WikiDer > Пространство Эйленберга – Маклейна

Eilenberg–MacLane space

В математика, и алгебраическая топология в частности, Пространство Эйленберга – Маклейна^{[примечание 1]} это топологическое пространство с одним нетривиальным гомотопическая группа. По сути, пространство Эйленберга – Маклейна представляет собой особый вид топологическое пространство это можно рассматривать как строительный блок для теория гомотопии; общие топологические пространства могут быть построены из них с помощью Система Постникова. Эти пространства важны во многих контекстах в алгебраическая топология, в том числе построение пространств, вычисление гомотопические группы сфер и определение когомологические операции. Имя для Сэмюэл Эйленберг и Saunders Mac Lane, который ввел такие пространства в конце 1940-х гг.

Позволять грамм быть группой и п положительное целое число. Связное топологическое пространство Икс называется пространством Эйленберга – Маклейна типа ${ Displaystyle К (G, п)}$ , если есть п-го гомотопическая группа ${ Displaystyle pi _ {п} (Х)}$ изоморфен грамм а все остальные гомотопические группы тривиальны. Если ${ displaystyle n> 1}$ тогда грамм должно быть абелевым. Такое пространство существует, это CW-комплекс, и уникальна с точностью до слабая гомотопическая эквивалентность. Из-за злоупотребления языком любое такое пространство часто называют просто ${ Displaystyle К (G, п)}$ .

Обобщенное пространство Эйленберга – Маклейна - это пространство, которое имеет гомотопический тип произведения пространств Эйленберга – Маклейна. ${ Displaystyle prod _ {п} К (G_ {п}, п)}$ .

Примеры

В единичный круг ${ Displaystyle S ^ {1}}$ это ${ Displaystyle К ( mathbb {Z}, 1)}$ .
Бесконечномерный сложное проективное пространство ${ Displaystyle mathbb {CP} ^ { infty}}$ это модель ${ Displaystyle К ( mathbb {Z}, 2)}$ . Его кольцо когомологий является ${ Displaystyle mathbb {Z} [х]}$ , а именно свободное кольцо многочленов на одном двумерном образующем ${ displaystyle x}$ в степени 2. Генератор можно представить в когомологии де Рама посредством Фубини – Этюд 2-форма. Применение ${ Displaystyle К ( mathbb {Z}, 2)}$ описывается как абстрактная чушь.
Бесконечномерный реальное проективное пространство ${ Displaystyle mathbb {RP} ^ { infty}}$ это ${ Displaystyle К ( mathbb {Z} / 2,1)}$ .
В сумма клина из k единичные круги ${ displaystyle textstyle bigvee _ {я = 1} ^ {k} S ^ {1}}$ это ${ Displaystyle К (F_ {k}, 1)}$ за ${ displaystyle F_ {k}}$ то свободная группа на k генераторы.
Дополнение к любому узлу в трехмерной сфере ${ Displaystyle S ^ {3}}$ относится к типу ${ Displaystyle К (G, 1)}$ ; это называется "асферичность узлов », и является теоремой 1957 г. Христос Папакириакопулос.^[1]
Любой компактный, связанный, неположительно изогнутый многообразие M это ${ Displaystyle К ( Гамма, 1)}$ , куда ${ Displaystyle Gamma = pi _ {1} (М)}$ фундаментальная группа M.
Бесконечный пространство объектива дается частным ${ Displaystyle S ^ { infty} / ( mathbb {Z} / q) = L ( infty, q)}$ это ${ Displaystyle К ( mathbb {Z} / q, 1)}$ . Это можно показать, используя длинную точную последовательность на гомотопических группах для расслоения ${ Displaystyle mathbb {Z} / д к S ^ { infty} к L ( infty, q)}$ поскольку ${ Displaystyle pi _ {1} (S ^ { infty}) = 0}$ потому что бесконечная сфера стягиваемый.^[2] Обратите внимание, что это включает ${ Displaystyle mathbb {RP} ^ { infty}}$ как ${ Displaystyle К ( mathbb {Z} / 2,1)}$ .

Из них можно построить еще несколько элементарных примеров, используя тот факт, что продукт ${ Displaystyle К (Г, п) раз К (Ч, п)}$ является ${ Displaystyle К (G раз Н, п)}$ .

А ${ Displaystyle К (G, п)}$ можно построить поэтапно, как CW комплекс, начиная с клин из п-сферы, по одному на каждый генератор группы грамм, и добавление ячеек в (возможно, бесконечное количество) более высоких измерений, чтобы уничтожить всю лишнюю гомотопию. Соответствующий цепной комплекс задается Переписка Дольда – Кана.

Замечание о построении высших пространств Эйленберга-Маклейна

Существует несколько методов построения высших пространств Эйленберга-Маклейна. Один из них - построить Пространство Мура ${ Displaystyle М (А, п)}$ для абелевой группы ${ displaystyle A}$ и итеративно убивают высшие гомотопические группы ${ Displaystyle М (А, п)}$ поскольку нижние гомотопические группы ${ Displaystyle pi _ {я <п} = 0}$ все тривиально. Это следует из Теорема Гуревича.

Еще один полезный прием - сначала построить ${ Displaystyle К (G, 1)}$ для каждой группы ${ displaystyle G}$ используя симплициальные методы,^[3] а затем построить высшие пространства Эйленберга-Маклана, используя гомотопические кофеволокна. Обратите внимание, что для неабелевых ${ displaystyle G}$ ,

${ Displaystyle К (G, 2) simeq K (G / [G, G], 2)}$

поскольку все высшие гомотопические группы абелевы. Высшие группы могут быть построены с помощью ${ Displaystyle К (G, 1)}$ потому что мы можем рекурсивно использовать гомотопический кофайбер расслоение

${ Displaystyle К (G, п) к *}$

строить ${ Displaystyle К (G, п + 1)}$ , задающую последовательность расслоений

${ Displaystyle К (G, п) к * к К (G, п + 1)}$

которые можно использовать для изучения когомологий ${ Displaystyle К (G, п + 1)}$ из ${ Displaystyle К (G, п)}$ с использованием Спектральная последовательность Лере. Это было использовано Жан-Пьер Серр пока он изучал гомотопические группы сфер с помощью Система Постникова и спектральные последовательности.

Еще один прием - использовать геометрическую реализацию симплициальные абелевы группы.^[4] Это дает явное представление симплициальных абелевых групп, которые представляют пространства Эйленберга-Маклейна. Другая симплициальная конструкция в терминах классификация пространств и универсальные пакеты, приводится в Дж. Питер Мэйкнига.^[5]

Свойства пространств Эйленберга – Маклейна

Биекция между гомотопическими классами отображений и когомологий

Важное свойство ${ Displaystyle К (G, п)}$ такова, что для любой абелевой группы грамм, и любой CW-комплекс Икс, набор

${ Displaystyle [Х, К (G, п)]}$

гомотопических классов отображений из Икс к ${ Displaystyle К (G, п)}$ находится в естественной биекции с п-го особые когомологии группа

${ Displaystyle Н ^ {п} (Х; G)}$

пространства Икс. Так говорят, что ${ Displaystyle [Х, К (G, п)]}$ находятся представляющие пространства для когомологий с коэффициентами в грамм. С

${ displaystyle H ^ {n} (К (G, n); G) = operatorname {Hom} (H_ {n} (K (G, n); mathbb {Z}), G) = operatorname { Hom} ( pi _ {n} (K (G, n)), G) = operatorname {Hom} (G, G),}$

есть выдающийся элемент ${ Displaystyle и в Н ^ {п} (К (G, п); G)}$ соответствующий тождеству. Вышеупомянутая биекция дается откатом этого элемента - ${ displaystyle f mapsto f ^ {*} u}$ . Это похоже на Лемма Йонеды из теория категорий.

Другая версия этого результата, предложенная Питером Дж. Хубером, устанавливает биекцию с п-го Группа когомологий Чеха когда Икс является Хаусдорф и паракомпакт и грамм счетно, или когда Икс Хаусдорф, паракомпактный и компактно генерируемый и грамм произвольно. Еще один результат Киити Морита устанавливает взаимное соответствие с п-го числовая группа когомологий Чеха для произвольного топологического пространства Икс и грамм произвольная абелева группа.

Пространства петель

В пространство петли пространства Эйленберга – Маклейна также является пространством Эйленберга – Маклейна: ${ Displaystyle Омега К (Г, п) = К (Г, п-1)}$ . Из этого свойства следует, что пространства Эйленберга – Маклейна с различными п для мужчин омега-спектр, называемый спектром Эйленберга – Маклейна. Этот спектр соответствует стандартной теории гомологий и когомологий.

Функциональность

Это следует из теорема об универсальном коэффициенте для когомологий пространство Эйленберга-Маклейна является квази-функтор группы; то есть для каждого положительного целого числа ${ displaystyle n}$ если ${ displaystyle a двоеточие G to G '}$ - любой гомоморфизм абелевых групп, то существует непустое множество

{ Displaystyle К (а, п) = {[е]: е двоеточие К (г, п) к К (г ', п), Н_ {п} (е) = а },}

удовлетворение ${ Displaystyle К (a circ b, n) supset K (a, n) circ K (b, n) { text {и}} 1 in K (1, n),}$ куда ${ displaystyle [f]}$ обозначает гомотопический класс непрерывного отображения ${ displaystyle f}$ и ${ Displaystyle S circ T: = {s circ t: s in S, t in T }.}$

Связь с Постниковской башней

Каждый CW-комплекс обладает Постникова башня, т. е. гомотопически эквивалентно повторному расслоению, слои которого являются пространствами Эйленберга – Маклейна.

Когомологические операции

Группы когомологий пространств Эйленберга – Маклейна можно использовать для классификации всех когомологические операции.

Приложения

Описанная выше конструкция петлевого пространства используется в теория струн для получения, например, группа строк, то группа Fivebrane и так далее, как Башня Уайтхед возникающая из короткой точной последовательности

${ displaystyle 0 rightarrow K ( mathbb {Z}, 2) rightarrow operatorname {String} (n) rightarrow operatorname {Spin} (n) rightarrow 0}$

с ${ displaystyle { text {String}} (п)}$ то группа строк, и ${ displaystyle { text {Spin}} (п)}$ то вращательная группа. Актуальность ${ Displaystyle К ( mathbb {Z}, 2)}$ заключается в том, что существуют гомотопические эквивалентности

${ Displaystyle К ( mathbb {Z}, 1) simeq U (1) simeq B mathbb {Z}}$

для классификация пространства ${ displaystyle B mathbb {Z}}$ , и факт ${ Displaystyle К ( mathbb {Z}, 2) simeq BU (1)}$ . Обратите внимание: поскольку комплексная спиновая группа является расширением группы

${ displaystyle 0 к К ( mathbb {Z}, 1) к { text {Spin}} ^ { mathbb {C}} (n) to { text {Spin}} (n) to 0}$

группу String можно рассматривать как «высшее» расширение сложной спиновой группы в смысле теория высших групп поскольку пространство ${ Displaystyle К ( mathbb {Z}, 2)}$ является примером более высокой группы. Можно представить себе топологическую реализацию группоид ${ Displaystyle mathbf {B} U (1)}$ чей объект - единственная точка, а морфизмы - группа ${ Displaystyle U (1)}$ . Благодаря этим гомотопическим свойствам конструкция обобщает: любое заданное пространство ${ Displaystyle К ( mathbb {Z}, п)}$ может использоваться для запуска короткой точной последовательности, которая убивает гомотопическую группу ${ displaystyle pi _ {n + 1}}$ в топологическая группа.

Смотрите также

Теорема Брауна о представимости, относительно пространств представления
Пространство Мура, аналог гомологии.
Сфера гомологии

Примечания

^ Saunders Mac Lane первоначально написал свое имя «Маклейн» (без пробела) и соавтором статей, устанавливающих понятие пространств Эйленберга-Маклейна под этим именем. (См., Например, Г-Н 13312) В этом контексте принято писать имя без пробела.

^ (Папакириакопулос 1957 г.)
^ "общая топология - единичная сфера в $ mathbb {R} ^ infty $ стягиваема?". Обмен стеками математики. Получено 2020-09-01.
^ Инь, Си. «О пространствах Эйленберга-Маклейна» (PDF). В архиве (PDF) из оригинала от 21 августа 2018 г.
^ "gt.geometric topology - Явные конструкции K (G, 2)?". MathOverflow. Получено 2020-10-28.
^ Мэй, Дж. Питер. Краткий курс алгебраической топологии (PDF). Глава 16, раздел 5: Издательство Чикагского университета.CS1 maint: location (ссылка на сайт)

Navigation

Navigation

Themenportale

WikiDer > Пространство Эйленберга – Маклейна

Содержание

Примеры

Замечание о построении высших пространств Эйленберга-Маклейна

Свойства пространств Эйленберга – Маклейна

Биекция между гомотопическими классами отображений и когомологий

Пространства петель

Функциональность

Связь с Постниковской башней

Когомологические операции

Приложения

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

Основные статьи

Картанский семинар и приложения

Приложения

Другие энциклопедические ссылки