WikiDer > Поверхность дель Пеццо

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Август 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, а поверхность дель Пеццо или же Поверхность Фано это двумерный Сорт Фано, другими словами, неособая проективная алгебраическая поверхность с обильный антиканонический класс делителей. Они в некотором смысле противоположны поверхности общего типа, которые имеют достаточный канонический класс.

Они названы в честь Паскуале дель Пеццо который изучал поверхности с более ограничительным условием, что они имеют очень обширный класс антиканонических дивизоров, или, на его языке, поверхности со степенью п встраивание в п-мерное проективное пространство (дель Пеццо 1887), которые являются поверхностями дель Пеццо степени не меньше 3.

Классификация

А поверхность дель Пеццо - полная неособая поверхность с обильным антиканоническим расслоением. Иногда используются некоторые вариации этого определения. Иногда поверхности дель Пеццо могут иметь особенности. Первоначально предполагалось, что они вложены в проективное пространство с помощью антиканонического вложения, которое ограничивает степень как минимум 3.

В степень d поверхности дель Пеццо Икс по определению номер самопересечения (K, K) своего канонического класса K.

Любая кривая на поверхности дель Пеццо имеет число самопересечения не менее −1. Число кривых с числом самопересечения −1 конечно и зависит только от степени (если степень не равна 8).

(−1) -кривая - это рациональная кривая с числом самопересечения −1. За d> 2, образ такой кривой в проективном пространстве при антиканоническом вложении - прямая.

В продувка любой (−1) -кривой на поверхности дель Пеццо является поверхностью дель Пеццо еще степени 1. В Взрывать любой точки на поверхности дель Пеццо является поверхностью дель Пеццо степени 1 меньше, при условии, что точка не лежит на (−1) -кривой и степень больше 2. Когда степень равна 2, мы должны добавить условие, что точка не фиксируется инволюцией Гейзера, связанной с антиканоническим морфизмом.

Дель Пеццо доказал, что поверхность дель Пеццо имеет степень d не более 9. Над алгебраически замкнутым полем каждая поверхность дель Пеццо является произведением двух проективных прямых (с d= 8) или раздутие проективной плоскости в 9 - d точки без трех коллинеарных, без шести на конический, и нет восьми из них на кубе, имеющем узел на одном из них. Наоборот, любое раздутие плоскости в точках, удовлетворяющих этим условиям, является поверхностью дель Пеццо.

Группа Пикара поверхности дель Пеццо степени d это странно унимодулярная решетка я_1,9−d, за исключением случая, когда поверхность является произведением двух линий, когда группа Пикара является четной унимодулярной решеткой II_1,1Если это нечетная решетка, каноническим элементом является (3, 1, 1, 1, ....), а исключительные кривые представлены перестановками всех, кроме первой координаты, следующих векторов:

• (0, −1, 0, 0, ....) исключительные кривые раздутых точек,
• (1, 1, 1, 0, 0, ...) прямые через 2 точки,
• (2, 1, 1, 1, 1, 1, 0, ...) коники через 5 точек,
• (3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, ...) кубики через 7 точек с двойной точкой на одной из них,
• (4, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1) четверти через 8 баллов с двойными баллами в трех из них,
• (5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1) квинтики через 8 баллов с двойными баллами во всех, кроме двух из них,
• (6, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2) секстики через 8 точек с двойными точками, за исключением одной точки с кратностью три.

Примеры

Степень 1: у них есть 240 (−1) -кривых, соответствующих корням E₈ корневая система. Они образуют 8-мерную семью. Антиканонический делитель не очень обширен. Линейная система | −2K| определяет отображение степени 2 из поверхности дель Пеццо в квадратичный конус в п³, разветвленная над неособой кривой рода 4, вырезанной кубической поверхностью.

Степень 2: у них есть 56 (−1) -кривых, соответствующих мизерным векторам двойственного E₇ решетка. Они образуют 6-мерную семью. Антиканонический дивизор не очень обилен, и его линейная система определяет отображение поверхности дель Пеццо на проективную плоскость, разветвленную над плоская кривая четвертой степени. Это отображение обычно 2 к 1, поэтому эту поверхность иногда называют двойной плоскостью дель Пеццо. 56 линий карты поверхности дель Пеццо попарно к 28 битангенс квартики.

Степень 3: это по сути кубические поверхности в п³; кубическая поверхность - это образ антиканонического вложения. У них есть 27 (−1) -кривых, соответствующих мизерным векторам одного смежного класса в двойственном классе E₆ решетка, которая отображается на 27 линий кубической поверхности. Они образуют 4-х мерную семью.

Степень 4: это по сути Segre поверхности в п⁴, заданный пересечением двух квадрик. У них 16 (−1) -кривых. Они образуют двумерную семью.

Степень 5: у них есть 10 (−1) -кривых, соответствующих минимальным векторам одного смежного класса в двойственном А₄ решетка. С точностью до изоморфизма существует только одна такая поверхность, заданная раздутием проективной плоскости в 4 точках без трех на прямой.

Степень 6: у них есть 6 (−1) -кривых. С точностью до изоморфизма существует только одна такая поверхность, заданная раздутием проективной плоскости в 3 точках, а не на прямой. Корневая система А₂ × А₁

Степень 7: у них есть 3 (−1) -кривые. С точностью до изоморфизма существует только одна такая поверхность, заданная раздутием проективной плоскости в 2 различных точках.

Степень 8: у них есть 2 типа изоморфизма. Один - это Поверхность Хирцебруха заданный раздутием проективной плоскости в одной точке, имеющей 1 (−1) -кривую. Другая - произведение двух проективных прямых, это единственная поверхность дель Пеццо, которую нельзя получить, начав с проективной плоскости и взорвав точки. Его группа Пикара - это четная двумерная унимодулярная неопределенная решетка II_1,1, и он не содержит (−1) -кривых.

Степень 9: Единственная поверхность дель Пеццо степени 9 - это п². Его антиканоническое вложение - это степень 3 Веронезе вложение в п⁹ используя линейную систему кубиков.

Слабые поверхности дель Пеццо

А слабая поверхность дель Пеццо - полная неособая поверхность с nef и большим антиканоническим расслоением.

Раздувание любой (−1) -кривой на слабой поверхности дель Пеццо является слабой поверхностью дель Пеццо еще степени 1. Раздутие любой точки на слабой поверхности дель Пеццо является слабой поверхностью дель Пеццо степени 1 меньше, при условии, что точка не лежит на −2-кривой и степень больше 1.

Любая кривая на слабой поверхности дель Пеццо имеет число самопересечения не менее −2. Количество кривых с числом самопересечения −2 не превосходит 9−d, а количество кривых с числом самопересечения −1 конечно.

Смотрите также

• Таинственная двойственность связывает геометрию поверхностей дель Пеццо и М-теория.
• Брусчатка

Рекомендации

• дель Пеццо, Паскуале (1885 г.), "Sulle superficie dell ordine n immerse negli spazi di n + 1 Dimensioni", Ренд. Della R. Acc. Delle Scienze Fis. E Мат. Ди Наполи
• дель Пеццо, Паскуале (1887), "Sulle superficie dell n^нет ordine immerse nello spazio di n Dimensions ", Ренд. del circolo matematico di Palermo, 1 (1): 241–271, Дои:10.1007 / BF03020097
• Долгачев, Игорь (2012), Классическая алгебраическая геометрия. Современный взгляд, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-1-107-01765-8, МИСТЕР 2964027
• Коллар, Янош; Смит, Карен Э .; Корти, Алессио (2004), Рациональные и почти рациональные разновидности, Кембриджские исследования в области высшей математики, 92, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-83207-6, МИСТЕР 2062787
• Манин Юрий Иванович (1986), Кубические формы, Математическая библиотека Северной Голландии, 4 (2-е изд.), Амстердам: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-87823-6, МИСТЕР 0833513
• Нагата, Масаёши (1960), «О рациональных поверхностях. I. Неприводимые кривые арифметического рода 0 или 1», Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. Математика., 32: 351–370, МИСТЕР 0126443
• Семпл, Дж. Г .; Рот, Л. (1985), Введение в алгебраическую геометрию, Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, МИСТЕР 0814690