоста распределения, обозначенной Икс_Т. N(d₁) - величина выплаты по опциону относительно стоимости актива; N(d₁) = [MT × N(d₂)]/S₀, куда MT среднее значение хвоста во времени Т₀. Используя метод DM, стоимость опциона колл можно понимать как C₀ = (MT − Икс₀) × N(d₂).

Вариант DM

Алгебраическая форма (логнормальная)

Метод DM можно расширить до алгебраической формы, создав обобщенную форму для варианта DM. У алгебраической формы и дополнительных упрощений есть несколько преимуществ по сравнению с моделированным подходом, а именно:

• Явно решает значение параметра
• Делает прозрачной внутреннюю работу технологии ценообразования опционов
• Применимо ко многим типам распределения (логнормальное, треугольное, равномерное, бета)^[15]

Рис.4 Понятие условного распределения вероятностей и среднего хвоста

Алгебраическая форма DM Option, независимо от того, моделируется ли она с использованием логнормального, треугольного или другого распределения, по сути является простой концепцией и основана на тех же процедурах вычисления. Это условное ожидание прогнозируемого будущего распределения стоимости результатов, ${ displaystyle { tilde {S}} _ {T}}$, за вычетом заранее определенной стоимости покупки (цена исполнения или цена запуска), ${ displaystyle { tilde {X}} _ {T}}$, умноженное на вероятность этого распределения. Условное ожидание - это ожидаемое значение усеченное распределение (среднее значение хвоста), MT, вычисленное относительно его условное распределение вероятностей^[16] (Рис.4).

Рис. 5 Дисконтирование, дифференцированное по времени, кажется, смещается Икс относительно S

Оценка финансовых опционов (например, Блэк-Скоулз) основан на логарифмически нормальном распределении, прогнозируемом от исторической доходности активов до настоящего времени. Т₀ и используя логнормальное распределение, смоделированное волатильность (финансы) фактор. Логнормальное распределение является близким приближением к распределению доходности торгуемых финансовых активов. Напротив, реальная оценка опционов основана на прогнозировании будущей стоимости проекта на определенный момент времени. Т_Т, которые могут быть или не могут быть распределены логнормально. Для сравнения, в следующем примере реального варианта используется логнормальное распределение, смоделированное с использованием стандартного отклонения, SD, вместо фактора волатильности Блэка-Шоулза.

Процедура оценки оценивает инвестиции в проект (покупка опциона, C₀) в Т₀. Дисконтирование, дифференцированное по времени (р и р) приводит к очевидному сдвигу ${ displaystyle { tilde {X}}}$, или среднее ${ displaystyle { bar {X}}}$относительно распределения результатов, ${ displaystyle { tilde {S}}}$, или среднее ${ displaystyle { bar {S}}}$ (Рис. 5).^[17][18] Этот относительный сдвиг устанавливает условное ожидание усеченного распределения при Т₀. Кроме того, стандартное отклонение, SD, распределения ${ displaystyle { tilde {S}}}$ пропорционально дисконтируется вместе с распределением.

${ displaystyle S_ {0} = { bar {S_ {T}}} e ^ {- RT} { text {,}} SD_ {0} = SD_ {T} e ^ {- RT} { text { и,}} {X_ {0}} = { bar {X_ {T}}} e ^ {- rT}.}$

Стандартное отклонение и среднее значение не логарифмированного SD и S значения связаны с логарифмической дисперсией и средним значением, ${ displaystyle sigma ^ {2} { text {и}} mu}$ соответственно, как:

${ displaystyle sigma ^ {2} = ln left [1+ left ({ tfrac {SD_ {0}} {S_ {0}}} right) ^ {2} right] { text { , и}} mu = ln left ({ tfrac {S_ {0} , ^ {2}} { sqrt {SD_ {0} , ^ {2} + S_ {0} , ^ { 2}}}} right) = ln S_ {0} -0,5 sigma ^ {2}.}$

Условное ожидание результата дисконтированной стоимости: ${ displaystyle MT}$:

${ displaystyle S_ {0} left [{ tfrac {N left ({ tfrac { sigma ^ {2} + mu - ln X_ {0}} { sigma}} right)} {N left ({ tfrac { mu - ln X_ {0}} { sigma}} right)}} right] { text {where}} N ( cdot)}$ это кумулятивная функция распределения из стандартное нормальное распределение.

Вероятность того, что проект будет в деньгах и запущен («исполнен»), составляет ${ displaystyle N left ({ tfrac { mu - ln X_ {0}} { sigma}} right).}$

Стоимость инвестиций (опциона) в проект составляет:

${ Displaystyle C_ {0} = left {S_ {0} left [{ tfrac {N left ({ tfrac { sigma ^ {2} + mu - ln X_ {0}} { sigma}} right)} {N left ({ tfrac { mu - ln X_ {0}} { sigma}} right)}} right] -X_ {0} right } N left ({ tfrac { mu - ln X_ {0}} { sigma}} right).}$

Хотя по форме он похож на формулу стоимости опциона Блэка-Шоулза, опцион DM в алгебраической форме использует переменные, которые дополняют структуру оценки проекта. Подставляя коэффициент волатильности на стандартное отклонение (в частности, ${ displaystyle sigma { sqrt {T}}}$), можно показать, что две формулы эквивалентны.

Шаблоны данных

Сложная логнормальная математика может быть обременительной и непрозрачной для некоторых бизнес-практик внутри корпорации. Однако несколько упрощений могут облегчить это бремя и обеспечить ясность без ущерба для обоснованности расчета опционов. Одним из упрощений является использование стандартное нормальное распределение, также известное как Z-распределение, которое имеет среднее значение 0 и стандартное отклонение 1. Обычной практикой является преобразование нормального распределения в стандартное нормальное, а затем использование стандартный нормальный стол чтобы найти значение вероятностей.

Определите как стандартную нормальную переменную: ${ displaystyle Z = { tfrac { left ( ln X_ {0} - mu right)} { sigma}}.}$

Условное ожидание результата дисконтированной стоимости:

${ Displaystyle S_ {0} left [{ tfrac {N left ( sigma -Z right)} {N left (-Z right)}} right].}$

Тогда вероятность того, что проект будет в деньгах и запущен («исполнен»): ${ displaystyle N left (-Z right).}$

Значение параметра упрощается до:

${ Displaystyle C_ {0} = left {S_ {0} left [{ tfrac {N left ( sigma -Z right)} {N left (-Z right)}} right] -X_ {0} right } N left (-Z right) = S_ {0} N left ( sigma -Z right) -X_ {0} N left (-Z right).}$

Компании, собирающие исторические данные, могут использовать схожесть предположений в связанных проектах, облегчая расчет значений опционов. Одним из результирующих упрощений является Коэффициент неопределенности, ${ Displaystyle textstyle UR = (SD / S)}$, который часто можно смоделировать как константу для аналогичных проектов. UR - это степень уверенности, с которой можно оценить прогнозируемые будущие денежные потоки. UR инвариант времени ${ displaystyle textstyle left ({ tfrac {SD_ {T}} {S_ {T}}} = { tfrac {SD_ {0}} {S_ {0}}} right)}$ со значениями обычно от 0,35 до 1,0 для многих многолетних бизнес-проектов.

Рис.6 Значение опции (C₀) против S₀/ИКС₀ - постоянная UR

Применяя это наблюдение как константу, K, к приведенным выше формулам приводит к более простой формулировке:

${ displaystyle { text {Define}} K = sigma = { sqrt { left [ ln (1 + UR ^ {2}) right]}} { text {, и}} mu = ln S_ {0} -0,5 mu ^ {2} = ln S_ {0} -0,5K ^ {2}.}$

${ Displaystyle Z = { frac {( ln X_ {0} - mu)} { sigma}} = { tfrac { ln left ({ tfrac {X_ {0}} {S_ {0}) }} right)} {K}} + 0,5 КБ { text {, and}} - Z = { tfrac { ln left ({ tfrac {S_ {0}} {X_ {0}}} справа)} {K}} - 0,5 КБ.}$

Результирующую стоимость реального опциона можно просто вывести на портативном калькуляторе после определения K:

${ Displaystyle C_ {0} = S_ {0} N left ( sigma -Z right) -X_ {0} N left (-Z right) = S_ {0} N left (KZ right) -X_ {0} N left (-Z right).}$

Если предположить UR остается постоянной, тогда относительная стоимость опциона определяется соотношением ${ Displaystyle S_ {0} { text {и}} X_ {0}}$, что пропорционально вероятности того, что проект будет в деньгах и запущен (исполнен). потом ${ displaystyle textstyle C_ {0} приблизительно S_ {0} x left [0,3 x (S_ {0} / X_ {0}) - k] right.}$ (Рис. 6) Компаниям необходимо применять свои собственные данные в аналогичных проектах, чтобы установить соответствующие значения параметров.

В качестве дополнительной проверки при оценке операционной прибыли (${ displaystyle { tilde {S}} _ {0}}$) с неопределенностью, пример ${ displaystyle textstyle UR = .6}$ приводит к диапазону значений:

${ displaystyle { text {95}} \% { text {доверительный диапазон}} приблизительно e ^ { left ( mu mp 2 sigma right)} подразумевает { text {приблизительный диапазон}} примерно в 0,3 раза S_ {0} longleftrightarrow примерно в 2,5 раза в S_ {0}}$

Диапазон значений примерно на порядок может показаться большим, даже чрезмерным. Однако бизнес-модель реальных опционов чаще всего применяется к многолетним проектам на ранней стадии, которые включают в себя большие неопределенности, что, следовательно, отражается в широком диапазоне оценочных значений, представляющих сценарии от худшего к лучшему.

Вариант диапазона DM - (треугольный)

Учитывая сложность оценки среднего логнормального распределения и стандартного отклонения будущих доходов, вместо реальных вариантов, используемых при принятии бизнес-решений, чаще применяются другие распределения. В отобранный распределения может принимать любую форму, хотя треугольное распределение часто используется, что типично для ситуаций с низким объемом данных, за которым следует равномерное распределение (непрерывное) или бета-распространение.^[19][20] Этот подход полезен для ранней оценки стоимости варианта проекта, когда не было достаточно времени или ресурсов для сбора необходимой количественной информации, необходимой для полного моделирования денежного потока, или в портфеле проектов, когда моделирование всех проектов слишком вычислительно требовательный.^[21] Независимо от выбранного распределения, процедура оценки реальных опционов остается неизменной.

Рис.7 Треугольное условное распределение вероятностей

Быстрая оценка условной стоимости инновационного проекта

При наиболее вероятном операционном денежном потоке от PV в размере 8,5 млн долларов, но трехлетних капитальных затратах примерно в 20 млн долларов чистая приведенная стоимость важного инновационного проекта была крайне отрицательной, и менеджер рассматривает возможность отказа от него. Аналитика корпоративных продаж оценила с вероятностью 95% (двусторонний шанс 1 из 10), что выручка может составить от 4 до 34 млн долларов. (Рис. 8) Из-за большого потенциального потенциала роста менеджер считает, что небольшие первоначальные инвестиции могут разрешить недостатки проекта и выявить его потенциальную ценность.[22] Рис. 8 Вариант DM Range с треугольным распределением. (Справочная информация: сопоставимое логнормальное распределение.) Используя опцию DM Range в качестве ориентира, менеджер рассчитал ожидаемую условную стоимость проекта в размере около 25 миллионов долларов [≈ (2 * 20 миллионов долларов + 34 миллиона долларов) / 3]. Кроме того, существует вероятность того, что каждый четвертый {25% ≈ (34–20 млн долларов)2 / [(34–4 млн долларов) (34–8,5 млн долларов)]}, что доходы от проекта превысят 20 млн долларов. При этих расчетах менеджер оценивает стоимость варианта инновационного проекта в 1,25 млн долларов [= (25–20 млн долларов) * 25%]. Используя это значение, менеджер оправдывает первоначальные инвестиции (около 6% от капитальных затрат) в проект, достаточные для устранения некоторых ключевых неопределенностей. От проекта всегда можно отказаться, если промежуточные результаты разработки не будут соответствовать, но инвестиционные потери будут минимизированы. (Позже, используя шаблоны корпоративных исторических данных, аналитик преобразовал значения из трехточечной оценки в расчет опциона DM и продемонстрировал, что результат будет отличаться менее чем на 10%.)

Для треугольного распределения, иногда называемого трехбалльная оценка, значение режима соответствует «наиболее вероятному» сценарию, а два других сценария, «пессимистический» и «оптимистичный», представляют собой вероятные отклонения от наиболее вероятного сценария (часто моделируемого как приближение двустороннего 1-выходного сценария). вероятность из 10 или 95% достоверности).^{[23][24][25][26]} Результатом этого диапазона оценок является одноименное название опции - DM Range Option.^[27] Метод DM Range Option аналогичен методу нечеткий метод для реальных опционов. В следующем примере (рис.7) используется диапазон будущей расчетной операционной прибыли в размере а (пессимистично), б (оптимистично) и м (режим или скорее всего).

За ${ displaystyle T_ {0}}$ скидка а, б и м к ${ displaystyle e ^ {- RT} { text {and}} X_ {0} = X_ {T} e ^ {- rT}.}$

Классический метод DM предполагает, что страйк-цена представлена ​​случайной величиной (распределение ${ displaystyle { tilde {X}} _ {0}}$) с вариантом решения, полученным симуляция. В качестве альтернативы, без нагрузки на выполнение моделирования, применение среднего или среднего скалярного значения распределения стоимости запуска ${ displaystyle { bar {X}} _ {0}}$ (цена исполнения) приводит к консервативной оценке стоимости опциона диапазона DM. Если стоимость запуска заранее определена как скалярное значение, то расчет значения параметра диапазона DM является точным.

Ожидаемое значение усеченного треугольного распределения (среднее значение правого хвоста) равно ${ displaystyle MT = { tfrac { left (2X_ {0} + b right)} {3}}.}$

Вероятность того, что проект будет в деньгах и запущен, - это пропорциональная область усеченного распределения относительно полного треугольного распределения. Это частичное ожидание вычисляется кумулятивная функция распределения (CDF) с учетом распределения вероятностей будет найдено при значении, превышающем или равном Икс:

${ Displaystyle P (X_ {0} | X_ {0} geq x) = { frac { left (b-X_ {0} right) ^ {2}} { left [ left (ba right ) left (bm right) right]}}.}$

Стоимость DM Range Option, или инвестиции в проект, составляет:

${ displaystyle C_ {0} = left (MT-X_ {0} right) cdot P left (X_ {0} vert X_ {0} geq x right) = left (MT-X_ { 0} right) cdot left {{ frac { left (b-X_ {0} right) ^ {2}} { left [ left (ba right) left (bm right) верно-верно}.}$

Значения треугольного распределения можно оценить до значений логарифмического распределения, используя диапазон в пределах ${ displaystyle mp 2}$ Стандартные отклонения его среднего значения (достоверность ≈95%) следующим образом:

${ displaystyle a = e ^ { mu -2 sigma} { text {,}} b = e ^ { mu +2 sigma} { text {, и}} m = e ^ { mu - sigma ^ {2}}.}$

${ displaystyle { text {Примечание (с использованием среднего геометрического):}} mu = 0,5 * ln (a + b) { text {,}} sigma = 0,25 * ln (b / a) { text {, и}} UR = { sqrt {e ^ { sigma ^ {2}} - 1}}.}$

Использование опциона DM Range упрощает применение оценки реальных опционов к будущим инвестициям в проекты. Вариант DM Range обеспечивает оценку стоимости, которая незначительно отличается от оценки в форме алгебраического логнормального распределения DM Option. Однако прогнозируемая будущая ценность результата, S, проекта редко основывается на логарифмически нормальном распределении, полученном из исторических доходов активов, как и финансовый вариант. Скорее, результат будущей ценности, S, (а также цена исполнения, Икс, и стандартное отклонение, SD), более чем вероятно, является трехбалльной оценкой, основанной на технических и маркетинговых параметрах. Поэтому простота применения опции DM Range часто оправдывается ее целесообразность и достаточно для оценки условной стоимости будущего проекта.

Сравнение с другими методами

В статье 2016 г. Достижения в области принятия решений журнал, исследователи из Технологический университет Лаппеенранты Школа бизнеса и менеджмента сравнила метод DM с нечеткий метод выплаты при оценке реальных опционов была создана в 2009 году и отметила, что, хотя результаты оценки были аналогичными, модель с нечеткой выплатой была более надежной в некоторых условиях.^[28] В некоторых сравнительных случаях метод Датара-Мэтьюса имеет значительное преимущество в том, что его легче использовать, и он связывает оценку NPV и анализ сценариев с методом моделирования Монте-Карло, что значительно улучшает интуицию в использовании методов реальных опционов при принятии управленческих решений и объясняет третьим лицам. стороны.^[29] Благодаря интерфейсу моделирования метод Датара-Мэтьюса легко учитывает несколько и иногда коррелированных сценариев денежных потоков, включая динамическое программирование, типичное для сложных проектов, таких как аэрокосмическая промышленность, которые трудно моделировать с использованием нечетких наборов.^[30]

Рекомендации