WikiDer > Действие группы Ли

Lie group action

В дифференциальной геометрии a Действие группы Ли на коллекторе M это групповое действие по Группа Ли грамм на M это дифференцируемая карта; в частности, это непрерывное групповое действие. Вместе с действием группы Ли грамм, M называется грамм-многообразие. В типы орбит из грамм сформировать стратификацию M и это может быть использовано для понимания геометрии M.

Позволять быть групповым действием. Это действие группы Ли, если оно дифференцируемо. Так, в частности, отображение орбиты дифференцируема, и можно вычислить ее дифференциал в единице грамм:

.

Если Икс в , то его изображение под приведенным выше является касательный вектор в Икс и, варьируя Икс, получаем векторное поле на M; минус этого векторного поля называется фундаментальное векторное поле связана с Икс и обозначается . («Минус» гарантирует, что является гомоморфизмом алгебр Ли.) ядро карты можно легко показать (ср. Ложная переписка) быть алгеброй Ли стабилизатора (которая замкнута и, следовательно, является подгруппой Ли группы грамм.)

Позволять быть главным грамм-пучок. С грамм имеет тривиальные стабилизаторы в п, за ты в п, - изоморфизм на подпространство; это подпространство называется вертикальное подпространство. Фундаментальное векторное поле на п таким образом вертикальный.

В целом орбитальное пространство не допускает структуру многообразия, поскольку, например, оно может не быть хаусдорфовым. Однако если грамм компактно, то хаусдорфово, и если к тому же действие свободное, то является многообразием (на самом деле является основным грамм-пучок.)[1] Это следствие теорема среза. Если "свободное действие" ослабить до "конечного стабилизатора", вместо этого получится орбифолд (или же стек частных.)

Заменитель построения частного - это Строительство Бореля из алгебраической топологии: предположим грамм компактна и пусть обозначим универсальное расслоение, которое можно считать многообразием, поскольку грамм компактно, и пусть грамм действовать на по диагонали; действие бесплатное, так как это так по первому фактору. Таким образом, можно сформировать фактор-многообразие . Сужение, в частности, позволяет определить эквивариантные когомологии из M; а именно, один устанавливает

,

где правая часть обозначает когомологии де Рама, что имеет смысл, поскольку имеет структуру многообразия (отсюда и понятие дифференциальных форм).

Если грамм компактно, то любой грамм-многообразие допускает инвариантную метрику; т.е. риманова метрика, относительно которой грамм действует на M как изометрии.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ де Фариа, Эдсон; де Мело, Велингтон (2010), Математические аспекты квантовой теории поля, Кембриджские исследования по высшей математике, 127, Cambridge University Press, стр. 69, ISBN 9781139489805.
  • Мишель Оден, Действия тора на симплектических многообразиях, Бирхаузер, 2004