WikiDer > Генератор бесконечно малых (случайные процессы)

Infinitesimal generator (stochastic processes)

В математика - в частности, в стохастический анализ - в бесконечно малый генератор из Валочный процесс (т.е. марковский процесс с непрерывным временем, удовлетворяющий определенным условиям регулярности) является оператор в частных производных который кодирует большой объем информации о процессе. Генератор используется в уравнениях эволюции, таких как Колмогорова обратное уравнение (который описывает эволюцию статистики процесса); это L² Эрмитово сопряженный используется в уравнениях эволюции, таких как Уравнение Фоккера – Планка (который описывает эволюцию функции плотности вероятности процесса).^{[нужна цитата]}

Определение

Общий случай

Для d-мерного Валочный процесс ${displaystyle (X_ {t}) _ {tgeq 0}}$ мы определяем генератор ${displaystyle A}$ к

{displaystyle Af (x): = lim _ {tdownarrow 0} {frac {mathbb {E} ^ {x} (f (X_ {t})) - f (x)} {t}}}

всякий раз, когда этот предел существует в ${displaystyle {overline {C_ {c} ^ {0} (mathbb {R} ^ {d})}} подмножество (C ^ {0} (mathbb {R} ^ {d}), | cdot | _ {infty} )}$ , т.е. в пространстве непрерывных функций ${displaystyle mathbb {R} ^ {d} o mathbb {R}}$ исчезают на бесконечности.

Это определение аналогично определению бесконечно малый генератор ${displaystyle C ^ {0}}$ -полугруппа.^{[требуется разъяснение]}

Стохастические дифференциальные уравнения, управляемые броуновским движением

Позволять ${extstyle X: [0, infty) imes Omega ightarrow mathbb {R} ^ {n}}$ определено на вероятностное пространство ${extstyle (Omega, {mathcal {F}}, P)}$ быть Ито диффузия удовлетворение стохастическое дифференциальное уравнение формы:

{displaystyle mathrm {d} X_ {t} = b (X_ {t}), mathrm {d} t + sigma (X_ {t}), mathrm {d} B_ {t}}

куда ${displaystyle B}$ является м-размерный Броуновское движение и ${displaystyle b: mathbb {R} ^ {n} ightarrow mathbb {R} ^ {n}}$ и ${displaystyle sigma: mathbb {R} ^ {n} ightarrow mathbb {R} ^ {n imes m}}$ - поля дрейфа и диффузии соответственно. Для точки ${displaystyle xin mathbb {R} ^ {n}}$ , позволять ${displaystyle mathbb {P} ^ {x}}$ обозначают закон ${displaystyle X}$ с учетом исходных данных ${displaystyle X_ {0} = x}$ , и разреши ${displaystyle mathbb {E} ^ {x}}$ обозначают ожидание относительно ${displaystyle mathbb {P} ^ {x}}$ .

В бесконечно малый генератор из ${displaystyle X}$ оператор ${displaystyle {mathcal {A}}}$ , который определен, чтобы действовать на подходящие функции ${displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} ightarrow mathbb {R}}$ к:

{displaystyle {mathcal {A}} f (x) = lim _ {tdownarrow 0} {frac {mathbb {E} ^ {x} [f (X_ {t})] - f (x)} {t}}}

Набор всех функций ${displaystyle f}$ для которого этот предел существует в точке ${displaystyle x}$ обозначается ${displaystyle D_ {mathcal {A}} (x)}$ , пока ${displaystyle D_ {mathcal {A}}}$ обозначает множество всех ${displaystyle f}$ для которого предел существует для всех ${displaystyle xin mathbb {R} ^ {n}}$ . Можно показать, что любой компактно поддерживаемый ${displaystyle C ^ {2}}$ (дважды дифференцируемый с непрерывный вторая производная) функция ${displaystyle f}$ лежит в ${displaystyle D_ {mathcal {A}}}$ и что:

{displaystyle {mathcal {A}} f (x) = sum _ {i} b_ {i} (x) {frac {partial f} {partial x_ {i}}} (x) + {frac {1} {2 }} sum _ {i, j} {ig (} sigma (x) sigma (x) ^ {op} {ig)} _ {i, j} {frac {partial ^ {2} f} {partial x_ {i }, частичное x_ {j}}} (x)}

Или, с точки зрения градиент и скаляр и Внутренние продукты Фробениуса:

{displaystyle {mathcal {A}} f (x) = b (x) cdot abla _ {x} f (x) + {frac {1} {2}} {ig (} sigma (x) sigma (x) ^ {op} {ig)}: abla _ {x} abla _ {x} f (x)}

Генераторы некоторых общих процессов

Для цепей Маркова с конечным состоянием и непрерывным временем генератор может быть выражен как матрица скорости перехода
Стандартное броуновское движение на ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ , которая удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению ${displaystyle dX_ {t} = дБ_ {t}}$ , есть генератор ${extstyle {1 over {2}} Delta}$ , куда ${displaystyle Delta}$ обозначает Оператор Лапласа.
Двумерный процесс ${displaystyle Y}$ удовлетворение:

{displaystyle mathrm {d} Y_ {t} = {mathrm {d} t выбрать mathrm {d} B_ {t}}}

куда

{displaystyle B}

представляет собой одномерное броуновское движение, может рассматриваться как график этого броуновского движения и имеет генератор:

{displaystyle {mathcal {A}} f (t, x) = {frac {partial f} {partial t}} (t, x) + {frac {1} {2}} {frac {partial ^ {2} f } {частичное x ^ {2}}} (t, x)}

В Процесс Орнштейна – Уленбека на ${displaystyle mathbb {R}}$ , которая удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению ${extstyle dX_ {t} = heta (mu -X_ {t}) dt + sigma dB_ {t}}$ , имеет генератор:

{displaystyle {mathcal {A}} f (x) = heta (mu -x) f '(x) + {frac {sigma ^ {2}} {2}} f' '(x)}

Точно так же граф процесса Орнштейна – Уленбека имеет генератор:

{displaystyle {mathcal {A}} f (t, x) = {frac {partial f} {partial t}} (t, x) + heta (mu -x) {frac {partial f} {partial x}} ( t, x) + {frac {sigma ^ {2}} {2}} {frac {partial ^ {2} f} {partial x ^ {2}}} (t, x)}

А геометрическое броуновское движение на ${displaystyle mathbb {R}}$ , которая удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению ${extstyle dX_ {t} = rX_ {t} dt + альфа X_ {t} дБ_ {t}}$ , имеет генератор: