WikiDer > Кольцо Стэнли – Рейснера - Википедия

Stanley–Reisner ring - Wikipedia

В математике Кольцо Стэнли – Рейснера, или же лицо кольцо, является частным от полиномиальная алгебра через поле бесквадратным одночлен идеальный. Такие идеалы описываются более геометрически в терминах конечных симплициальные комплексы. Конструкция кольца Стэнли – Райснера является основным инструментом в алгебраическая комбинаторика и комбинаторная коммутативная алгебра.[1] Его свойства были исследованы Ричард Стэнли, Мелвин Хохстери Джеральд Рейснер в начале 1970-х годов.

Определение и свойства

Учитывая абстрактный симплициальный комплекс Δ на множестве вершин {Икс1,...,Иксп} и поле kсоответствующие Кольцо Стэнли – Рейснера, или же лицо кольцо, обозначенный k[Δ], получается из кольца многочленов k[Икс1,...,Иксп] путем выделения идеального яΔ порожденные бесквадратными одночленами, соответствующими неграням Δ:

Идеал яΔ называется Идеал Стэнли – Райснера или лицо идеальное из Δ.[2]

Характеристики

  • Кольцо Стэнли – Райснера k[Δ] умножается на Zп, где степень переменной Икся это ястандартный базисный вектор ея изZп.
  • Как векторное пространство над k, кольцо Стэнли – Райснера кольца Δ допускает разложение в прямую сумму
чьи слагаемые k[Δ]σ имеют основу из одночленов (не обязательно бесквадратных), опирающихся на грани σ из Δ.
  • Обычный, или грубый, Ряд Гильберта k[Δ] получается из его мультиградуированного ряда Гильберта, устанавливая степень каждой переменной Икся равно 1:
куда d = dim (Δ) + 1 - размерность Крулля k[Δ] и жя это количество я-грани Δ. Если это записано в виде
то коэффициенты (час0, ..., часd) числителя образуют час-вектор симплициального комплекса Δ.

Примеры

Принято считать, что каждая вершина {Икся} является симплексом в Δ. Таким образом, ни одна из переменных не принадлежит идеалу Стэнли – РайснераяΔ.

  • Δ - это симплекс {Икс1,...,Иксп}. потом яΔ - нулевой идеал и
является алгеброй многочленов от п переменные надk.
  • Симплициальный комплекс Δ состоит из п изолированные вершины {Икс1}, ..., {Иксп}. потом
а кольцо Стэнли – Райснера - это следующее усечение кольца многочленов в п переменные над k:
  • Обобщая предыдущие два примера, пусть Δ - d-скелет симплекса {Икс1,...,Иксп}, поэтому он состоит из всех (d + 1) -элементные подмножества {Икс1,...,Иксп}. Тогда кольцо Стэнли – Райснера следует за усечением кольца многочленов в п переменные над k:
  • Предположим, что абстрактный симплициальный комплекс ∆ является симплициальным джойном абстрактных симплициальных комплексов ∆ на Икс1,...,Иксм и Δ′′ на Иксм+1,...,Иксп. Тогда кольцо Стэнли – Райснера кольца ∆ является тензорное произведение над k колец Стэнли – Райснера кольца ∆ и Δ′′:

Условие Коэна – Маколея и гипотеза о верхней оценке

Кольцо для лица k[Δ] - мультиградуированная алгебра над k все компоненты которого относительно тонкой градуировки имеют размерность не больше 1. Следовательно, его гомологии можно изучать комбинаторными и геометрическими методами. Абстрактный симплициальный комплекс Δ называется Коэн – Маколей над k если его лицевое кольцо - Кольцо Коэна – Маколея.[3] В своей диссертации 1974 г. Джеральд Рейснер дал полную характеристику таких комплексов. Вскоре за этим последовали более точные гомологические результаты о лицевых кольцах Мелвина Хохстера. Затем Ричард Стэнли нашел способ доказать Гипотеза о верхней границе за симплициальные сферы, который был открыт в то время, используя конструкцию лицевого кольца и критерий Рейснера Коэна – Маколея. Идея Стэнли переводить сложные догадки на алгебраическая комбинаторика в заявления от коммутативная алгебра и доказывая их с помощью гомологический методы были источником быстро развивающейся области комбинаторная коммутативная алгебра.

Критерий Рейснера

Симплициальный комплекс ∆ - это Коэна – Маколея над k тогда и только тогда, когда для всех симплексов σ ∈ Δ, все приведенные симплициальные гомологии группы связи σ в Δ с коэффициентами в k равны нулю, кроме верхнего размерного:[3]

Затем результат Мункреса показывает, что коэново-маколей Δ над k является топологическим свойством: оно зависит только от гомеоморфизм класс симплициального комплекса Δ. А именно, пусть | Δ | быть геометрическая реализация из Δ. Тогда обращение в нуль групп симплициальных гомологий в критерии Рейснера эквивалентно следующему утверждению о приведенной и относительной особые гомологии группы | Δ |:

В частности, если комплекс Δ является симплициальная сфера, то есть | Δ | гомеоморфен сфера, то это Коэн – Маколей над любым полем. Это ключевой шаг в доказательстве Стэнли гипотезы о верхней границе. Напротив, существуют примеры симплициальных комплексов, коэн-маколей которых зависит от характеристики поляk.

Рекомендации

  1. ^ Миллер и Штурмфельс (2005) стр.19
  2. ^ Миллер и Штурмфельс (2005), стр. 3-5.
  3. ^ а б Миллер и Штурмфельс (2005) стр.101
  • Мелвин Хохстер, Кольца Коэна-Маколея, комбинаторика и симплициальные комплексы. Теория колец, II (Proc. Second Conf., Univ. Oklahoma, Norman, Okla., 1975), pp. 171–223. Конспект лекций в Pure и Appl. Math., Vol. 26, Деккер, Нью-Йорк, 1977.
  • Стэнли, Ричард (1996). Комбинаторика и коммутативная алгебра. Успехи в математике. 41 (Второе изд.). Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston. ISBN 0-8176-3836-9. Zbl 0838.13008.
  • Брунс, Винфрид; Герцог, Юрген (1993). Кольца Коэна – Маколея. Кембриджские исследования в области высшей математики. 39. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-41068-1. Zbl 0788.13005.
  • Миллер, Эзра; Штурмфельс, Бернд (2005). Комбинаторная коммутативная алгебра. Тексты для выпускников по математике. 227. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-23707-0. Zbl 1090.13001.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка