WikiDer > Частичный волновой анализ - Википедия

Эта статья не цитировать любой источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удаленный. Найдите источники: «Частичный волновой анализ» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Август 2020 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Частичный волновой анализ, в контексте квантовая механика, относится к способу решения рассеяние проблемы, разложив каждую волну на составляющие угловой момент компоненты и решения с использованием граничные условия.

Предварительная теория рассеяния

Следующее ниже описание следует каноническому способу введения элементарной теории рассеяния. Устойчивый пучок частиц рассеивается на сферически-симметричном потенциале ${ Displaystyle V (г)}$, который является короткодействующим, поэтому на больших расстояниях ${ Displaystyle г к infty}$, частицы ведут себя как свободные частицы. В принципе, любую частицу следует описывать волновой пакет но мы описываем рассеяние плоская волна путешествие по оси z ${ Displaystyle ехр (ikz)}$ вместо этого, потому что волновые пакеты расширяются в виде плоских волн, и это математически проще. Поскольку луч включается на время, большее, чем время взаимодействия частиц с рассеивающим потенциалом, предполагается установившееся состояние. Это означает, что стационарное уравнение Шредингера для волновой функции ${ Displaystyle Пси ( mathbf {r})}$ представляющий пучок частиц, следует решить:

${ displaystyle left [- { frac { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} + V (r) right] Psi ( mathbf {r}) = E Psi ( mathbf {r})}$

Мы делаем следующие анзац:

${ Displaystyle Psi ( mathbf {r}) = Psi _ {0} ( mathbf {r}) + Psi _ { mathrm {s}} ( mathbf {r})}$

куда ${ Displaystyle Psi _ {0} ( mathbf {r}) propto exp (ikz)}$ - приходящая плоская волна и ${ Displaystyle Psi _ { mathrm {s}} ( mathbf {r})}$ - рассеянная часть, возмущающая исходную волновую функцию. Это асимптотика ${ Displaystyle Psi _ { mathrm {s}} ( mathbf {r})}$ это представляет интерес, поскольку наблюдения вблизи центра рассеяния (например, ядра атома) в большинстве случаев невозможны, а обнаружение частиц происходит вдали от источника. На больших расстояниях частицы должны вести себя как свободные частицы и ${ Displaystyle Psi _ { mathrm {s}} ( mathbf {r})}$ следовательно, должно быть решением свободного уравнения Шредингера. Это говорит о том, что она должна иметь форму, аналогичную плоской волне, без каких-либо физически бессмысленных частей. Поэтому мы исследуем расширение плоской волны:

${ displaystyle e ^ {ikz} = sum _ { ell = 0} ^ { infty} (2 ell +1) i ^ { ell} j _ { ell} (kr) P _ { ell} ( cos theta)}$.

Сферический Функция Бесселя ${ displaystyle j _ { ell} (kr)}$ асимптотически ведет себя как

${ Displaystyle j _ { ell} (kr) к { frac {1} {2ikr}} left ( exp (i (kr-l pi / 2)) - exp (-i (kr-l pi / 2)) right).}$

Это соответствует уходящей и входящей сферической волне. Для функции рассеянной волны ожидаются только уходящие части. Поэтому мы ожидаем ${ Displaystyle Psi _ { mathrm {s}} ( mathbf {r}) propto exp (ikr) / r}$ на больших расстояниях и зададим асимптотику рассеянной волны равной

${ displaystyle Psi _ { mathrm {s}} ( mathbf {r}) to f ( theta, k) { frac { exp (ikr)} {r}}}$

куда ${ Displaystyle е ( тета, к)}$ так называемый амплитуда рассеяния, который в данном случае зависит только от угла места ${ displaystyle theta}$ и энергии, что дает следующее асимптотическое выражение для всей волновой функции:

${ Displaystyle Psi ( mathbf {r}) к Psi ^ {(+)} ( mathbf {r}) = exp (ikz) + f ( theta, k) { frac { exp ( ikr)} {r}}}$.

Частичное волновое расширение

В случае сферически-симметричного потенциала ${ Displaystyle В ( mathbf {г}) = В (г)}$волновую функцию рассеяния можно разложить по сферические гармоники которые сводятся к Полиномы Лежандра из-за азимутальной симметрии (нет зависимости от ${ displaystyle phi}$):

${ displaystyle Psi ( mathbf {r}) = sum _ { ell = 0} ^ { infty} { frac {u _ { ell} (r)} {r}} P _ { ell} ( cos theta)}$.

В стандартной задаче рассеяния предполагается, что входящий луч принимает форму плоской волны с волновым числом k, которые можно разложить на парциальные волны с помощью расширение плоской волны с точки зрения сферические функции Бесселя и Полиномы Лежандра:

${ Displaystyle psi _ { текст {in}} ( mathbf {r}) = e ^ {ikz} = sum _ { ell = 0} ^ { infty} (2 ell +1) я ^ { ell} j _ { ell} (kr) P _ { ell} ( cos theta)}$

Здесь мы приняли сферическую систему координат, в которой z- ось совмещена с направлением луча. Радиальная часть этой волновой функции состоит исключительно из сферической функции Бесселя, которую можно переписать в виде суммы двух сферические функции Ганкеля:

${ Displaystyle j _ { ell} (kr) = { frac {1} {2}} left (h _ { ell} ^ {(1)} (kr) + h _ { ell} ^ {(2) } (kr) right)}$

Это имеет физическое значение: час_ℓ⁽²⁾ асимптотически (т.е. при больших р) ведет себя как я^−(ℓ+1)е^икр/(кр) и, таким образом, является уходящей волной, тогда как час_ℓ⁽¹⁾ асимптотически ведет себя как я^ℓ+1е^−ikr/(кр) и, следовательно, является приходящей волной. На приходящую волну не влияет рассеяние, а на исходящую волну влияет фактор, известный как парциальная волна S-матрица элемент S_ℓ:

${ displaystyle { frac {u _ { ell} (r)} {r}} { stackrel {r to infty} { longrightarrow}} { frac {i ^ { ell} k} { sqrt {2 pi}}} left (h _ { ell} ^ {(1)} (kr) + S _ { ell} h _ { ell} ^ {(2)} (kr) right)}$

куда ты_ℓ(р)/р - радиальная составляющая реальной волновой функции. В фазовый сдвиг рассеяния δ_ℓ определяется как половина фазы S_ℓ:

${ Displaystyle S _ { ell} = е ^ {2i delta _ { ell}}}$

Если поток не теряется, то |S_ℓ| = 1 и, следовательно, фазовый сдвиг реален. Обычно это так, если потенциал не имеет мнимой поглощающей составляющей, которая часто используется в феноменологические модели для моделирования потерь из-за других каналов реакции.

Следовательно, полная волновая функция асимптотически равна

${ displaystyle psi ( mathbf {r}) { stackrel {r to infty} { longrightarrow}} sum _ { ell = 0} ^ { infty} (2 ell +1) i ^ { ell} { frac {h _ { ell} ^ {(1)} (kr) + S _ { ell} h _ { ell} ^ {(2)} (kr)} {2}} P _ { ell} ( cos theta)}$

Вычитание ψ_в дает асимптотическую исходящую волновую функцию:

${ displaystyle psi _ { text {out}} ( mathbf {r}) { stackrel {r to infty} { longrightarrow}} sum _ { ell = 0} ^ { infty} ( 2 ell +1) i ^ { ell} { frac {S _ { ell} -1} {2}} h _ { ell} ^ {(2)} (kr) P _ { ell} ( cos theta)}$

Используя асимптотику сферических функций Ганкеля, получаем:

${ displaystyle psi _ { text {out}} ( mathbf {r}) { stackrel {r to infty} { longrightarrow}} { frac {e ^ {ikr}} {r}} сумма _ { ell = 0} ^ { infty} (2 ell +1) { frac {S _ { ell} -1} {2ik}} P _ { ell} ( cos theta)}$

Поскольку амплитуда рассеяния ж(θ, k) определяется через:

${ displaystyle psi _ { text {out}} ( mathbf {r}) { stackrel {r to infty} { longrightarrow}} { frac {e ^ {ikr}} {r}} f ( theta, k)}$

Следует, что

${ displaystyle f ( theta, k) = sum _ { ell = 0} ^ { infty} (2 ell +1) { frac {S _ { ell} -1} {2ik}} P_ { ell} ( cos theta) = sum _ { ell = 0} ^ { infty} (2 ell +1) { frac {e ^ {i delta _ { ell}} sin дельта _ { ell}} {k}} P _ { ell} ( cos theta)}$

и таким образом дифференциальное сечение дан кем-то

${ displaystyle { frac {d sigma} {d Omega}} = | f ( theta, k) | ^ {2} = { frac {1} {k ^ {2}}} left | sum _ { ell = 0} ^ { infty} (2 ell +1) e ^ {i delta _ { ell}} sin delta _ { ell} P _ { ell} ( cos тета) право | ^ {2}}$

Это работает для любого краткосрочного взаимодействия. Для дальнодействующих взаимодействий (таких как кулоновское взаимодействие) суммирование по ℓ может не сходиться. Общий подход к таким задачам состоит в рассмотрении кулоновского взаимодействия отдельно от короткодействующего взаимодействия, поскольку кулоновская проблема может быть решена точно в терминах Кулоновские функции, которые берут на себя роль функций Ганкеля в этой задаче.

Рекомендации

• Гриффитс, Дж. Д. (1995). Введение в квантовую механику. Пирсон Прентис Холл. ISBN 0-13-111892-7.

внешняя ссылка

• Частичный волновой анализ для чайников
• Частично-волновой анализ рассеяния.