WikiDer > Hexany

Hexany
Правильный октаэдр

В музыкальные системы настройки, то гексани, изобретенный Эрв Уилсон,[1] представляет собой одну из простейших структур, найденных в его Комбинированные наборы продуктов.

Это называется нецентрированной структурой, что означает, что в ней нет тонизирующего средства. Это достигается за счет использования согласных отношений в отличие от методов диссонанса, обычно используемых при атональности. Хотя это часто и сбивает с толку, перекрывается с Род Эйлера – Фоккера, последующие звёздчатые наборы комбинаций продуктов Вильсона (CPS) не входят в этот Род. Род Эйлера Фоккера не рассматривает 1 как возможный член множества, кроме как в качестве отправной точки. Количество вершины его наборов комбинаций следуют числам в Треугольник Паскаля. В этой конструкции гексана является третьим поперечным сечением четырехфакторного набора и первым нецентрированным. гексани - это имя, которое Эрв Уилсон дал шести банкнотам в наборе комбинированных продуктов 2 из 4, сокращенно 2 * 4 CPS.[2]

Гексани можно рассматривать как аналог октаэдр. Ноты расположены так, что каждая точка представляет высоту, каждая край интервал и каждый сталкивается с триадой. Таким образом, в нем восемь интонационных трезвучий, в которых каждое трезвучие имеет две общие ноты с тремя другими аккордами. Каждая триада встречается только один раз, а ее инверсия представлена ​​тремя противоположными тонами. Ребра октаэдра показывают музыкальные интервалы между вершинами, обычно выбираемые как согласные интервалы из гармонического ряда. Точки представляют собой музыкальные ноты, а три ноты, образующие каждую из треугольных граней, представляют музыкальные триады. Уилсон также указал и исследовал идею мелодичных гексан.

Проще говоря, гексани - это набор 2 из 4. Он строится путем одновременного использования любых четырех факторов и набора из двух, а затем их попарного умножения. Например, коэффициенты гармоник 1, 3, 5 и 7 объединяются парами 1 * 3, 1 * 5, 1 * 7, 3 * 5, 3 * 7, 5 * 7, в результате получается 1, 3, 5, 7 Гексани. Ноты обычно сдвинуты на октаву, чтобы поместить их все в одну октаву, что не влияет на отношения интервалов и созвучие трезвучий. Возможность того, что октава является решением, не выходит за рамки концепции Уилсона и используется в случаях размещения более крупных наборов комбинированных продуктов на универсальных клавиатурах.

Тюнинг

Это трехмерная версия гексани.

Ортографическая проекция.

Hexanyfacets.gif

Гексания - это фигура, содержащая как показанные треугольники, так и соединительные линии между ними.



В этой 2D-конструкции отношения интервалов такие же. См. Также рисунок два в статье Крейга Грейди.[3]


Например, грань с вершинами 3 × 5, 1 × 5, 5 × 7 является отональный (основной тип) аккорд, поскольку его можно записать как 5 × (1, 3, 7), используя гармоники. 5 × 7, 3 × 7, 3 × 5 - это утональный (второстепенный тип) аккорд, поскольку его можно записать как 3 × 5 × 7 × (1/3, 1/5, 1/7), используя малые субгармоники.

Чтобы превратить это в обычную гармоническую конструкцию с 1/1 в качестве первой ноты, все ноты сначала уменьшаются до октавы. Поскольку гармоническая конструкция, как назвал ее Эрв, он не считал ее гаммой и в ней еще нет 1/1, любая выбранная нота может использоваться для разделения каждой ноты до октавного уменьшения. Обозначение соотношений здесь показывает соотношение частот нот. Если 1/1 - 500 герц, то 6/5 - 600 герц и так далее.

Связь с треугольником Паскаля

Полный ряд Треугольник Паскаля для гиперкуба в этой конструкции проходит 1 (одна вершина), 4 (тетраэдр), 6 (гексани), 4 (другая тетрада), 1. Идея распространяется на другие числа измерений, например, на поперечные сечения Пятимерный куб дает две версии деканы, шкалу из десяти нот, богатую тетрадами, трезвучиями и диадами, которая также содержит много гексании.[4] В шести измерениях та же конструкция дает 20-нотный эйкосани, который еще более богат аккордами. В нем есть пятерки, тетрады и триады, а также гексаны и деканы.[4]

В случае трехмерного куба обычно рассматривается весь куб как единая восьмизначная шкала, октание - тогда сечения равны 1, 3 (триада), 3 (другая триада), 1, берется по любой из четырех главных диагоналей куба.

Координаты треугольника Паскаля из комбинированных наборов продуктов

Первый ряд (квадрат):
00
10 01
11

Второй ряд :
000
100 010 001 триада (треугольник)
110 101011 триада (треугольник)
111

Третий ряд
0000
1000 0100 0010 0001 тетрада (тетраэдр или 3-симплекс)
1100 1010 1001 0110 0101 0011 гексани (октаэдр)
1110 1101 1011 0111 тетрада
1111

Октаэдр - это дуальное ребро тетраэдр, или же исправленный тетраэдр

Четвертый ряд
00000
10000 01000 00100 00010 00001 пентада (4-симплекс или пентахорон - четырехмерный тетраэдр)
11000 10100 10010 10001 01100 01010 01001 00110 00101 00011 2) 5 деканов (10 вершин, исправленный 4-симплекс)
00111 01011 01101 01110 10011 10101 10110 11001 11010 11100 3) 5 деканов (10 вершин)
01111 10111 11011 11101 11110 пентад
11111

В исправленный 4-симплекс математическое название геометрической формы деканы, также известной как Диспентахорон

Пятый ряд
000000
100000 010000 001000 000100 000010 000001 шестнадцатеричный (5-симплекс или гексатерон - пятимерный тетраэдр)
110000 101000 100100 100010 100001 011000 010100 010010 010001 001100 001010 001001 000110 000101 000011 2) 6 пентадеканов (15 вершин, исправленный 5-симплекс)
111000 110100 110010 110001 101100 101010 101001 100110 100101 100011011100 011010 011001 010110 010101 010011 001110 001101 001011 000111 eikosany (20 вершин двунаправленный 5-симплекс)
001111 010111 011011 011101 011110 100111 101011 101101 101110 110011 110101 110110 111001 111010 111100 4) 6 пентадеканов (15 вершин)
011111 101111 110111 111011 111101 111110 гексад
111111


Деканы - это ребро, двойное к 4-симплексу. Точно так же геометрическая фигура для пентадеканы - это ребро, двойственное к 5-симплексу. Деканы кулачка могут быть сделаны соединением средних точек краев 4-симплекса, аналогично для пентадеканы и 5-симплекса.


Точно так же вершины деканы при масштабировании на 1/2 перемещаются в средние точки ребер 4-симплекса, а вершины пентадекани перемещаются в средние точки ребер 5-симплекса, и так далее во всех более высоких измерениях.

Вершины эйкосаны при масштабировании на 1/3 перемещаются в центры 2D граней 5-симплекса. В трехмерном кубе 111 при масштабировании на 1/3 перемещается к средней точке 100 010 001, где каждый край вектор проходит такое же расстояние по длинной диагонали куба. 11100 перемещается в центр равностороннего треугольника со шнурами 10000 01000 00100 и аналогично для всех остальных вершин эйкосаны.

Геометрическая фигура для эйкосани - это двойная грань 5-симплекса или двуатомный 5-симплексный, двойная его двухмерная грань, так как она также имеет трехмерные и четырехмерные грани.

Аналогичная картина для фигур 3) 7, 3) 8 и т. Д. Во всех высших измерениях.

Точно так же в восьми измерениях фигура, полученная с использованием всех перестановок 4 из 8, является трехмерной гранью, двойственной 7-симплексу, или 3-выпрямленный 7-симплекс, поскольку 1111 в масштабе 1/4 перемещается в центр трехмерной правильной грани тетраэдра 1000 0100 0010 0001 и т. Д.

В музыке

Композиторы, в том числе Крейг Грейди, Дэниел Джеймс Вольф, и Джозеф Персон использовали структуры шага на основе шестигранников.[нужна цитата]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Чалмерс, Джон Х. (1993). Разделы тетрахорда: прологомен построения музыкальных гамм, с.116. Лягушка Пик Музыка. ISBN 978-0-945996-04-0.
  2. ^ [автор отсутствует] (1993). Musicworks, выпуски 55–60, стр.43. Музыкальная галерея.
  3. ^ Грейди, Крейг (1991). "Гексани Эрвина Уилсона" (PDF). Просто интонация. 7 (1): 8–11.
  4. ^ а б Уилсон, Эрв. «Д'Алессандро, как ураган, рисунки 6b, 6c, 19, 20 и 20b» (PDF). Xenharmonikon. 12: 10, 21.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка