WikiDer > Обратная задача Галуа

Нерешенная проблема в математике: Каждый конечная группа то Группа Галуа из Расширение Галуа из рациональное число? (больше нерешенных задач по математике)

В Теория Галуа, то обратная задача Галуа касается ли каждый конечная группа появляется как Группа Галуа некоторых Расширение Галуа из рациональное число Q. Эта проблема, впервые поставленная в начале 19 века,^[1] не решена.

Есть некоторые группы перестановок, для которых полиномы общего положения известны, которые определяют все алгебраические расширения Q имея особую группу как группу Галуа. В эти группы входят все степени не выше 5. Также известны группы, не имеющие общих многочленов, например циклическая группа порядка 8.

В общем, пусть грамм - заданная конечная группа, и пусть K быть полем. Тогда возникает вопрос: существует ли поле расширения Галуа? Л / К такая, что группа Галуа расширения есть изоморфный к грамм? Один говорит, что грамм осуществимо за K если такое поле L существуют.

Частичные результаты

По частным случаям есть много подробной информации. Известно, что всякая конечная группа реализуема над любым функциональное поле в одной переменной по сложные числа C, и в более общем плане над полями функций в одной переменной над любым алгебраически замкнутое поле из характеристика нуль. Игорь Шафаревич показал, что каждое конечное разрешимая группа осуществимо за Q.^[2] Также известно, что каждый спорадическая группа, за исключением, возможно, Группа Матье M₂₃, реализуемо Q.^[3]

Дэвид Гильберт показал, что этот вопрос связан с вопрос рациональности за грамм:

Если K любое расширение Q, на котором грамм действует как группа автоморфизмов и инвариантное поле K^грамм рационально Q, тогда грамм осуществимо за Q.

Здесь рациональный означает, что это чисто трансцендентный расширение Q, созданный алгебраически независимый набор. Этот критерий можно использовать, например, чтобы показать, что все симметричные группы осуществимы.

По этому вопросу проведена большая детальная работа, которая в целом никак не решена. Некоторые из них основаны на построении грамм геометрически как Покрытие Галуа из проективная линия: в алгебраических терминах, начиная с расширения поля Q(т) из рациональные функции в неопределенном т. После этого применяется Теорема Гильберта о неприводимости специализироваться т, таким образом, чтобы сохранить группу Галуа.

Известно, что все группы перестановок степени 16 или меньше реализуемы над Q;^[4] группа PSL (2,16): 2 степени 17 не может быть.^[5]

Все 13 неабелевых простых групп, меньших, чем PSL (2,25) (порядок 7800), как известно, реализуемы над Q. ^[6]

Простой пример: циклические группы

Используя классические результаты, можно явно построить многочлен, группа Галуа которого над Q это циклическая группа Z/пZ для любого положительного целого числа п. Для этого выберите простое п такой, что п ≡ 1 (мод п); это возможно Теорема Дирихле. Позволять Q(μ) быть циклотомическое расширение из Q создано μ, куда μ примитивный п^th корень единства; группа Галуа Q(μ)/Q цикличен по порядку п − 1.

С п разделяет п − 1, группа Галуа имеет циклическую подгруппу ЧАС порядка (п − 1)/п. В основная теорема теории Галуа означает, что соответствующее фиксированное поле, F = Q(μ)^ЧАС, имеет группу Галуа Z/пZ над Q. Взяв соответствующие суммы конъюгатов μ, следуя построению Гауссовские периоды, можно найти элемент α из F что порождает F над Q, и вычислить его минимальный многочлен.

Этот метод можно распространить на все конечные абелевы группы, поскольку каждая такая группа фактически появляется как фактор группы Галуа некоторого кругового расширения Q. (Это утверждение не следует путать с Теорема Кронекера – Вебера., который лежит значительно глубже.)

Рабочий пример: циклическая группа третьего порядка

За п = 3мы можем взять п = 7. потом Гал (Q(μ)/Q) цикличен шестого порядка. Возьмем генератор η этой группы, которая отправляет μ к μ³. Нас интересует подгруппа ЧАС = {1, η³} второго порядка. Рассмотрим элемент α = μ + η³(μ). По конструкции, α фиксируется ЧАС, и имеет только три сопряженных Q:

α = η⁰(α) = μ + μ⁶,

β = η¹(α) = μ³ + μ⁴,

γ = η²(α) = μ² + μ⁵.

Используя личность:

1 + μ + μ² + ... + μ⁶ = 0,

можно найти, что

α + β + γ = −1,

αβ + βγ + γα = −2,

αβγ = 1.

Следовательно α является корнем многочлена

(Икс − α)(Икс − β)(Икс − γ) = Икс³ + Икс² − 2Икс − 1,

что, следовательно, имеет группу Галуа Z/3Z над Q.

Симметричные и знакопеременные группы

Гильберта показал, что все симметрические и знакопеременные группы представлены в виде групп Галуа многочленов с рациональными коэффициентами.

Полином Икс^п + топор + б имеет дискриминант

${ displaystyle (-1) ^ { frac {n (n-1)} {2}} left (n ^ {n} b ^ {n-1} + (- 1) ^ {1-n} ( n-1) ^ {n-1} a ^ {n} right).}$

Возьмем частный случай

ж(Икс, s) = Икс^п − sx − s.

Подставляя простое целое число вместо s в ж(Икс, s) дает многочлен (называемый специализация из ж(Икс, s)) что по Критерий Эйзенштейна неприводимо. потом ж(Икс, s) должен быть несводимым по Q(s). Более того, ж(Икс, s) можно написать

${ displaystyle x ^ {n} - { tfrac {x} {2}} - { tfrac {1} {2}} - left (s - { tfrac {1} {2}} right) ( х + 1)}$

и ж(Икс, 1/2) можно разложить на:

${ displaystyle { tfrac {1} {2}} (x-1) left (1 + 2x + 2x ^ {2} + cdots + 2x ^ {n-1} right)}$

второй фактор которого неприводим (но не по критерию Эйзенштейна). Только обратный многочлен неприводим по критерию Эйзенштейна. Мы показали, что группа Гал (ж(Икс, s)/Q(s)) является дважды транзитивный.

Затем мы можем обнаружить, что эта группа Галуа имеет транспозицию. Используйте масштабирование (1 − п)Икс = нью-йорк получить

${ displaystyle y ^ {n} - left {s left ({ frac {1-n} {n}} right) ^ {n-1} right } y- left {s left ({ frac {1-n} {n}} right) ^ {n} right }}$

и с

${ displaystyle t = { frac {s (1-n) ^ {n-1}} {n ^ {n}}},}$

мы приходим к:

грамм(у, т) = у^п − нты + (п − 1)т

который может быть организован

у^п − у − (п − 1)(у − 1) + (т − 1)(−нью-йорк + п − 1).

потом грамм(у, 1) имеет 1 как двойной ноль и другие п − 2 нули простые, а перестановка в Гал (ж(Икс, s)/Q(s)) подразумевается. Любой конечный дважды транзитивная группа подстановок содержащая транспозицию - полная симметрическая группа.

Теорема Гильберта о неприводимости тогда следует, что бесконечный набор рациональных чисел дает специализации ж(Икс, т) чьи группы Галуа S_п над рациональным полем Q. На самом деле этот набор рациональных чисел плотен в Q.

Дискриминант грамм(у, т) равно

${ displaystyle (-1) ^ { frac {n (n-1)} {2}} n ^ {n} (n-1) ^ {n-1} t ^ {n-1} (1-t ),}$

и это вообще не идеальный квадрат.

Чередующиеся группы

Решения для чередующихся групп должны обрабатываться по-разному для нечетных и четных степеней.

Нечетная степень

Позволять

${ Displaystyle т = 1 - (- 1) ^ { tfrac {п (п-1)} {2}} ню ^ {2}}$

При такой замене дискриминант грамм(у, т) равно

${ Displaystyle { begin {align} (- 1) ^ { frac {n (n-1)} {2}} n ^ {n} (n-1) ^ {n-1} t ^ {n- 1} (1-t) & = (- 1) ^ { frac {n (n-1)} {2}} n ^ {n} (n-1) ^ {n-1} t ^ {n- 1} left (1- left (1 - (- 1) ^ { tfrac {n (n-1)} {2}} nu ^ {2} right) right) & = (- 1 ) ^ { frac {n (n-1)} {2}} n ^ {n} (n-1) ^ {n-1} t ^ {n-1} left ((- 1) ^ { tfrac {n (n-1)} {2}} nu ^ {2} right) & = n ^ {n + 1} (n-1) ^ {n-1} t ^ {n-1} и ^ {2} конец {выровнено}}}$

который представляет собой идеальный квадрат, когда п странно.

Даже степень

Позволять:

${ displaystyle t = { frac {1} {1 + (- 1) ^ { tfrac {n (n-1)} {2}} (n-1) u ^ {2}}}}$

При такой замене дискриминант грамм(у, т) равно:

${ displaystyle { begin {align} (- 1) ^ { frac {n (n-1)} {2}} n ^ {n} (n-1) ^ {n-1} t ^ {n- 1} (1-t) & = (- 1) ^ { frac {n (n-1)} {2}} n ^ {n} (n-1) ^ {n-1} t ^ {n- 1} left (1 - { frac {1} {1 + (- 1) ^ { tfrac {n (n-1)} {2}} (n-1) u ^ {2}}} right ) & = (- 1) ^ { frac {n (n-1)} {2}} n ^ {n} (n-1) ^ {n-1} t ^ {n-1} left ({ frac { left (1 + (- 1) ^ { tfrac {n (n-1)} {2}} (n-1) u ^ {2} right) -1} {1+ ( -1) ^ { tfrac {n (n-1)} {2}} (n-1) u ^ {2}}} right) & = (- 1) ^ { frac {n (n -1)} {2}} n ^ {n} (n-1) ^ {n-1} t ^ {n-1} left ({ frac {(-1) ^ { tfrac {n (n -1)} {2}} (n-1) u ^ {2}} {1 + (- 1) ^ { tfrac {n (n-1)} {2}} (n-1) u ^ { 2}}} right) & = (- 1) ^ { frac {n (n-1)} {2}} n ^ {n} (n-1) ^ {n-1} t ^ { n-1} left (t (-1) ^ { tfrac {n (n-1)} {2}} (n-1) u ^ {2} right) & = n ^ {n} (n-1) ^ {n} t ^ {n} u ^ {2} end {align}}}$

который представляет собой идеальный квадрат, когда п даже.

Опять же, из теоремы Гильберта о неприводимости следует существование бесконечного множества специализаций, группы Галуа которых являются знакопеременными группами.

Жесткие группы

Предположим, что C₁, ..., C_п являются классами сопряженности конечной группы грамм, и А быть набором п- пары (грамм₁, ..., грамм_п) из грамм такой, что грамм_я в C_я и продукт грамм₁...грамм_п тривиально. потом А называется жесткий если он непустой, грамм действует на него транзитивно путем сопряжения, и каждый элемент А генерирует грамм.

Томпсон (1984) показал, что если конечная группа грамм имеет жесткий набор, то его часто можно реализовать как группу Галуа над циклотомическим расширением рациональных чисел. (Точнее, над циклотомическим расширением рациональных чисел, порожденных значениями неприводимых характеров грамм на классах сопряженности C_я.)

Это может быть использовано, чтобы показать, что многие конечные простые группы, включая группа монстров, являются группами Галуа расширений рациональных чисел. Группа монстров генерируется триадой элементов порядков. 2, 3, и 29. Все такие триады сопряжены.

Прототипом жесткости является симметричная группа S_п, который порождается п-цикл и транспозиция, произведением которых является (п − 1)-цикл. Конструкция в предыдущем разделе использовала эти генераторы для установления группы Галуа многочлена.

Конструкция с эллиптической модульной функцией

Позволять п > 1 быть любым целым числом. Решетка Λ в комплексной плоскости с отношением периодов τ имеет подрешетку Λ ′ с соотношением периодов nτ. Последняя решетка является одной из конечного набора подрешеток, переставляемых модульная группа PSL (2, Z), который основан на изменении базы для Λ. Позволять j обозначить эллиптическая модульная функция из Феликс Кляйн. Определите многочлен φ_п как продукт различий (Икс − j(Λ_я)) над сопряженными подрешетками. Как многочлен от Икс, φ_п имеет коэффициенты, которые являются полиномами над Q в j(τ).

На сопряженных решетках модулярная группа действует как PGL (2, Z/пZ). Следует, что φ_п имеет группу Галуа, изоморфную PGL (2, Z/пZ) над Q(J(τ)).

Использование теоремы Гильберта о неприводимости дает бесконечный (и плотный) набор рациональных чисел, специализирующихся на φ_п к полиномам с группой Галуа PGL (2, Z/пZ) над Q. Группы PGL (2, Z/пZ) включают бесконечно много неразрешимых групп.

Примечания

Рекомендации

• Александр М. Макбит, Расширения рациональных чисел с помощью группы Галуа PGL (2, Z_п), Бык. Лондонская математика. Soc., 1 (1969), 332-338.
• Томпсон, Джон Г. (1984), "Некоторые конечные группы, которые появляются как Gal L / K, где K⊆ Q (μ _п)", Журнал алгебры, 89 (2): 437–499, Дои:10.1016 / 0021-8693 (84) 90228-Х, МИСТЕР 0751155
• Гельмут Фёлькляйн, Группы как группы Галуа, введение, Издательство Кембриджского университета, 1996.
• Серр, Жан-Пьер (1992). Темы теории Галуа. Исследовательские заметки по математике. 1. Джонс и Бартлетт. ISBN 0-86720-210-6. Zbl 0746.12001.
• Гюнтер Малле, Генрих Мацат, Обратная теория Галуа, Springer-Verlag, 1999, ISBN 3-540-62890-8.
• Гюнтер Малле, Генрих Мацат, Обратная теория Галуа, 2-е издание, Springer-Verlag, 2018.
• Александр Шмидт, Кей Вингберг, Теорема Шафаревича о разрешимых группах как группах Галуа (смотрите также Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, МИСТЕР 1737196, Zbl 0948.11001)
• Кристиан У. Йенсен, Арне Ледет и Норико Юи, Общие многочлены, конструктивные аспекты обратной задачи Галуа, Издательство Кембриджского университета, 2002.