WikiDer > Период (алгебраическая геометрия)

Period (algebraic geometry)

В алгебраическая геометрия, а период это номер что можно выразить как интеграл из алгебраическая функция над алгебраической областью. Суммы и произведения периодов оставаться периоды, поэтому периоды образуют звенеть.

Максим Концевич и Дон Загир (2001) дал обзор периодов и высказал некоторые предположения о них.

Определение

Действительное число называется периодом, если это разность объемов областей евклидова пространства, заданная формулой многочлен неравенство с рациональными коэффициентами.^{[требуется разъяснение]} В более общем смысле комплексное число называется периодом, если его действительная и мнимая части являются периодами.

Периоды - это числа, которые возникают как интегралы от алгебраических функций по областям, которые описываются алгебраическими уравнениями или неравенствами с рациональными коэффициентами (Вайсштейн 2019). Периоды могут быть определены как комплексные числа, действительная и мнимая части которых являются значениями абсолютно сходящийся интегралы рациональные функции с рациональными коэффициентами над областями в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ данный многочлен неравенство с рациональными коэффициентами (Концевич и Загир 2001, п. 3). Коэффициенты рациональных функций и полиномов могут быть обобщены на алгебраические числа, поскольку интегралы и иррациональные алгебраические числа выражаются через площади подходящих областей.

Примеры

Помимо алгебраических чисел, периодами известны следующие числа:

В натуральный логарифм любого положительного алгебраического числа а, который ${displaystyle int _ {1} ^ {a} {frac {1} {x}} mathrm {d} x}$
$π$ ${displaystyle = int _ {0} ^ {1} {frac {4} {x ^ {2} +1}} mathrm {d} x}$
Эллиптические интегралы с рациональными аргументами
Все дзета-константы (в Дзета-функция Римана целого числа) и несколько дзета-значений
Особые ценности гипергеометрические функции при алгебраических аргументах
Γ(п/q)^q для натуральных чисел п и q.

Пример действительного числа, не являющегося периодом, дается формулой Постоянная Чейтина Ω. Любой другой невычислимый number также дает пример действительного числа, которое не является точкой. В настоящее время нет естественных примеров вычислимые числа которые, как было доказано, не являются периодами, однако можно построить искусственные примеры (Ёсинага 2008). Правдоподобные кандидаты на числа, не являющиеся точками, включают е, 1/ $π$ , и Константа Эйлера – Маскерони γ.

Свойства и мотивация

Периоды предназначены для преодоления разрыва между алгебраические числа и трансцендентные числа. Класс алгебраических чисел слишком узок, чтобы включать много общих математические константы, а набор трансцендентных чисел не счетный, и его члены обычно не вычислимый.

Набор всех периодов счетный, а все периоды вычислимый (Палатка 2010), и в частности определяемый.

Домыслы

Многие из постоянных, известных как периоды, также задаются интегралами от трансцендентные функции. Концевич и Загьер отмечают, что «не существует универсального правила, объясняющего, почему определенные бесконечные суммы или интегралы трансцендентных функций являются периодами».

Концевич и Загьер предположили, что если период задается двумя разными интегралами, то каждый интеграл может быть преобразован в другой, используя только линейность интегралов, изменения переменных, а Формула Ньютона – Лейбница

{displaystyle int _ {a} ^ {b} f '(x), dx = f (b) -f (a)}

(или, в более общем смысле, Формула Стокса).

Полезное свойство алгебраических чисел состоит в том, что равенство между двумя алгебраическими выражениями может быть определено алгоритмически. Из гипотезы Концевича и Загьера следует, что равенство периодов также разрешимо: неравенство вычислимых вещественных чисел известен рекурсивно перечислимый; и наоборот, если два интеграла согласуются, то алгоритм может подтвердить это, испробовав все возможные способы преобразования одного из них в другой.

Не ожидается, что Число Эйлера е и Константа Эйлера – Маскерони γ - периоды. Сроки могут быть продлены до экспоненциальные периоды разрешив произведение алгебраической функции и экспоненциальная функция алгебраической функции как подынтегральное выражение. Это расширение включает в себя все алгебраические степени е, то гамма-функция рациональных аргументов и ценностей Функции Бесселя. Если, кроме того, добавить постоянную Эйлера γ как новый период, то, согласно Концевичу и Загьеру, «все классические константы являются периодами в соответствующем смысле».

Смотрите также

внешняя ссылка

PlanetMath: Период

v т е Число системы
Счетные множества	Натуральные числа ( ${displaystyle mathbb {N}}$ ) Целые числа ( ${displaystyle mathbb {Z}}$ ) Рациональное число ( ${displaystyle mathbb {Q}}$ ) Конструируемые числа Алгебраические числа ( ${displaystyle mathbb {A}}$ ) Периоды Вычислимые числа Определимые действительные числа Арифметические числа Гауссовские целые числа
Композиционные алгебры	Алгебры с делением: Действительные числа ( ${displaystyle mathbb {R}}$ ) Сложные числа ( ${displaystyle mathbb {C}}$ ) Кватернионы ( ${displaystyle mathbb {H}}$ ) Октонионы ( ${displaystyle mathbb {O}}$ )
Расколоть типы	над ${displaystyle mathbb {R}}$ : Сплит-комплексные числа Сплит-кватернионы Сплит-октонионы над ${displaystyle mathbb {C}}$ : Бикомплексные числа Бикватернионы Биоктонионы
Другой гиперкомплекс	Двойные числа Двойные кватернионы Двойные комплексные числа Гиперболические кватернионы Седенионы ( ${displaystyle mathbb {S}}$ ) Сплит-бикватернионы Мультикомплексные номера Геометрическая алгебра Алгебра физического пространства Алгебра пространства-времени
Другие типы	Количественные числительные Иррациональные числа Нечеткие числа Гиперреальные числа Поле Леви-Чивита Сюрреалистические числа Трансцендентные числа Порядковые номера п-адический числа (п-адический соленоиды) Сверхъестественные числа Сверхреальные числа
Классификация Список

Navigation