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Abbildung 1. ${Anzeigewinkel {APB}}$ und ${Anzeigewinkel {AQB}}$ sind ergänzende Winkel zur Sehne AB

EIN Akkord ist der Liniensegment dass zwei Punkte auf einem Kreis verbindet. Die durch Verlängerung dieses Segments erhaltene Linie heißt Sekantenlinie. Mittellinien eines Kreises sind auch Schnüre.

Figur 2. Der Satz von Thales besagt, dass der rote und der gelbe Winkel gleich sind (nämlich genau 90°).

Geschichte

Der Akkord war früher weit verbreitet in der Trigonometrie oder Geometrie. Im Gegensatz zur modernen Trigonometrie, die auf Sinus und Cosinus basiert, basierte die antike Trigonometrie auf dem Akkord. Die Sehne und ihr Winkel wurden aus einer Tabelle bestimmt. Die erste bekannte trigonometrische Tabelle wurde erstellt von Hipparchos. Aus dieser Tabelle könnte man die Länge der Sehne eines Zentralwinkels ermitteln ${displaystyle alpha }$ (Abbildung 3) lesen und umgekehrt. Hipparchos berechnete den Akkord für alle 7,5 Grad. Tabelle 1 ist ein Beispiel für eine Sehnentabelle für einen Kreis mit Radius 1 in Schritten von 10 Grad.

Im zweiten Jahrhundert n. Chr. diese Tabelle wurde verbessert von Claudius Ptolemäus aus Alexandria in seinem Buch Almagest. Er machte eine Akkordtabelle mit Schritten von 1/2 Grad. Hipparchos hätte ein zwölfbändiges Buch über verlorene Kordeln geschrieben. Vermutlich war damals viel über Schnüre bekannt. Der Akkord wurde durch die Sinus- und Cosinusfunktionen ersetzt, diese Funktionen wurden in Indien (um 450 n.

Eigenschaften

• Zwei Akkorde des gleichen Kreises haben den gleichen Abstand vom Centerdann und nur dann, wenn die kabel passen Länge haben.
• Das Mittelsenkrechte eines Akkords geht durch den Mittelpunkt des Kreises.
• ein Akkord AB teilt den Kreis in zwei Kreisbögen. als punkt p der eine und ein punkt Q der andere Kreisbogen dann haben die Winkel ${Anzeigewinkel {APB}}$ und ${Anzeigewinkel {AQB}}$ jeweils ein fester Wert. Darüber hinaus sind diese beiden Winkel ergänzend. Wenn die Sehne ein Durchmesser ist, dann sind beide Winkel richtig (Theorem von Thales).
• Gegeben zwei Schnüre AB und CD die sich in einem Punkt schneiden p (möglicherweise im Einklang mit den Schnüren). Dann gilt:

${Anzeigestil PAcdot PB=PCcdot PD.}$ = die Potenz des Punktes P relativ zum Kreis.

• Die Linie, die vom Mittelpunkt des Kreises senkrecht zur Sehne fällt, heißt Apothema erwähnt. Der Abstand von der Sehne zum Kreisrand wird als bezeichnet Pfeil, in anderen Sprachen die Sagitta. Die kombinierte Länge des Apothems und des Pfeils ist gleich dem Radius (Radius) des Kreises.

Figur 3. Jeder Akkord mit zugehörigem Mittenwinkel

• In jedem Kreis ist die Länge des Akkords ${displaystyle k}$ werden aus dem Radius berechnet ${Anzeigestil R}$ und der Mittenwinkel${displaystyle alpha }$:

${displaystyle k=2R,sin({ frac {1}{2}}alpha )}$

Akkordfunktion

Historisch gesehen ist die Länge des Akkords im Einheitskreis das Akkordfunktion${displaystyle mathrm {krd} }$ erwähnt, ist aber in Vergessenheit geraten. Es ist also definiert als

${displaystyle mathrm {krd} (alpha )=2sin left({ frac {1}{2}}alpha ight)}$

Die Länge ${displaystyle k}$ einer Sehne auf einem Zentralwinkel ${displaystyle alpha }$ in einem Kreis mit Radius ${Anzeigestil R}$ ist dann:

${displaystyle k=R,mathrm {krd} (alpha)}$

Aufgrund seiner einfachen Beziehung zum Sinus des Halbwinkels erfüllt der Akkord analoge Identitäten wie Sinus und Cosinus. Somit führt der Satz des Pythagoras zur Identität:

${displaystyle mathrm {krd} ^{2}(alpha ) mathrm {krd} ^{2}(180^{circ }-alpha )=4}$,

was im rechtwinkligen Dreieck mit den beiden Schnüren als rechteckige Seiten und dem Durchmesser als Hypotenuse.

Verallgemeinerung

Als Erweiterung wird das Wort Akkord auch für das verbindende Liniensegment zweier Punkte auf einem anderen verwendet Kurve als ein Kreis, zum Beispiel der Diagramm einer Funktion.^[1]

Auch in der Raumgeometrie der Begriff Akkord wird verwendet. Ein Akkord ist es Liniensegment dass zwei Punkte von a Raumkurve oder von a Oberfläche verbindet. Die Sehne ist (im Allgemeinen) nicht Teil der Raumkurve oder der Fläche.

Siehe auch

• Kreissegment
• Kreissektor
• Flügelakkord
• Pfeil (Geometrie)