WikiDer > Мономиальный идеал - Википедия

В абстрактная алгебра, а мономиальный идеал является идеальный создано мономы в многомерном кольцо многочленов через поле.

А торический идеал - идеал, порожденный разностями одночленов (при условии, что идеал главный идеал). Аффинное или проективное алгебраическое многообразие определяемый торическим идеалом или однородным торическим идеалом, является аффинным или проективным торическое разнообразие, возможно ненормальный.

Определения и свойства

Позволять ${ Displaystyle mathbb {K}}$ быть полем и ${ Displaystyle R = mathbb {K} [х]}$ быть кольцо многочленов над ${ Displaystyle mathbb {K}}$ с п переменные ${ displaystyle x = x_ {1}, x_ {2}, dotsc, x_ {n}}$.

А одночлен в ${ displaystyle R}$ это продукт ${ displaystyle x ^ { alpha} = x_ {1} ^ { alpha _ {1}} x_ {2} ^ { alpha _ {2}} cdots x_ {n} ^ { alpha _ {n} }}$ для ппара ${ displaystyle alpha = ( alpha _ {1}, alpha _ {2}, dotsc, alpha _ {n}) in mathbb {N} ^ {n}}$ неотрицательных целых чисел.

Следующие три условия эквивалентны для идеальный ${ displaystyle I in R}$:

1. ${ displaystyle I}$ порождается мономами,
2. Если ${ displaystyle f = Sigma _ { alpha in mathbb {N} ^ {n}} c _ { alpha} x ^ { alpha} in I}$, тогда ${ displaystyle x ^ { alpha} in I}$, при условии, что ${ displaystyle c _ { alpha}}$ отличен от нуля.
3. ${ displaystyle I}$ является тор фиксированный, т.е. с учетом ${ displaystyle (c_ {1}, c_ {2}, dotsc, c_ {n}) in ( mathbb {K} ^ {*}) ^ {n}}$, тогда ${ displaystyle I}$ фиксируется под действием ${ displaystyle f (x_ {i}) = c_ {i} x_ {i}}$ для всех ${ displaystyle i}$.

Мы говорим что ${ Displaystyle I substeq mathbb {K} [х]}$ это мономиальный идеал если он удовлетворяет любому из этих эквивалентных условий.

Учитывая мономиальный идеал ${ displaystyle I = (m_ {1}, m_ {2}, dotsc, m_ {k})}$, ${ displaystyle f in mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, dotsc, x_ {n}]}$ в ${ displaystyle I}$ тогда и только тогда, когда каждый мономиальный идеальный член ${ displaystyle f_ {i}}$ из ${ displaystyle f}$ кратно одному ${ displaystyle m_ {j}}$.^[1]

Доказательство:Предполагать ${ displaystyle I = (m_ {1}, m_ {2}, dotsc, m_ {k})}$ и это ${ displaystyle f in mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, dotsc, x_ {n}]}$ в ${ displaystyle I}$. потом ${ displaystyle f = f_ {1} m_ {1} + f_ {2} m_ {2} + dotsm + f_ {k} m_ {k}}$, для некоторых ${ displaystyle f_ {i} in mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, dotsc, x_ {n}]}$.

Для всех ${ Displaystyle 1 leqslant я leqslant k}$, мы можем выразить каждый ${ displaystyle f_ {i}}$ как сумму мономов, так что ${ displaystyle f}$ можно записать как сумму кратных ${ displaystyle m_ {i}}$. Следовательно, ${ displaystyle f}$ будет суммой кратных одночленов хотя бы для одного из ${ displaystyle m_ {i}}$.

Наоборот, пусть ${ displaystyle I = (m_ {1}, m_ {2}, dotsc, m_ {k})}$ и пусть каждый одночлен в ${ displaystyle f in mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n}]}$ быть кратным одному из ${ displaystyle m_ {i}}$ в ${ displaystyle I}$. Тогда каждый мономиальный член в ${ displaystyle I}$ можно факторизовать из каждого монома в ${ displaystyle f}$. Следовательно ${ displaystyle f}$ имеет форму ${ displaystyle f = c_ {1} m_ {1} + c_ {2} m_ {2} + dotsm + c_ {k} m_ {k}}$ для некоторых ${ Displaystyle c_ {я} in mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, dotsc, x_ {n}]}$, как результат ${ displaystyle f in I}$.

Следующее иллюстрирует пример мономиальных и полиномиальных идеалов.

Позволять ${ displaystyle I = (xyz, y ^ {2})}$ тогда многочлен ${ displaystyle x ^ {2} yz + 3xy ^ {2}}$ в Я, так как каждый член кратен элементу в J, т.е. их можно переписать как ${ displaystyle x ^ {2} yz = x (xyz)}$ и ${ displaystyle 3xy ^ {2} = 3x (y ^ {2}),}$ оба в Я. Однако если ${ Displaystyle J = (xz ^ {2}, y ^ {2})}$, то этот многочлен ${ displaystyle x ^ {2} yz + 3xy ^ {2}}$ не в J, поскольку его члены не кратны элементам в Дж.

Мономиальные идеалы и диаграммы Юнга

Мономиальный идеал можно интерпретировать как Диаграмма Юнга. Предполагать ${ Displaystyle I in mathbb {R} [x, y]}$, тогда ${ displaystyle I}$ можно интерпретировать в терминах образующих минимальных мономов как ${ displaystyle I = (x ^ {a_ {1}} y ^ {b_ {1}}, x ^ {a_ {2}} y ^ {b_ {2}}, dotsc, x ^ {a_ {k}) } y ^ {b_ {k}})}$, куда ${ displaystyle a_ {1}> a_ {2}> dotsm> a_ {k} geq 0}$ и ${ displaystyle b_ {r}> dotsm> b_ {2}> b_ {1} geq 0}$. Минимальные мономиальные образующие ${ displaystyle I}$ можно увидеть как внутренние углы диаграммы Юнга. Минимальные генераторы определят, где мы будем рисовать диаграмму лестницы.^[2]Мономы не в ${ displaystyle I}$ лежат внутри лестницы, и эти одночлены образуют базис векторного пространства для кольцо частного ${ Displaystyle mathbb {R} [х, у] / I}$.

Рассмотрим следующий пример. Позволять ${ displaystyle I = (x ^ {3}, x ^ {2} y, y ^ {3}) subset mathbb {R} [x, y]}$ - мономиальный идеал. Тогда множество точек сетки ${ Displaystyle S = { {(3,0), (2,1), (0,3)} } subset mathbb {N} ^ {2}}$ соответствует минимальным мономиальным образующим ${ displaystyle x ^ {3} y ^ {0}, x ^ {2} y ^ {1}, x ^ {0} y ^ {3}}$ в ${ displaystyle I}$. Тогда, как показано на рисунке, розовая диаграмма Юнга состоит из одночленов, не входящих в ${ displaystyle I}$. Точки во внутренних углах диаграммы Юнга позволяют идентифицировать минимальные мономы ${ displaystyle x ^ {0} y ^ {3}, x ^ {2} y ^ {1}, x ^ {3} y ^ {0}}$ в ${ displaystyle I}$ как видно в зеленых квадратах. Следовательно, ${ displaystyle I = (y ^ {3}, x ^ {2} y, x ^ {3})}$.

Диаграмма Юнга и ее связь с мономиальным идеалом.

В общем, с любым набором узлов сетки мы можем связать диаграмму Юнга, так что мономиальный идеал строится путем определения внутренних углов, составляющих диаграмму лестницы; аналогично, имея мономиальный идеал, мы можем составить диаграмму Юнга, глядя на ${ displaystyle (a_ {i}, b_ {j})}$ и представляя их как внутренние углы диаграммы Юнга. Координаты внутренних углов будут представлять степени минимальных одночленов в ${ displaystyle I}$. Таким образом, мономиальные идеалы можно описать диаграммами Юнга разбиений.

Более того, ${ Displaystyle ( mathbb {C} ^ {*}) ^ {2}}$-действие на съемках ${ Displaystyle I подмножество mathbb {C} [x, y]}$ такой, что ${ Displaystyle тусклый _ { mathbb {C}} mathbb {C} [x, y] / I = n}$ как векторное пространство над ${ displaystyle mathbb {C}}$ имеет неподвижные точки, соответствующие только мономиальным идеалам, которые соответствуют перегородки размера п, которые отождествляются диаграммами Юнга с п коробки.

Мономиальный порядок и базис Грёбнера

А мономиальный порядок это хороший заказ ${ displaystyle geq}$ на множестве одночленов таких, что если ${ displaystyle a, m_ {1}, m_ {2}}$ являются мономами, то ${ displaystyle am_ {1} geq am_ {2}}$.

Посредством мономиальный порядок, мы можем сформулировать следующие определения многочлена от ${ Displaystyle mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, dotsc, x_ {n}]}$.

Определение^[1]

1. Считайте идеальным ${ Displaystyle I подмножество mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, dotsc, x_ {n}]}$, и фиксированный мономиальный порядок. В ведущий термин ненулевого многочлена ${ displaystyle f in mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, dotsc, x_ {n}]}$, обозначаемый ${ displaystyle LT (f)}$ является мономом максимального порядка от ${ displaystyle f}$ и ведущий срок ${ displaystyle f = 0}$ является ${ displaystyle 0}$.
2. В идеал ведущих терминов, обозначаемый ${ displaystyle LT (I)}$, является идеалом, порожденным главными членами каждого элемента в идеале, т. е. ${ Displaystyle LT (I) = (LT (f) середина f in I)}$.
3. А Основа Грёбнера для идеального ${ Displaystyle I подмножество mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, dotsc, x_ {n}]}$ конечный набор образующих ${ displaystyle { {g_ {1}, g_ {2}, dotsc, g_ {s}} }}$ за ${ displaystyle I}$ чьи ведущие термины образуют идеал всех ведущих терминов в ${ displaystyle I}$, т.е. ${ displaystyle I = (g_ {1}, g_ {2}, dotsc, g_ {s})}$ и ${ Displaystyle LT (I) = (LT (g_ {1}), LT (g_ {2}), dotsc, LT (g_ {s}))}$.

Обратите внимание, что ${ displaystyle LT (I)}$ в целом зависит от используемого заказа; например, если мы выберем лексикографический порядок на ${ Displaystyle mathbb {R} [х, у]}$ при условии Икс > у, тогда ${ displaystyle LT (2x ^ {3} y + 9xy ^ {5} +19) = 2x ^ {3} y}$, но если взять у > Икс тогда ${ displaystyle LT (2x ^ {3} y + 9xy ^ {5} +19) = 9xy ^ {5}}$.

Кроме того, мономы присутствуют на Основа Грёбнера и определить алгоритм деления для многочленов от нескольких переменных.

Обратите внимание, что для мономиального идеала ${ displaystyle I = (g_ {1}, g_ {2}, dotsc, g_ {s}) in mathbb {F} [x_ {1}, x_ {2}, dotsc, x_ {n}] }$, конечный набор образующих ${ displaystyle { {g_ {1}, g_ {2}, dotsc, g_ {s}} }}$ является базисом Грёбнера для ${ displaystyle I}$. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что любой многочлен ${ displaystyle f in I}$ можно выразить как ${ displaystyle f = a_ {1} g_ {1} + a_ {2} g_ {2} + dotsm + a_ {s} g_ {s}}$ за ${ displaystyle a_ {i} in mathbb {F} [x_ {1}, x_ {2}, dotsc, x_ {n}]}$. Тогда ведущий член ${ displaystyle f}$ является кратным для некоторых ${ displaystyle g_ {i}}$. Как результат, ${ displaystyle LT (I)}$ генерируется ${ displaystyle g_ {i}}$ так же.

Смотрите также

• Кольцо Стэнли – Рейснера
• Алгебра Ходжа

Сноски

Рекомендации

• Миллер, Эзра; Штурмфельс, Бернд (2005), Комбинаторная коммутативная алгебра, Тексты для выпускников по математике, 227, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-22356-8
• Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004), Абстрактная алгебра (третье изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-43334-7

дальнейшее чтение

• Кокс, Дэвид. «Лекции о торических многообразиях» (PDF). Лекция 3. §4 и §5.
• Штурмфельс, Бернд (1996). Базисы Грёбнера и выпуклые многогранники. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.
• Тейлор, Дайана Кан (1966). Идеалы, порожденные одночленами в R-последовательности (Кандидатская диссертация). Чикагский университет. МИСТЕР 2611561. ProQuest 302227382.
• Тесье, Бернар (2004). Мономиальные идеалы, биномиальные идеалы, полиномиальные идеалы (PDF).