WikiDer > Псевдоевклидово пространство

В математика и теоретическая физика, а псевдоевклидово пространство является конечнымразмерный настоящий п-Космос вместе с не-выродиться квадратичная форма q. Такая квадратичная форма может при соответствующем выборе основа (е₁, ..., е_п), применяется к вектору Икс = Икс₁е₁ + ... + Икс_пе_п, давая

${displaystyle q (x) = left (x_ {1} ^ {2} + ldots + x_ {k} ^ {2} ight) -left (x_ {k + 1} ^ {2} + ldots + x_ {n}) ^ {2} ight)}$ который называется скалярный квадрат вектора Икс.^[1]:3

Для Евклидовы пространства, k = п, что означает, что квадратичная форма положительно определена.^[2] Когда 0 ≠ k ≠ п, q является изотропная квадратичная форма. Обратите внимание, что если 1 ≤ я ≤ k и k < j ≤ п, тогда q(е_я + е_j) = 0, так что е_я + е_j это нулевой вектор. В псевдоевклидовом пространстве с k ≠ п, в отличие от евклидова пространства, существуют векторы с отрицательный скалярный квадрат.

Как и в случае с термином Евклидово пространство, период, термин псевдоевклидово пространство может использоваться для обозначения аффинное пространство или векторное пространство в зависимости от автора, причем последний альтернативно упоминается как псевдоевклидово векторное пространство^[3] (увидеть точечно-векторное различие).

Геометрия

Геометрия псевдоевклидова пространства согласована, несмотря на то, что некоторые свойства евклидова пространства не применяются, в первую очередь то, что оно не является метрическое пространство как объяснено ниже. В аффинная структура неизменна, а значит, и концепции линия, самолет и, как правило, аффинное подпространство (плоский), а также отрезки линии.

Положительные, нулевые и отрицательные скалярные квадраты

п = 3, k 1 или 2 в зависимости от выбора знак из q

А нулевой вектор - вектор, квадратичная форма которого равна нулю. В отличие от евклидова пространства, такой вектор может быть ненулевым, и в этом случае он самозатратится.ортогональный.Если квадратичная форма неопределенна, псевдоевклидово пространство имеет линейный конус нулевых векторов, заданных { Икс : q(Икс) = 0 }. Когда псевдоевклидово пространство предоставляет модель для пространство-время (увидеть ниже) нулевой конус называется световой конус происхождения.

Нулевой конус разделяет два открытые наборы,^[4] соответственно, для которых q(Икс) > 0 и q(Икс) < 0. Если k ≥ 2, то множество векторов, для которых q(Икс) > 0 является связанный. Если k = 1, то он состоит из двух непересекающихся частей, одна из которых Икс₁ > 0 и еще один с Икс₁ < 0. Аналогичные утверждения можно сделать для векторов, для которых q(Икс) < 0 если k заменяется на п − k.

Интервал

Квадратичная форма q соответствует квадрату вектора в евклидовом случае. Чтобы определить векторная норма (и расстояние) в инвариантный манера, нужно получить квадратные корни скалярных квадратов, что, возможно, приводит к воображаемый расстояния; увидеть квадратный корень из отрицательных чисел. Но даже для треугольник с положительными скалярными квадратами всех трех сторон (квадратные корни которых вещественные и положительные), неравенство треугольника не держит в целом.

Следовательно, условия норма и расстояние избегаются в псевдоевклидовой геометрии, которую можно заменить на скалярный квадрат и интервал соответственно.

Хотя для кривая чья касательные векторы у всех скалярные квадраты одного знака, длина дуги определено. Он имеет важные приложения: см. подходящее время, Например.

Вращения и сферы

В вращения группа такого пространства неопределенная ортогональная группа O (q), также обозначается как O (k, п − k) без ссылки на конкретную квадратичную форму.^[5] Такие «повороты» сохраняют форму q и, следовательно, скалярный квадрат каждого вектора, включая положительный он, нулевой или отрицательный.

В то время как евклидово пространство имеет единичная сферапсевдоевклидово пространство имеет гиперповерхности { Икс : q(Икс) = 1 } и { Икс : q(Икс) = −1 }. Такая гиперповерхность, называемая квазисфера, сохраняется соответствующей неопределенной ортогональной группой.

Симметричная билинейная форма

Квадратичная форма q рождает симметричная билинейная форма определяется следующим образом:

${displaystyle langle x, yangle = {frac {1} {2}} [q (x + y) -q (x) -q (y)] = left (x_ {1} y_ {1} + ldots + x_ { k} y_ {k} ight) -левый (x_ {k + 1} y_ {k + 1} + ldots + x_ {n} y_ {n} ight).}$

Квадратичная форма может быть выражена через билинейную форму: q(Икс) = ⟨Икс, Икс⟩.

Когда ⟨Икс, у⟩ = 0, тогда Икс и у находятся ортогональный векторы псевдоевклидова пространства.

Эту билинейную форму часто называют скалярное произведение, а иногда как "внутренний продукт" или "скалярный продукт", но он не определяет внутреннее пространство продукта и он не обладает свойствами скалярное произведение евклидовых векторов.

Если Икс и у ортогональны и q(Икс)q(у) < 0, тогда Икс является гиперболо-ортогональный к у.

В стандартная основа настоящих п-пространство ортогональный. Орто нетнормальный базисов в псевдоевклидовом пространстве, для которых билинейная форма неопределенна, поскольку ее нельзя использовать для определения векторная норма.

Подпространства и ортогональность

Для подпространства (положительной размерности)^[6] U псевдоевклидова пространства, когда квадратичная форма q является ограниченный к U, возможны следующие три случая:

1. q|_U либо положительный или отрицательный определенный. Потом, U по сути Евклидово (до знака q).
2. q|_U неопределенное, но невырожденное. Потом, U само по себе псевдоевклидово. Это возможно только если тусклый U ≥ 2; если тусклыйU = 2, что означает чем U это самолет, то он называется гиперболическая плоскость.
3. q|_U является вырожденным.

Одно из самых неприятных свойств (для евклидовой интуиции) псевдоевклидовых векторов и плоскостей - это их ортогональность. Когда два ненулевых Евклидовы векторы ортогональны, они не коллинеарен. Пересечения любых евклидовых линейное подпространство с этими ортогональное дополнение это {0} подпространство. Но из определения из предыдущего пункта сразу следует, что любой вектор ν нулевого скалярного квадрата ортогонален сам себе. Следовательно изотропная линия N = ⟨ν⟩ созданный нулевой вектор ν является подмножеством своего ортогонального дополнения N^⊥.

Формальное определение ортогонального дополнения векторного подпространства в псевдоевклидовом пространстве дает совершенно четко определенный результат, удовлетворяющий равенству тусклыйU + тусклыйU^⊥ = п из-за невырожденности квадратичной формы. Это просто условие

U ∩ U^⊥ = {0} или, что то же самое, U + U^⊥ = все пространство,

которое может быть нарушено, если подпространство U содержит нулевое направление.^[7] В то время как подпространства сформировать решетку, как и в любом векторном пространстве, это ⊥ операция не ортодополнение, в отличие от внутренние пространства продукта.

Для подпространства N составлен полностью нулевых векторов (что означает, что скалярный квадрат q, ограниченный N, равно 0) всегда выполняется:

N ⊂ N^⊥ или, что то же самое, N ∩ N^⊥ = N.

Такое подпространство может иметь до мин (k, п − k) Габаритные размеры.^[8]

Для (положительного) евклидова k-подпространство его ортогональным дополнением является (п − k)-мерное отрицательное «евклидово» подпространство, и наоборот. (d₊ + d₋ + d₀)-мерное подпространство U состоящий из d₊ положительный и d₋ отрицательные размеры (см. Закон инерции Сильвестра для пояснения), его ортогональное «дополнение» U^⊥ имеет (k − d₊ − d₀) положительный и (п − k − d₋ − d₀) отрицательные размеры, а остальные d₀ они вырождены и образуют U ∩ U^⊥ пересечение.

Закон параллелограмма и теорема Пифагора

В закон параллелограмма принимает форму

${displaystyle q (x) + q (y) = {frac {1} {2}} (q (x + y) + q (x-y)).}$

С использованием квадрат суммы тождество, для произвольного треугольника можно выразить скалярный квадрат третьей стороны из скалярных квадратов двух сторон и их произведения билинейной формы:

${displaystyle q (x + y) = q (x) + q (y) + 2langle x, yangle.}$

Это демонстрирует, что для ортогональных векторов псевдоевклидов аналог теорема Пифагора держит:

${displaystyle langle x, yangle = 0Rightarrow q (x) + q (y) = q (x + y).}$

Угол

Как правило, абсолютное значение |⟨Икс, у⟩| билинейной формы на двух векторах может быть больше, чем √ |q(Икс)q(у)| , равно ему или меньше. Это вызывает аналогичные проблемы с определением угол (увидеть Точечное произведение § Геометрическое определение) так как появился выше для расстояний.

Если k = 1 (только один положительный член в q), то для векторов положительного скалярного квадрата:

${displaystyle | langle x, yangle | geq {sqrt {q (x) q (y)}} ,,}$

что позволяет определить гиперболический угол, аналог угла между этими векторами через обратный гиперболический косинус:

${displaystyle operatorname {arccosh} {frac {| langle x, yangle |} {sqrt {q (x) q (y)}}} ,.}$ ^[9]

Это соответствует расстоянию на (п − 1)-размерный гиперболическое пространство. Это известно как быстрота в контексте теории относительности обсуждались ниже. В отличие от евклидова угла принимает значения от [0, +∞) и равно 0 для антипараллельный векторы.

Нет разумного определения угла между нулевым вектором и другим вектором (нулевым или ненулевым).

Алгебра и тензорное исчисление

Как и евклидовы пространства, каждое псевдоевклидово векторное пространство порождает Алгебра Клиффорда. В отличие от свойств выше, где замена q к −q изменил номера, но не геометрия, изменение знака квадратичной формы приводит к отдельной алгебре Клиффорда, так, например, Cl_1,2(р) и Cl_2,1(р) не изоморфны.

Как и над любым векторным пространством, существуют псевдоевклидовы тензоры. Как и в случае с евклидовой структурой, есть повышение и понижение показателей операторов, но, в отличие от случая с Евклидовы тензоры, есть нет баз, где эти операции не изменяют значения компонентов. Если есть вектор v^βсоответствующие ковариантный вектор является:

${displaystyle v_ {alpha} = q_ {alpha eta} v ^ {eta} ,,}$

и со стандартной формой

${displaystyle q_ {alpha eta} = {egin {pmatrix} I_ {k imes k} & 0 0 & -I _ {(n-k) imes (n-k)} конец {pmatrix}}}$

первый k компоненты v_α численно такие же, как у v^β, а остальные п − k имеют противоположные знаки.

Соответствие контравариантных и ковариантных тензоров составляет тензорное исчисление на псевдоримановы многообразия обобщение одного на римановых многообразиях.

Примеры

Очень важным псевдоевклидовым пространством является Пространство Минковского, который представляет собой математическую среду, в которой Альберт Эйнштейнтеория специальная теория относительности сформулирован. Для пространства Минковского, п = 4 и k = 3^[10] так что

${displaystyle q (x) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2},}$

Геометрия, связанная с этой псевдометрикой, была исследована Пуанкаре.^[11][12] Его группа вращения - это Группа Лоренца. В Группа Пуанкаре включает также переводы и играет ту же роль, что и Евклидовы группы обычных евклидовых пространств.

Еще одно псевдоевклидово пространство - это самолет z = Икс + yj состоящий из разделенные комплексные числа, снабженный квадратичной формой

${displaystyle lVert zVert = zz ^ {*} = z ^ {*} z = x ^ {2} -y ^ {2}.}$

Это простейший случай неопределенного псевдоевклидова пространства (п = 2, k = 1) и единственный, где нулевой конус рассекает пространство на четыре открытые наборы. Группа ТАК⁺(1, 1) состоит из так называемых гиперболические вращения.

Смотрите также

• Псевдориманово многообразие
• Гиперболическое уравнение
• Модель гиперболоида
• Paravector

Сноски

использованная литература

• Картан, Эли (1981) [1938], Теория спиноров, Нью-Йорк: Dover Publications, п. 3, ISBN 978-0-486-64070-9, Г-Н 0631850
• Вернер Гройб (1963) Линейная алгебра, 2-е издание, §12.4 Псевдоевклидовы пространства, стр. 237–49, Springer-Verlag.
• Уолтер Нолл (1964) «Евклидова геометрия и хронометрия Минковского», Американский математический ежемесячный журнал 71:129–44.
• Новиков, С.П .; Фоменко, А.Т .; [перевод с русского М. Цаплиной] (1990). Основные элементы дифференциальной геометрии и топологии. Дордрехт; Бостон: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-1009-8.
• Секерес, Питер (2004). Курс современной математической физики: группы, гильбертово пространство и дифференциальная геометрия. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-82960-7.
• Шафаревич, И.; Ремизов А.О. (2012). Линейная алгебра и геометрия. Springer. ISBN 978-3-642-30993-9.

внешние ссылки

• Д.Д. Соколов (составитель), Псевдоевклидово пространство, Энциклопедия математики