WikiDer > Введение в тропическую геометрию

Introduction to Tropical Geometry

Введение в тропическую геометрию это книга о тропическая геометрия, к Дайан Маклаган и Бернд Штурмфельс. Он был опубликован Американское математическое общество в 2015 году как том 161 Аспирантура по математике.

Темы

В тропическое полукольцо является алгебраической структурой на действительные числа в котором сложение занимает обычное место умножения, а минимизация - обычное место сложения.[1] Эта комбинация двух операций сложения и минимизации естественно возникает, например, в проблема кратчайшего пути, где конкатенация путей приводит к суммированию их расстояний, а самый короткий из двух параллельных путей - это путь с минимальной длиной, и где некоторые алгоритмы кратчайшего пути можно интерпретировать как тропические матричное умножение.[2] Тропическая геометрия применяет механизмы алгебраическая геометрия к этой системе, определив многочлены используя сложение и минимизацию вместо умножения и сложения (давая кусочно-линейные функции) и изучение «корней» этих многочленов, точек излома, в которых они не могут быть линейными.[1] Поле названо в честь бразильского приемного дома одного из первых исследователей, Имре Симон.[2][3] Хотя прошлые работы в этой области изучали ее с помощью методов перечислительная комбинаторика, эта книга вместо этого сосредоточена на явных вычислениях, связанных с тропикализацией классических многообразий.[2][4] Хотя он гораздо более всеобъемлющий, чем две предыдущие вводные книги в этой области Итенберга и др.,[3]некоторые темы тропической геометрии (намеренно) опущены, в том числе перечислительная геометрия и зеркальная симметрия.[4]

В книге шесть глав. В первой из них представлена ​​тема и дается обзор некоторых важных результатов, после чего во второй главе приводится справочный материал по неархимедово упорядоченное поле, алгебраические многообразия, выпуклые многогранники, и Базы Грёбнера. В третьей главе рассматриваются тропические многообразия, определяемые несколькими разными способами, соответствия между классическими многообразиями и их тропическими формами, «Фундаментальная теорема тропической геометрии», доказывающая, что эти определения эквивалентны, и тропические многообразия. теория пересечений. В четвертой главе исследуются тропические связи с Грассманиан, присоединение соседа в пространстве метрические деревья, и матроиды. в пятой главе рассматриваются тропические аналоги некоторых важных концепций в линейная алгебра, а в шестой главе тропические разновидности торические многообразия и многогранная геометрия.[1][2][3]

Аудитория и прием

Эта книга написана как учебник, и в ней есть задачи по проверке понимания читателями материала.[1][3] Хотя она опубликована в серии книг для выпускников, рецензент Патрик Попеску-Пампу пишет, что она должна быть доступна для студентов с соответствующим опытом в области алгебраической геометрии.[3] Рецензент Фелипе Залдивар пишет, что это «делает тему доступной и увлекательной» и является «прекрасным дополнением» к своей серии книг.[1] Рецензент Майкл Йозвиг заключает, что Введение в тропическую геометрию «станет стандартом в этой области на долгие годы».[4]

Рекомендации

  1. ^ а б c d е Залдивар, Фелипе (август 2015 г.). "Обзор Введение в тропическую геометрию". Обзоры MAA.
  2. ^ а б c d Draisma, янв (2017). "Обзор Введение в тропическую геометрию" (PDF). Nieuw Archief voor Wiskunde. 5 сер. (на голландском). 18 (2): 145–146.
  3. ^ а б c d е Попеску-Пампу, Патрик. "Обзор Введение в тропическую геометрию". Математические обзоры. МИСТЕР 3287221.
  4. ^ а б c Джозвиг, Майкл (февраль 2016 г.). "Обзор Введение в тропическую геометрию" (PDF). Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 118 (3): 233–237. Дои:10.1365 / s13291-016-0133-6.