WikiDer > Метод Ранкина – Сельберга

В математика, то Метод Ранкина – Сельберга, представлен (Ранкин 1939) и Сельберг (1940), также известная как теория интегральных представлений L-функции, это метод прямого построения и аналитически продолжающийся несколько важных примеров автоморфный L-функции. Некоторые авторы резервируют термин для особого типа интегрального представления, а именно тех, которые включают Серия Эйзенштейна. Это был один из самых мощных методов изучения Программа Langlands.

История

Теория в некотором смысле восходит к Бернхард Риманн, построивший свой дзета-функция как Преобразование Меллина из Тета-функция Якоби. Риман использовал асимптотика из тета-функция для получения аналитического продолжения, а автоморфия тета-функции, чтобы доказать функциональное уравнение. Эрих Хекке, и позже Ханс Маасс, применил тот же метод преобразования Меллина к модульные формы на верхняя полуплоскость, после чего пример Римана можно рассматривать как частный случай.

Роберт Александр Ранкин и Атле Сельберг самостоятельно построили свои свертка L-функции, которые теперь называются Langlands L-функция, связанная с тензорное произведение из стандартное представление из GL(2) с собой. Как и Риман, они использовали единое целое из модульных форм, но одного другого типа: они объединили произведение двух весов. k модульные формы ж, грамм с вещественно-аналитический ряд Эйзенштейна E(τ,s) над фундаментальной областью D модульной группы SL₂(Z) действующая на верхнюю полуплоскость

${ Displaystyle Displaystyle int _ {D} е ( тау) { overline {г ( тау)}} Е ( тау, s) у ^ {к-2} dxdy}$.

Интеграл абсолютно сходится, если одна из двух форм имеет вид куспидальный; в противном случае необходимо использовать асимптотику, чтобы получить мероморфный продолжение, как это сделал Риман. Тогда аналитическое продолжение и функциональное уравнение сводятся к уравнениям ряда Эйзенштейна. Интеграл был отождествлен с L-функцией свертки с помощью техники, называемой «разворачиванием», в которой определение ряда Эйзенштейна и диапазон интегрирования преобразуются в более простое выражение, которое легче демонстрирует L-функция как Серия Дирихле. Одновременное сочетание разворачивания с глобальным контролем над аналитическими свойствами является особенным и делает эту технику успешной.

Современная адельная теория

Эрве Жаке и Роберт Лэнглендс позже дал аделик интегральные представления для стандартного и тензорного произведения L-функции, ранее полученные Риманом, Гекке, Маассом, Ранкином и Сельбергом. Они дали очень полную теорию, в которой они объяснили формулы для всех локальных факторов, сформулировали функциональное уравнение в точной форме и дали точные аналитические продолжения.

Обобщения и ограничения

В настоящее время есть интегральные представления для большого созвездия автоморфных L-функции, но с двумя неприятными оговорками. Во-первых, совсем не ясно, какой L-функции могут иметь целостное представление или как их можно найти; есть опасения, что метод близок к исчерпанию, хотя снова и снова появляются новые примеры с помощью умных аргументов. Во-вторых, в общем случае трудно или, возможно, даже невозможно вычислить локальные интегралы после стадии развертывания. Это означает, что интегралы могут иметь желаемые аналитические свойства, только они не могут представлять собой L-функция (а вместо этого что-то близкое к ней).

Таким образом, имея интегральное представление для L-функция никоим образом не означает, что ее аналитические свойства решены: могут остаться серьезные аналитические проблемы. Как минимум, он обеспечивает L-функция имеет алгебраическую конструкцию посредством формальных манипуляций с интегралом автоморфных форм, и что во всех, кроме конечного числа мест, она имеет предполагаемое Произведение Эйлера конкретного L-функция. Во многих ситуациях Метод Ленглендса – Шахиди дает дополнительную информацию.

Известные примеры

• Стандартная L-функция на GL (п) (Годемент–Жаке). Теория была полностью раскрыта в оригинальной рукописи.
• Стандартная L-функция на классических группах (Пятецкий-Шапиро-Раллис). Эта конструкция была известна как метод удвоения и также работает для неуниверсальных представлений.
• Тензорное произведение L-функция на GL (п) × GL (м) (включает стандарт L-функция, если м = 1) благодаря Жаке, Пятецкому-Шапиро и Шалика. Теория была полностью решена Moeglin–Waldspurger, и был реконструирован, чтобы установить «обратную теорему».
• Симметричный квадрат на GL (п) из-за Шимура, и Гелбарт–Жакет (п = 2), Пятецкий-Шапиро и Паттерсон (п = 3), и Ударяться–Гинзбург (п > 3).
• Внешний квадрат на GL (п) благодаря Жаке – Шалике и Бампу – Гинзбургу.
• Тройное произведение на GL (2) × GL (2) × GL (2) (Garrett, а также Харрис, Икеда, Пятецки-Шапиро, Раллис, Рамакришнан и Орлофф).
• Симметричный куб на GL (2) (Bump – Ginzburg – Hoffstein).
• Симметричная четвертая степень на GL (2) (Гинзбург – Раллис).
• Стандартная L-функция E₆ и E₇ (Гинзбург).
• Стандартная L-функция G₂ (Гинзбург-Хандли, Гуревич-Сегал).

Рекомендации

• Удар, Дэниел (1989), "Метод Ранкина-Сельберга: обзор", Теория чисел, формулы следов и дискретные группы (Осло, 1987), Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 49–109, МИСТЕР 0993311
• Удар, Дэниел (2005), «Метод Ранкина-Сельберга: введение и обзор», в Cogdell, James W .; Цзян, Дихуа; Кудла, Стивен С .; Судри, Дэвид; Стэнтон, Роберт (ред.), Автоморфные представления, L-функции и приложения: успехи и перспективы, Университет штата Огайо. Математика. Res. Inst. Publ., 11, Berlin: de Gruyter, pp. 41–73, ISBN 978-3-11-017939-2, МИСТЕР 2192819
• Ранкин, Роберт А. (1939), "Вклад в теорию функции Рамануджана τ (n) и подобных арифметических функций. I. Нули функции Σ_{п = 1}^∞τ (п) / п^s на линии R s = 13/2. II. Порядок коэффициентов Фурье интегральных модулярных форм », Proc. Cambridge Philos. Soc., 35: 351–372, Дои:10.1017 / S0305004100021095, МИСТЕР 0000411
• Сельберг, Атле (1940), "Bemerkungen über eine Dirichletsche Reihe, die mit der Theorie der Modulformen nahe verbunden ist", Arch. Математика. Натурвид., 43: 47–50, МИСТЕР 0002626