WikiDer > Общие линейные методы - Википедия

General linear methods - Wikipedia

Общие линейные методы (GLMу) представляют собой большой класс численные методы используется для получения числовой решения для обыкновенные дифференциальные уравнения. Они включают многоступенчатые Рунге-Кутта методы, использующие промежуточные точки коллокации, а также линейные многоступенчатые методы которые сохраняют конечную временную историю решения. Джон С. Батчер первоначально придумал этот термин для этих методов и написал серию обзорных статей.^[1]^[2]^[3]глава книги^[4]и учебник^[5]по теме. Его соратник Здислав Яцкевич также имеет обширный учебник.^[6] по теме. Первоначально класс методов был предложен Батчером (1965), Гиром (1965) и Грэггом и Стеттером (1964).

Некоторые определения

Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка приближают решения начальных задач вида

{ displaystyle y '= f (t, y), quad y (t_ {0}) = y_ {0}.}

Результатом являются приближения для значения ${ Displaystyle у (т)}$ в дискретное время ${ displaystyle t_ {i}}$ :

{ displaystyle y_ {i} приблизительно y (t_ {i}) quad { text {where}} quad t_ {i} = t_ {0} + ih,}

куда час шаг по времени (иногда называемый ${ displaystyle Delta t}$ ).

Описание метода

Мы следуем Butcher (2006), pps 189–190 для нашего описания, хотя мы отмечаем, что этот метод можно найти в другом месте.

Общие линейные методы используют два целых числа, ${ displaystyle r}$ , количество временных точек в истории и ${ displaystyle s}$ , количество точек сопоставления. В случае ${ displaystyle r = 1}$ эти методы сводятся к классическим Методы Рунге – Кутты, а в случае ${ displaystyle s = 1}$ эти методы сводятся к линейные многоступенчатые методы.

Сценические ценности ${ displaystyle Y_ {i}}$ и ступенчатые производные, ${ displaystyle F_ {i}, i = 1,2, dots s}$ вычисляются из приближений, ${ Displaystyle у_ {я} ^ {[п-1]}, я = 1, точки, г}$ , на временном шаге ${ displaystyle n}$ :

{ displaystyle y ^ {[n-1]} = left [{ begin {matrix} y_ {1} ^ {[n-1]} y_ {2} ^ {[n-1]} vdots y_ {r} ^ {[n-1]} end {matrix}} right], quad y ^ {[n]} = left [{ begin {matrix} y_ {1 } ^ {[n]} y_ {2} ^ {[n]} vdots y_ {r} ^ {[n]} end {matrix}} right], quad Y = left [{ begin {matrix} Y_ {1} Y_ {2} vdots Y_ {s} end {matrix}} right], quad F = left [{ begin {матрица} F_ {1} F_ {2} vdots F_ {s} end {matrix}} right] = left [{ begin {matrix} f (Y_ {1}) f (Y_ {2}) vdots f (Y_ {s}) end {matrix}} right].}

Значения этапов определяются двумя матрицами, ${ displaystyle A = [a_ {ij}]}$ и ${ Displaystyle U = [и_ {ij}]}$ :

{ displaystyle Y_ {i} = sum _ {j = 1} ^ {s} a_ {ij} hF_ {j} + sum _ {j = 1} ^ {r} u_ {ij} y_ {j} ^ {[n-1]}, qquad i = 1,2, dots, s,}

и обновление вовремя ${ Displaystyle т ^ {п}}$ определяется двумя матрицами, ${ displaystyle B = [b_ {ij}]}$ и ${ Displaystyle V = [v_ {ij}]}$ :

{ displaystyle y_ {i} ^ {[n]} = sum _ {j = 1} ^ {s} b_ {ij} hF_ {j} + sum _ {j = 1} ^ {r} v_ {ij } y_ {j} ^ {[n-1]}, qquad i = 1,2, dots, r.}

Учитывая четыре матрицы, ${ displaystyle A, U, B}$ и ${ displaystyle V}$ , можно компактно записать аналог Таблица мясника в качестве,

{ displaystyle left [{ begin {matrix} Y y ^ {[n]} end {matrix}} right] = left [{ begin {matrix} A otimes I&U otimes I B otimes I&V otimes I end {matrix}} right] left [{ begin {matrix} F y ^ {[n-1]} end {matrix}} right],}

куда ${ displaystyle otimes}$ стоит затензорное произведение.

Примеры

Мы представляем пример, описанный в (Butcher, 1996).^[7] Этот метод состоит из одного «прогнозируемого» шага и «исправленного» шага, который использует дополнительную информацию о временной истории, а также одно значение промежуточного этапа.

Значение промежуточного этапа определяется как нечто, что выглядит так, как будто оно пришло из линейный многоступенчатый метод:

{ displaystyle y_ {n-1/2} ^ {*} = y_ {n-2} + h left ({ frac {9} {8}} f (y_ {n-1}) + { frac {3} {8}} f (y_ {n-2}) right).}

Первоначальный "предсказатель" ${ displaystyle y_ {n} ^ {*}}$ использует сценическое значение ${ Displaystyle у_ {п-1/2} ^ {*}}$ вместе с двумя частями истории времени:

{ displaystyle y_ {n} ^ {*} = { frac {28} {5}} y_ {n-1} - { frac {23} {5}} y_ {n-2} + h left ( { frac {32} {15}} f (y_ {n-1/2} ^ {*}) - 4f (y_ {n-1}) - { frac {26} {15}} f (y_ { n-2}) right),}

и окончательное обновление предоставлено:

{ displaystyle y_ {n} = { frac {32} {31}} y_ {n-1} - { frac {1} {31}} y_ {n-2} + h left ({ frac { 5} {31}} f (y_ {n} ^ {*}) + { frac {64} {93}} f (y_ {n-1/2} ^ {*}) + { frac {4} {31}} f (y_ {n-1}) - { frac {1} {93}} f (y_ {n-2}) right).}

Краткое табличное представление этого метода дается следующим образом:

{ displaystyle left [{ begin {array} {ccc | cccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & { frac {9} {8}} & { frac {3} {8}} { frac {32} {15} } & 0 & 0 & { frac {28} {5}} & - { frac {23} {5}} & - 4 & - { frac {26} {15}} { frac {64} {93}} & { frac {5} {31}} & 0 & { frac {32} {31}} & - { frac {1} {31}} & { frac {4} {31}} & - { frac {1} {93}} hline { frac {64} {93}} & { frac {5} {31}} & 0 & { frac {32} {31}} & - { frac {1 } {31}} & { frac {4} {31}} & - { frac {1} {93}} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 end {array}} right].}

Смотрите также

Примечания

^ Мясник, Джон К. (февраль – март 1996 г.). «Общие линейные методы». Компьютеры и математика с приложениями. 31 (4–5): 105–112. Дои:10.1016/0898-1221(95)00222-7.
^ Мясник, Джон (май 2006 г.). «Общие линейные методы». Acta Numerica. 15: 157–256. Bibcode:2006AcNum..15..157B. Дои:10.1017 / S0962492906220014.
^ Мясник, Джон (февраль 2009 г.). «Общие линейные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений». Математика и компьютеры в моделировании. 79 (6): 1834–1845. Дои:10.1016 / j.matcom.2007.02.006.
^ Мясник, Джон (2005). «Общие линейные методы». Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.. John Wiley & Sons, Ltd., стр. 357–413. Дои:10.1002 / 0470868279.ch5. ISBN 9780470868270. S2CID 2334002.
^ Мясник, Джон (1987). Численный анализ обыкновенных дифференциальных уравнений: Рунге – Кутта и общие линейные методы.. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-91046-6.
^ Jackiewicz, Zdzislaw (2009). Общие линейные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений. Вайли. ISBN 978-0-470-40855-1.
^ Мясник 1996, п. 107

внешняя ссылка

Общие линейные методы

[1] Мясник, Джон К. (февраль – март 1996 г.). «Общие линейные методы». Компьютеры и математика с приложениями. 31 (4–5): 105–112. Дои:10.1016/0898-1221(95)00222-7.

[2] Мясник, Джон (май 2006 г.). «Общие линейные методы». Acta Numerica. 15: 157–256. Bibcode:2006AcNum..15..157B. Дои:10.1017 / S0962492906220014.

[3] Мясник, Джон (февраль 2009 г.). «Общие линейные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений». Математика и компьютеры в моделировании. 79 (6): 1834–1845. Дои:10.1016 / j.matcom.2007.02.006.

[4] Мясник, Джон (2005). «Общие линейные методы». Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.. John Wiley & Sons, Ltd., стр. 357–413. Дои:10.1002 / 0470868279.ch5. ISBN 9780470868270. S2CID 2334002.

[5] Мясник, Джон (1987). Численный анализ обыкновенных дифференциальных уравнений: Рунге – Кутта и общие линейные методы.. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-91046-6.

[6] Jackiewicz, Zdzislaw (2009). Общие линейные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений. Вайли. ISBN 978-0-470-40855-1.

[7] Мясник 1996, п. 107

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v т е Численные методы интегрирования
Методы первого порядка	Метод Эйлера Обратный Эйлер Полунеявный Эйлер Экспоненциальный Эйлер
Методы второго порядка	Интеграция Верле Скорость Верле Трапецеидальная линейка Алгоритм Бимана Метод средней точки Метод Хойна Метод ньюмарк-бета Интеграция чехарда
Методы высшего порядка	Экспоненциальный интегратор Методы Рунге – Кутты Список методов Рунге – Кутты Линейный многоступенчатый метод Общие линейные методы Формула обратной дифференциации Ёсида
Теория	Симплектический интегратор

Navigation