WikiDer > Impulsoperator

Quantenmechanik
${displaystyle {Delta x},{Delta p}geq {frac {hbar }{2}}}$
Unsicherheitsbeziehung
Allgemeine Einführung...
Hintergrund Klassische Mechanik Interferenz Hamilton-Formalismus
Grundsätzliche Konzepte Quantenzustand · Wellenfunktion · Postulate Überlagerung · Unschärferelation Schrödinger-Gleichung · Tunneleffekt Ausschlussprinzip Dirac-Notation
Fortgeschrittene Themen Interpretation Klein-Gordon-Gleichung Dirac-Gleichung Quantenfeldtheorie Quantengravitation
Experimente Schrödingers Katze Doppelspaltexperiment Tunneleffekt Stern-Gerlach-Experiment
Wissenschaftler Planck · Einstein · Bohr · Sommerfeld · Bose · Kramers · Heisenberg · Geboren · Jordanien · Paulic · dirac · de Broglie · Schrödinger · von Neumann · Wigner · Feynman · Böhm · Everett · Glocke

Das Impulsoperator in dem Quantenmechanik

${displaystyle {hat {p}}=-ihbar abla}$

in welchem ${displaystyle abla}$ das nabla ist, entspricht dem Impuls

${displaystyle p=mv}$

in dem klassische Mechanik. Der Impulsoperator wird im . verwendet Hamilton-Formalismus. Der Hamiltonoperator eines klassischen Teilchens kann durch Substitution in den Hamiltonoperator eines Quantenteilchens übersetzt werden.

Der Hamiltonoperator eines Teilchens mit kinetische Energie T = . m. v² und potentielle Energie U ist klassisch

${Displaystil H=T U=p^{2}/2m U}$

so dass der Hamiltonoperator in der (nicht-relativistischen) Quantenmechanik

${displaystyle {hat {H}}=-{hbar ^{2} ca. 2m}abla ^{2} U}$.

Theorie

Klassik folgt dem Hamiltonian ${Anzeigestil H(p,x)}$ die Bewegungsgleichung in einer Dimension

${displaystyle {dot {p}}=-{partielles H über partielles x}=-{dU über dx}=F}$

in welchem f ist die Kraft auf ein Teilchen.

Quantenmechanik bestimmt ${displaystyle {Hut {H}}}$ in der Zeit unabhängig Schrödinger-Gleichung das Wellenfunktion${Anzeigestil psi }$ eines Teilchens mit der Energie E

${displaystyle {Hut {H}}psi =Epsi}$.

Die Schrödinger-Gleichung in der Quantenmechanik ist die erste Newtons Gesetz liegt in der klassischen Mechanik.

Der Impulsoperator ${displaystyle {Hut {p}}}$ ist in Übereinstimmung mit der de Broglies Gleichung${displaystyle p=hbar k}$ in welchem ${displaystyle k}$ die Wellenzahl ist von einem Teilchen. Die Wellenfunktion hat die Form ${displaystyle psi sim e^{ikx}=e^{ipx/hbar }}$ So

${displaystyle {dpsi over dx}={i over hbar }ppsi quad {hbox{or}}quad {hat {p}}psi =-ihbar {dpsi over dx}=ppsi }$;

${displaystyle p}$ ist der Selbstachtung vom Betreiber ${displaystyle {Hut {p}}}$.

Die Theorie ist in drei Dimensionen dieselbe. ${displaystyle p}$ und ${Anzeigestil x}$ sind dann Vektoren und ${displaystyle d/dx}$ ist der Nabla-Operator.

Anwendungen

Tunneleffekt

Lassen Sie freie Elektronen, U=0, mit der Energie E auf eine Potentialbarriere V>E treffen.

${Anzeigestil U=0,;x<0}$

${Anzeigestil U=V,;x>0}$

Vor dem x<0 ist die Schrödinger-Gleichung

${displaystyle psi _{l}'' (2mE/hbar ^{2})psi _{l}=0}$

eine Wellengleichung mit Lösung

${displaystyle psi _{l}=Ae^{ialpha x} Be^{-ialpha x},;alpha ={sqrt {2mE}}/hbar }$.

weil ${displaystyle psi _{l}ot o 0}$ vor dem ${displaystyle x o -infty }$ es ist keine akzeptable Wellenfunktion, aber es ist nützlich, Reflexion und Transmission zu berechnen. ${displaystyle psi _{l}}$ ist keine quantenmechanische Beschreibung eines Elektrons, sondern eines Elektronenstrahls.

Vor dem x>0 ist die Schrödinger-Gleichung

${displaystyle psi _{r}''={2m(V-E) über hbar ^{2}}psi _{r}}$

mit Lösung

${displaystyle psi _{r}=Ce^{ eta x} De^{- eta x},; eta ={sqrt {2m(V-E)}}/hbar}$.

C=0 damit so ${displaystyle psi _{r} oder 0}$ vor dem ${displaystyle x o infty }$. Die beiden Lösungen müssen glatt in x=0 passen:

${Anzeigestil psi _{l}(0)=psi _{r}(0),;psi _{l}'(0)=psi _{r}'(0)}$.

Daraus folgt:

${displaystyle {B über A}={ialpha eta über ialpha - eta},;{D über A}={2ialpha über ialpha - eta }}$.

${Anzeigestil |B/A|=1}$ Es kommt also zur Totalreflexion des Strahls. ${displaystyle psi _{l}}$ ist eine stehende Welle.

${Anzeigestil |D/A|eq 0}$ es gibt also Strahldurchdringung. Elektronen haben eine exponentiell abnehmende Wahrscheinlichkeit ${displaystyle psi _{r}^{2}}$ um in x>0 zu gelangen, das klassisch nicht zugänglich ist.

Harmonischer Oszillator

Ein Elektron, auf das bei Abweichung x vom Gleichgewichtspunkt x=0 eine Kraft -sx wirkt, schwingt mit der Frequenz ${displaystyle omega ={sqrt {s/m}}}$. Die potentielle Energie U=½sx²so ist der Hamiltonoperator in der Quantenmechanik.

${displaystyle {hat {H}}=-{hbar ^{2} über 2m}{d^{2} über dx^{2}} {s über 2}x^{2}}$.

Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung hat nur akzeptable Lösungen für die Wellenfunktion ${Anzeigestil psi }$ wenn die Elektronenenergie E-Werte hat

${displaystyle E_{n}=(n 1/2)hbar omega ,;n=0,1,2,cdots}$

Die entsprechenden Wellenfunktionen sind:

${displaystyle psi _{n}(x)={frac {1}{sqrt {2^{n},n!}}}left({frac {momega }{pi hbar }}ight)^{1/4} e^{-momega x^{2}/2hbar }H_{n}left({sqrt {frac {momega }{hbar }}}xight),;n=0,1,2,cdots}$

Die Funktionen huh_nein sein Hermite-Polynome:

${displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{frac {d^{n}}{dx^{n}}}links(e^{- x^{2}}Nacht)}$

Die ersten beiden Wellenfunktionen sind:

${displaystyle psi _{0}=(momega /pi hbar )^{1/4}e^{-momega x^{2}/2hbar }}$,

${displaystyle psi _{1}=(momega/4pi hbar)^{1/4}2(momega /hbar)^{1/2}e^{-momega x^{2}/2hbar}}$.

Dies zeigt zwei Dinge:

• Die möglichen E-Werte bilden ein diskretes Spektrum. Klassisch kann das Elektron alle Werte E=½sa² haben (a ist die Pendelamplitude).
• Im Grundzustand ruht das Elektron nicht, ${displaystyle E_{0}}$ ist nicht 0. Klassisch gilt x=p=0, wenn das Pendel ruht, aber nach Heisenberg diese Bedingung existiert nicht. Es gibt eine Chance ${displaystyle psi_{0}^{2}}$ dass x von 0 verschieden ist.

Wasserstoffatom

Im Wasserstoffatom ist der Hamiltonoperator des Elektrons im Coulomb-Feld des Kerns klassisch

${displaystyle H={p^{2} über 2m}-{e^{2} über 4pi Epsilon _{0}r}}$

und damit quantenmechanisch

${displaystyle {hat {H}}=-{hbar ^{2} über 2m}abla ^{2}-{e^{2} über 4pi Epsilon _{0}r}}$.

Zur Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung.

Wasserstoffatom