WikiDer > Коэффициенты Эйнштейна

Линии излучения и линии поглощения по сравнению с непрерывным спектром

Коэффициенты Эйнштейна являются математическими величинами, которые являются мерой вероятности поглощения или излучения света атомом или молекулой.^[1] Эйнштейн А коэффициенты связаны со скоростью спонтанное излучение света, и Эйнштейн B коэффициенты связаны с поглощение и стимулированное излучение света.

Спектральные линии

В физика, можно представить себе спектральную линию с двух точек зрения.

Линия излучения образуется, когда атом или молекула совершают переход из определенного дискретного уровень энергии E₂ атома на более низкий энергетический уровень E₁, излучающий фотон определенной энергии и длины волны. Спектр многих таких фотонов покажет выброс излучения на длине волны, связанной с этими фотонами.

Линия поглощения образуется при переходе атома или молекулы из нижнего E₁, в более высокое дискретное энергетическое состояние, E₂, при этом фотон поглощается. Эти поглощенные фотоны обычно происходят из фонового континуального излучения (полный спектр электромагнитного излучения), и спектр будет показывать спад непрерывного излучения на длине волны, связанной с поглощенными фотонами.

Два государства должны быть связанные состояния в котором электрон связан с атомом или молекулой, поэтому переход иногда называют переходом «связанный-связанный», в отличие от перехода, при котором электрон полностью выбрасывается из атома («связанный-свободный» переход) в континуум состояние, оставив ионизированный атома и генерирует непрерывное излучение.

А фотон с энергией, равной разности E₂ − E₁ между уровнями энергии высвобождается или поглощается в процессе. Частота ν на которой возникает спектральная линия, связана с энергией фотона соотношением Частотное условие Бора E₂ − E₁ = hν куда час обозначает Постоянная Планка.^{[2][3][4][5][6][7]}

Коэффициенты эмиссии и поглощения

Атомная спектральная линия относится к событиям излучения и поглощения в газе, в котором ${ displaystyle n_ {2}}$ - плотность атомов в верхнем энергетическом состоянии линии, а ${ displaystyle n_ {1}}$ - плотность атомов в низкоэнергетическом состоянии линии.

Излучение атомной линии излучения с частотой ν может быть описан коэффициент выбросов ${ displaystyle epsilon}$ в единицах энергии / (время × объем × телесный угол). ε dt dV dΩ тогда энергия, излучаемая элементом объема ${ displaystyle dV}$ во время ${ displaystyle dt}$ в телесный угол ${ displaystyle d Omega}$. Для атомного линейного излучения

${ displaystyle epsilon = { frac {h nu} {4 pi}} n_ {2} A_ {21},}$

куда ${ displaystyle A_ {21}}$ - коэффициент Эйнштейна для спонтанного излучения, который фиксируется внутренними свойствами соответствующего атома для двух соответствующих уровней энергии.

Поглощение излучения атомных линий можно описать коэффициент поглощения ${ displaystyle kappa}$ с единицами измерения 1 / длины. Выражение κ 'dx дает долю интенсивности, поглощаемую световым лучом на частоте ν во время путешествия расстояние dx. Коэффициент поглощения определяется выражением

${ displaystyle kappa '= { frac {h nu} {4 pi}} (n_ {1} B_ {12} -n_ {2} B_ {21}),}$

куда ${ displaystyle B_ {12}}$ и ${ displaystyle B_ {21}}$ - коэффициенты Эйнштейна для поглощения фотонов и индуцированного излучения соответственно. Как коэффициент ${ displaystyle A_ {21}}$, они также фиксируются внутренними свойствами соответствующего атома для двух соответствующих уровней энергии. Для термодинамики и для применения Закон Кирхгофа, необходимо, чтобы полное поглощение выражалось как алгебраическая сумма двух компонент, описываемых соответственно формулой ${ displaystyle B_ {12}}$ и ${ displaystyle B_ {21}}$, которые можно рассматривать как положительное и отрицательное поглощение, которые представляют собой, соответственно, прямое поглощение фотонов и то, что обычно называют стимулированным или индуцированным излучением.^[8][9][10]

В приведенных выше уравнениях не учитывается влияние спектроскопическая форма линии. Чтобы быть точным, приведенные выше уравнения необходимо умножить на (нормализованную) форму спектральной линии, и в этом случае единицы измерения изменятся, чтобы включить член 1 / Гц.

В условиях термодинамического равновесия числовые плотности ${ displaystyle n_ {2}}$ и ${ displaystyle n_ {1}}$, коэффициенты Эйнштейна и спектральная плотность энергии предоставляют достаточную информацию для определения скорости поглощения и излучения.

Условия равновесия

Числовые плотности ${ displaystyle n_ {2}}$ спектр и ${ displaystyle n_ {1}}$ задаются физическим состоянием газа, в котором находится спектральная линия, включая локальную спектральное сияние (или, в некоторых презентациях, локальная спектральная плотность лучистой энергии). Когда это состояние является одним из строгих термодинамическое равновесие, или одно из так называемых «локальных термодинамических равновесий»,^[11][12][13] тогда распределение состояний возбуждения атомов (которое включает ${ displaystyle n_ {2}}$ и ${ displaystyle n_ {1}}$) определяет скорости атомных выбросов и абсорбций так, чтобы Закон Кирхгофа о равенстве радиационной поглощающей способности и излучательной способности держит. В строгом термодинамическом равновесии поле излучения называется излучение черного тела и описывается Закон планка. Для локального термодинамического равновесия поле излучения не обязательно должно быть полем черного тела, но скорость межатомных столкновений должна значительно превышать скорости поглощения и испускания квантов света, так что межатомные столкновения полностью доминируют в распределении состояний возбуждения атомов. Возникают обстоятельства, при которых локальное термодинамическое равновесие не преобладает, потому что сильные радиационные эффекты подавляют тенденцию к Распределение Максвелла – Больцмана молекулярных скоростей. Например, в атмосфере Солнца преобладает большая сила излучения. В верхних слоях атмосферы Земли, на высотах более 100 км, решающее значение имеет редкость межмолекулярных столкновений.

В случаях термодинамическое равновесие и из локальное термодинамическое равновесиеплотность атомов, как возбужденных, так и невозбужденных, может быть вычислена из Распределение Максвелла – Больцмана, но для других случаев (например, лазеры) расчет сложнее.

Коэффициенты Эйнштейна

В 1916 г. Альберт Эйнштейн предположил, что при образовании атомной спектральной линии происходят три процесса. Эти три процесса называются спонтанным излучением, вынужденным излучением и поглощением. С каждым связан коэффициент Эйнштейна, который является мерой вероятности того, что этот конкретный процесс произойдет. Эйнштейн рассмотрел случай изотропного излучения с частотой ν и спектральная плотность энергии ρ(ν).^{[3][14][15][16]}

Различные составы

Хилборн сравнил различные формулировки вывода коэффициентов Эйнштейна разными авторами.^[17] Например, Герцберг работает с освещенностью и волновым числом;^[18] Ярив работает с энергией на единицу объема на единицу частотного интервала,^[19] как и в более позднем (2008 г.) ^[20] формулировка. Михалас и Вайбель-Михалас работают с сиянием и частотой;^[13] также Чандрасекар;^[21] также Гуди и Юнг;^[22] Loudon использует угловую частоту и яркость.^[23]

Спонтанное излучение

Принципиальная схема спонтанного излучения атомов

Спонтанное излучение - это процесс, при котором электрон «спонтанно» (то есть без какого-либо внешнего воздействия) распадается с более высокого энергетического уровня на более низкий. Процесс описывается коэффициентом Эйнштейна А₂₁ (s⁻¹), что дает вероятность в единицу времени, что электрон в состоянии 2 с энергией ${ displaystyle E_ {2}}$ спонтанно распадется до состояния 1 с энергией ${ displaystyle E_ {1}}$, испуская фотон с энергией E₂ − E₁ = hν. Из-за принцип неопределенности энергии-времени, переход фактически производит фотоны в узком диапазоне частот, называемом спектральная ширина линии. Если ${ displaystyle n_ {i}}$ плотность атомов в состоянии я , то изменение плотности атомов в состоянии 2 в единицу времени из-за спонтанного излучения будет

${ displaystyle left ({ frac {dn_ {2}} {dt}} right) _ { text {spontaneous}} = - A_ {21} n_ {2}.}$

Тот же процесс приводит к увеличению населения государства 1:

${ displaystyle left ({ frac {dn_ {1}} {dt}} right) _ { text {spontaneous}} = A_ {21} n_ {2}.}$

Вынужденное излучение

Принципиальная схема атомно-стимулированного излучения

Вынужденное излучение (также известный как индуцированная эмиссия) - это процесс, при котором электрон вынужден перейти с более высокого уровня энергии на более низкий из-за присутствия электромагнитного излучения на частоте перехода (или около нее). С термодинамической точки зрения этот процесс следует рассматривать как отрицательное поглощение. Процесс описывается коэффициентом Эйнштейна ${ displaystyle B_ {21}}$ (м³ J⁻¹ s⁻²), что дает вероятность в единицу времени на единицу спектральной яркости поля излучения, что электрон в состоянии 2 с энергией ${ displaystyle E_ {2}}$ распадется до состояния 1 с энергией ${ displaystyle E_ {1}}$, испуская фотон с энергией E₂ − E₁ = hν. Изменение плотности атомов в состоянии 1 в единицу времени из-за индуцированной эмиссии будет

${ displaystyle left ({ frac {dn_ {1}} {dt}} right) _ { text {neg. абсорбировать.}} = B_ {21} n_ {2} rho ( nu),}$

куда ${ Displaystyle ро ( ню)}$ обозначает яркость в полосе пропускания 1 Гц поля изотропного излучения на частоте перехода (см. Закон планка).

Вынужденная эмиссия - один из фундаментальных процессов, которые привели к развитию лазер. Однако лазерное излучение очень далеко от настоящего случая изотропного излучения.

Поглощение фотонов

Принципиальная схема атомной абсорбции

Поглощение - это процесс, при котором фотон поглощается атомом, заставляя электрон перепрыгивать с более низкого энергетического уровня на более высокий. Процесс описывается коэффициентом Эйнштейна ${ displaystyle B_ {12}}$ (м³ J⁻¹ s⁻²), что дает вероятность в единицу времени на единицу спектральной яркости поля излучения, что электрон в состоянии 1 с энергией ${ displaystyle E_ {1}}$ поглотит фотон с энергией E₂ − E₁ = hν и перейти в состояние 2 с энергией ${ displaystyle E_ {2}}$. Изменение плотности атомов в состоянии 1 в единицу времени из-за поглощения будет

${ displaystyle left ({ frac {dn_ {1}} {dt}} right) _ { text {pos. абсорбировать.}} = - B_ {12} n_ {1} rho ( nu).}$

Детальная балансировка

Коэффициенты Эйнштейна представляют собой фиксированные вероятности на время, связанные с каждым атомом, и не зависят от состояния газа, частью которого являются атомы. Следовательно, любое соотношение, которое мы можем вывести между коэффициентами, скажем, при термодинамическом равновесии, будет иметь универсальное значение.

В термодинамическом равновесии у нас будет простая балансировка, при которой чистое изменение числа любых возбужденных атомов равно нулю, уравновешиваясь потерями и прибылью из-за всех процессов. Что касается переходов с ограниченной границей, мы будем иметь детальная балансировка также, в котором говорится, что чистый обмен между любыми двумя уровнями будет сбалансированным. Это связано с тем, что на вероятность перехода не может повлиять присутствие или отсутствие других возбужденных атомов. Детальный баланс (действительный только в состоянии равновесия) требует, чтобы изменение во времени количества атомов на уровне 1 из-за вышеупомянутых трех процессов было равно нулю:

${ displaystyle 0 = A_ {21} n_ {2} + B_ {21} n_ {2} rho ( nu) -B_ {12} n_ {1} rho ( nu).}$

Наряду с детальной балансировкой при температуре Т мы можем использовать наши знания о равновесном распределении энергии атомов, как указано в Распределение Максвелла – Больцмана, и равновесное распределение фотонов, как указано в Закон планка излучения черного тела вывести универсальные соотношения между коэффициентами Эйнштейна.

Из распределения Больцмана для числа возбужденных видов атомов имеем я:

${ displaystyle { frac {n_ {i}} {n}} = { frac {g_ {i} e ^ {- E_ {i} / kT}} {Z}},}$

куда п это полная плотность атомов, возбужденных и невозбужденных, k является Постоянная Больцмана, Т это температура, ${ displaystyle g_ {i}}$ - вырождение (также называемое кратностью) состояния я, и Z это функция распределения. Из закона Планка о излучении черного тела при температуре Т у нас есть спектральная яркость (яркость - это энергия в единицу времени на единицу телесного угла на единицу проецируемой площади при интегрировании по соответствующему спектральному интервалу)^[24] с частотой ν

${ displaystyle rho _ { nu} ( nu, T) = F ( nu) { frac {1} {e ^ {h nu / kT} -1}},}$

куда^[25]

${ Displaystyle F ( Nu) = { гидроразрыва {2h nu ^ {3}} {c ^ {3}}},}$

куда ${ displaystyle c}$ это скорость света и ${ displaystyle h}$ является Постоянная Планка.

Подставляя эти выражения в уравнение детальной балансировки и запоминая, что E₂ − E₁ = hν дает

${ Displaystyle A_ {21} g_ {2} e ^ {- h nu / kT} + B_ {21} g_ {2} e ^ {- h nu / kT} { frac {F ( nu)} {e ^ {h nu / kT} -1}} = B_ {12} g_ {1} { frac {F ( nu)} {e ^ {h nu / kT} -1}},}$

разделение на

${ displaystyle A_ {21} g_ {2} (e ^ {h nu / kT} -1) + B_ {21} g_ {2} F ( nu) = B_ {12} g_ {1} e ^ { h nu / kT} F ( nu).}$

Приведенное выше уравнение должно выполняться при любой температуре, поэтому

${ displaystyle B_ {21} g_ {2} = B_ {12} g_ {1},}$

и

${ displaystyle -A_ {21} g_ {2} + B_ {21} g_ {2} F ( nu) = 0.}$

Следовательно, три коэффициента Эйнштейна связаны между собой соотношением

${ displaystyle { frac {A_ {21}} {B_ {21}}} = F ( nu)}$

и

${ displaystyle { frac {B_ {21}} {B_ {12}}} = { frac {g_ {1}} {g_ {2}}}.}$

Когда это соотношение вставляется в исходное уравнение, можно также найти связь между ${ displaystyle A_ {21}}$ и ${ displaystyle B_ {12}}$, с участием Закон планка.

Сильные стороны осциллятора

Сила осциллятора ${ displaystyle f_ {12}}$ определяется следующим соотношением к сечению ${ displaystyle sigma}$ для абсорбции:^[17]

${ displaystyle sigma = { frac {e ^ {2}} {4 varepsilon _ {0} m_ {e} c}} , f_ {12} , phi _ { nu} = { frac { pi e ^ {2}} {2 varepsilon _ {0} m_ {e} c}} , f_ {12} , phi _ { omega},}$

куда ${ displaystyle e}$ - заряд электрона, ${ displaystyle m_ {e}}$ - масса электрона, а ${ displaystyle phi _ { nu}}$ и ${ displaystyle phi _ { omega}}$ - нормированные функции распределения по частоте и угловой частоте соответственно. Это позволяет выразить все три коэффициента Эйнштейна через силу одного осциллятора, связанного с конкретной атомной спектральной линией:

${ displaystyle B_ {12} = { frac {e ^ {2}} {4 varepsilon _ {0} m_ {e} h nu}} f_ {12},}$

${ displaystyle B_ {21} = { frac {e ^ {2}} {4 varepsilon _ {0} m_ {e} h nu}} { frac {g_ {1}} {g_ {2}} } f_ {12},}$

${ displaystyle A_ {21} = { frac {2 pi nu ^ {2} e ^ {2}} { varepsilon _ {0} m_ {e} c ^ {3}}} { frac {g_ {1}} {g_ {2}}} f_ {12}.}$

Смотрите также

Рекомендации

Цитированная библиография

Другое чтение

внешняя ссылка

• Спектры излучения от различных источников света