WikiDer > Гиперболический объем

Hyperbolic volume
Гиперболический объем узел восьмерка это 2.0298832.

в математический поле теория узлов, то гиперболический объем из гиперболическая ссылка объем ссылки дополнять относительно его полной гиперболической метрики. Объем обязательно является конечным действительным числом и представляет собой топологический инвариант ссылки.[1] Как инвариант зацепления он был впервые изучен Уильям Терстон в связи с его гипотеза геометризации.[2]

Узел и инвариант ссылки

А гиперболическая ссылка это связь в 3-сфере, чья дополнять (пространство, образованное удалением связи из 3-сферы) можно дать Риманова метрика постоянного отрицательного кривизна, придавая ему структуру гиперболическое 3-многообразие, частное от гиперболическое пространство группой, действующей на нем свободно и прерывно. Компоненты зацепления станут каспами 3-многообразия, а само многообразие будет иметь конечный объем. К Жесткость Мостова, когда дополнение зацепления имеет гиперболическую структуру, эта структура определяется однозначно, и любые геометрические инварианты структуры также являются топологическими инвариантами зацепления. В частности, гиперболический объем дополнения есть инвариант узла. Чтобы сделать его четко определенным для всех узлов или звеньев, гиперболический объем негиперболического узла или звена часто определяется равным нулю.

Для любого заданного объема существует лишь конечное число гиперболических узлов.[2] А мутация гиперболического узла будет иметь такой же объем,[3] так что можно придумывать примеры с равными объемами; действительно, существуют сколь угодно большие конечные множества различных узлов с одинаковыми объемами.[2]На практике гиперболический объем оказался очень эффективным для различения узлов, что использовалось в некоторых обширных усилиях по узловая таблица. Джеффри Уикскомпьютерная программа SnapPea - это повсеместный инструмент, используемый для вычисления гиперболического объема ссылки.[1]

Узел / ссылкаОбъемСсылка
Узел восьмерка[4]
Узел тройной завивки2.82812[нужна цитата]
Стивидорный узел3.16396[нужна цитата]
6₂ узел4.40083[нужна цитата]
Бесконечный узел5.13794[нужна цитата]
Пара перко5.63877[нужна цитата]
6₃ узел5.69302[нужна цитата]
Кольца Борромео[4]

Произвольные многообразия

В более общем плане гиперболический объем может быть определен для любого гиперболическое 3-многообразие. В Множество недель имеет наименьший возможный объем любого замкнутого многообразия (многообразия, которое, в отличие от дополнительных зацеплений, не имеет точек возврата); его объем составляет примерно 0,9427.[5]

Терстон и Йоргенсен доказали, что множество действительных чисел, которые являются гиперболическими объемами 3-многообразий, есть хорошо организованный, с тип заказа ωω.[6] Наименьший предельная точка в этом наборе объемов дается узел дополнения из узел восьмерка,[7] а наименьшая предельная точка предельных точек задается дополнением Ссылка Уайтхеда.[8]

Рекомендации

  1. ^ а б Адамс, Колин; Хильдебранд, Мартин; Недели, Джеффри (1991), "Гиперболические инварианты узлов и зацеплений", Труды Американского математического общества, 326 (1): 1–56, Дои:10.2307/2001854, МИСТЕР 0994161.
  2. ^ а б c Виленберг, Норберт Дж. (1981), "Гиперболические трехмерные многообразия, имеющие общий фундаментальный многогранник", Римановы поверхности и связанные с ними темы: Материалы конференции 1978 г. в Стоуни-Брук (Государственный университет Нью-Йорка, Стоуни-Брук, штат Нью-Йорк, 1978 г.), Анна. математики. Stud., 97, Принстон, Нью-Джерси: Princeton Univ. Press, стр. 505–513, МИСТЕР 0624835.
  3. ^ Руберман, Дэниел (1987), "Мутация и объемы узлов в S3", Inventiones Mathematicae, 90 (1): 189–215, Bibcode:1987InMat..90..189R, Дои:10.1007 / BF01389038, МИСТЕР 0906585.
  4. ^ а б Уильям Терстон (Март 2002 г.), «7. Расчет объема» (PDF), Геометрия и топология трехмерных многообразий., п. 165
  5. ^ Габай, Давид; Мейерхофф, Роберт; Милли, Питер (2009), "Трехмерные гиперболические гиперболические многообразия с каспами минимального объема", Журнал Американского математического общества, 22 (4): 1157–1215, arXiv:0705.4325, Bibcode:2009JAMS ... 22,1157G, Дои:10.1090 / S0894-0347-09-00639-0, МИСТЕР 2525782.
  6. ^ Neumann, Walter D .; Загьер, Дон (1985), "Объемы трехмерных гиперболических многообразий", Топология, 24 (3): 307–332, Дои:10.1016/0040-9383(85)90004-7, МИСТЕР 0815482.
  7. ^ Цао, Чунь; Мейерхофф, Дж. Роберт (2001), "Ориентируемые гиперболические 3-многообразия с каспами минимального объема", Inventiones Mathematicae, 146 (3): 451–478, Дои:10.1007 / s002220100167, МИСТЕР 1869847
  8. ^ Агол, Ян (2010), "Минимальные ориентируемые по объему гиперболические 3-многообразия с каспами", Труды Американского математического общества, 138 (10): 3723–3732, Дои:10.1090 / S0002-9939-10-10364-5, МИСТЕР 2661571

внешняя ссылка