WikiDer > Распределение соотношения

Ratio distribution

А соотношение распределения (также известный как частное распределение) это распределение вероятностей построенный как распределение соотношение из случайные переменные имея два других известных дистрибутива. независимый) случайные переменные Икс и Y, распределение случайной величины Z который образуется как отношение Z = Икс/Y это соотношение распределения.

Примером может служить Распределение Коши (также называемый распределение нормального отношения),[нужна цитата] что происходит как отношение двух нормально распределенный переменные с нулевым средним. Два других распределения, часто используемых в тестовой статистике, также являются пропорциональными распределениями: т-распределение возникает из Гауссовский случайная величина, деленная на независимую чи-распределенный случайная величина, а F-распределение происходит от соотношения двух независимых распределенный хи-квадрат случайные величины. В литературе рассматривались более общие отношения распределения.[1][2][3][4][5][6][7][8][9]

Часто распределения соотношений хвостатый, и может быть сложно работать с такими дистрибутивами и разработать соответствующий статистический тест.Метод, основанный на медиана был предложен в качестве "обходного пути".[10]

Алгебра случайных величин

Отношение - это один из видов алгебры случайных величин: с распределением соотношений связаны распространение продукции, распределение суммы и распределение разницы. В более общем плане можно говорить о комбинациях сумм, разностей, произведений и соотношений. Многие из этих распределений описаны в Мелвин Д. Спрингеркнига 1979 г. Алгебра случайных величин.[8]

Алгебраические правила, известные для обычных чисел, неприменимы к алгебре случайных величин, например, если продукт C = AB и соотношение D = C / A это не обязательно означает, что распределения D и B одинаковые. Действительно, наблюдается своеобразный эффект для Распределение Коши: Произведение и соотношение двух независимых распределений Коши (с одинаковым параметром масштаба и параметром местоположения, установленным на ноль) дадут одно и то же распределение.[8]Это становится очевидным, если рассматривать распределение Коши как соотношение двух гауссовских распределений нулевых средних: рассмотрим две случайные величины Коши, и каждое построено из двух гауссовых распределений и тогда

куда . Первый член - это отношение двух распределений Коши, а последний член - произведение двух таких распределений.

Вывод

Способ получения соотношения распределения из совместного распределения двух других случайных величин X, Y , с совместным pdf , получается интегрированием следующего вида[3]

Если две переменные независимы, то и это становится

Это может быть непросто. В качестве примера возьмем классическую задачу о соотношении двух стандартных гауссовских отсчетов. Совместный PDF-файл

Определение у нас есть

Используя известный определенный интеграл мы получили

которое является распределением Коши или распределением Стьюдента т распространение с п = 1

В Преобразование Меллина также был предложен для вывода распределений отношений.[8]

В случае положительных независимых переменных действуйте следующим образом. На диаграмме показано разделимое двумерное распределение который имеет опору в положительном квадранте и мы хотим найти pdf отношения . Заштрихованный объем над линией представляет собой кумулятивное распределение функции умноженный на логическую функцию . Плотность сначала интегрируется в горизонтальные полосы; горизонтальная полоса на высоте у простирается от Икс = От 0 до x = Ry и имеет возрастающую вероятность .
Во-вторых, объединение горизонтальных полос вверх по всей у дает объем вероятности над линией

Наконец, дифференцируйте получить pdf .

Перенесем дифференцирование внутрь интеграла:

и с тех пор

тогда

В качестве примера найдите pdf отношения р когда

Оценка кумулятивного распределения коэффициента

У нас есть

таким образом

Дифференциация относительно р дает PDF-файл р

Моменты случайных соотношений

Из Преобразование Меллина теория, для распределений, существующих только на положительной полупрямой , у нас есть айдентика продукта при условии независимы. В случае соотношения выборок вида , чтобы использовать это тождество, необходимо использовать моменты обратного распределения. Набор такой, что Таким образом, если моменты можно определить отдельно, то моменты можно найти. Моменты определяются из обратного pdf , часто послушное упражнение. В простейшем случае .

Для иллюстрации пусть быть выбранным из стандартного гамма-распределения

момент .

выбирается из обратного гамма-распределения с параметром и имеет pdf . Моменты этого pdf

Умножение соответствующих моментов дает

Независимо известно, что соотношение двух гамма-отсчетов следует распределению Beta Prime:

чьи моменты

Подстановка у нас естьчто согласуется с приведенным выше произведением моментов.

Средние и дисперсии случайных соотношений

в Распространение продукции раздел, и полученный из Преобразование Меллина Согласно теории (см. раздел выше), среднее значение произведения независимых переменных равно произведению их средних значений. В случае отношений имеем

что в терминах вероятностных распределений эквивалентно

Обратите внимание, что

Дисперсия отношения независимых переменных равна

Распределения нормального отношения

Некоррелированное центральное нормальное соотношение

Когда Икс и Y независимы и имеют Гауссово распределение с нулевым средним, форма их распределения отношения Распределение КошиЭто можно получить, задав затем показывая, что имеет круговую симметрию. Для двумерного некоррелированного гауссова распределения имеем

Если является функцией только р тогда равномерно распределяется по так что проблема сводится к нахождению распределения вероятностей Z под отображением

По сохранению вероятности имеем

и с тех пор

и установка мы получили

Здесь есть ложный множитель 2. Собственно, два значения сопоставить с тем же значением z, плотность удваивается, и конечный результат

Однако, когда два распределения имеют ненулевые средние, форма распределения отношения намного сложнее. Ниже он приводится в сжатой форме, представленной Дэвид Хинкли.[6]

Некоррелированное нецентральное нормальное соотношение

При отсутствии корреляции (кор (Икс,Y) = 0), функция плотности вероятности двух нормальных переменных Икс = N(μИкс, σИкс2) и Y = N(μY, σY2) соотношение Z = Икс/Y дается в точности следующим выражением, полученным из нескольких источников:[6]

куда

и это нормальная кумулятивная функция распределения:

.

При определенных условиях возможно нормальное приближение с вариацией:[11]

Коррелированное центральное нормальное соотношение

Вышеприведенное выражение становится более сложным, когда переменные Икс и Y коррелированы. Если и получается более общее распределение Коши

где ρ - коэффициент корреляции между Икс и Y и

Сложное распределение также было выражено с помощью Куммера конфлюэнтная гипергеометрическая функция или Функция Эрмита.[9]

Коррелированное нецентральное нормальное соотношение

Приближение к коррелированному нецентральному нормальному отношению

Преобразование в лог-домен было предложено Кацем (1978) (см. Раздел биномиальных данных ниже). Пусть отношение будет

.

Возьмите журналы, чтобы получить

.

С тогда асимптотически

.

С другой стороны, Гири (1930) предположил, что

имеет примерно стандартное распределение Гаусса:[1]Это преобразование было названо Преобразование Гири – Хинкли;[7] приближение хорошее, если Y вряд ли примет отрицательные значения, в основном .

Точное коррелированное нецентральное нормальное соотношение

Гири показал, как коррелированное соотношение можно преобразовать в форму, близкую к гауссовой, и разработать приближение для зависит от вероятности отрицательных значений знаменателя будучи исчезающе маленьким. Более поздний анализ коррелированных соотношений Филлера является точным, но требуется осторожность при использовании с современными математическими пакетами, и аналогичные проблемы могут возникнуть в некоторых уравнениях Марсальи. Фам-Гия подробно рассмотрел эти методы. Коррелированные результаты Хинкли точны, но ниже показано, что условие коррелированного отношения может быть просто преобразовано в некоррелированное, поэтому требуются только упрощенные уравнения Хинкли, приведенные выше, а не полная версия коррелированного отношения.

Пусть соотношение будет:

в котором - коррелированные нормальные переменные с нулевым средним и дисперсиями и иметь средства Написать такой, что стать некоррелированными и имеет стандартное отклонение

Соотношение:

инвариантен относительно этого преобразования и сохраняет тот же pdf. член в числителе делается разделяемым путем расширения:

получить

в котором и z теперь стало отношением некоррелированных нецентральных нормальных выборок с инвариантом z-компенсировать.

Наконец, чтобы быть точным, pdf отношения для коррелированных переменных находится путем ввода измененных параметров и в уравнение Хинкли выше, которое возвращает PDF для коррелированного отношения с постоянным смещением на .

Контуры отношения Гаусса
Контуры коррелированного двумерного распределения Гаусса (не в масштабе), дающего соотношение х / у
pdf коэффициента распределения вероятностей z
pdf отношения Гаусса z и моделирование (точки) для

На рисунках выше показан пример положительно коррелированного отношения с в котором заштрихованные клинья представляют собой приращение площади, выбранной заданным соотношением который накапливает вероятность там, где они перекрывают распределение. Теоретическое распределение, полученное из обсуждаемых уравнений в сочетании с уравнениями Хинкли, хорошо согласуется с результатом моделирования с использованием 5000 выборок. На верхнем рисунке легко понять, что для отношения клин почти полностью обходит массу распределения, что совпадает с областью, близкой к нулю, в теоретической PDF. Наоборот, как уменьшается к нулю, линия собирает более высокую вероятность.

Это преобразование будет признано таким же, как преобразование, использованное Гири (1932) как частичный результат в его уравнение viii но чье происхождение и ограничения вряд ли были объяснены. Таким образом, первая часть преобразования Гири к приближенной гауссовости в предыдущем разделе на самом деле точна и не зависит от положительности Y. Результат смещения также согласуется с коррелированным распределением гауссова отношения «Коши» с нулевым средним в первом разделе. Марсалья применил тот же результат, но использовал нелинейный метод для его достижения.

Комплексное нормальное соотношение

Отношение коррелированных циркулярно-симметричных сложный нормально распределенный переменные были определены Baxley et. al.[12] Совместное распространение х, у является

куда

является эрмитовым транспонированием и

PDF-файл оказывается

В обычном случае, если мы получили

Также приведены другие результаты в закрытой форме для CDF.

Распределение соотношения коррелированных комплексных переменных, rho = 0,7 exp (i pi / 4).

График показывает pdf отношения двух комплексных нормальных переменных с коэффициентом корреляции . Пик pdf возникает примерно при комплексном сопряжении уменьшенного .

Равномерное распределение соотношения

С двумя независимыми случайными величинами, следующими за равномерное распределение, например,

соотношение распределения становится

Распределение отношения Коши

Если две независимые случайные величины, Икс и Y каждый следует за Распределение Коши с нулевой медианой и коэффициентом формы

тогда распределение отношений для случайной величины является[13]

Это распределение не зависит от и результат, заявленный Springer[8] (стр. 158, вопрос 4.6) неверно. Распределение соотношения похоже, но не то же самое, что и распространение продукции случайной величины :

[8]

В более общем смысле, если две независимые случайные величины Икс и Y каждый следует за Распределение Коши с нулевой медианой и коэффициентом формы и соответственно, тогда:

1. Распределение отношения для случайной величины является[13]

2. Программа распространение продукции для случайной величины является[13]

Результат для распределения соотношений можно получить из распределения продуктов, заменив с

Соотношение стандартной нормальной формы к стандартной униформе

Если Икс имеет стандартное нормальное распределение и Y имеет стандартное равномерное распределение, то Z = Икс / Y имеет распространение, известное как распределение слэша, с функцией плотности вероятности

где φ (z) - функция плотности вероятности стандартного нормального распределения.[14]

Хи-квадрат, гамма, бета-распределения

Позволять Икс - нормальное (0,1) распределение, Y и Z быть распределения хи-квадрат с м и п степени свободы соответственно все независимые, с . потом

то Распределение Стьюдента
то есть Фишера F-тест распределение
то бета-распространение
то бета-простое распределение

Если , а нецентральное распределение хи-квадрат, и и не зависит от тогда

, а нецентральное F-распределение.

определяет , F-распределение плотности Фишера, PDF отношения двух хи-квадратов с м, н степени свободы.

CDF плотности Фишера, найденный в F-таблицы определены в бета-простое распределение статья. Если мы введем F-тестовая таблица с м = 3, п = 4 и 5% вероятности в правом хвосте, критическое значение оказывается 6.59. Это совпадает с интегралом

Если , куда , тогда

Если тогда

Если , затем, изменив масштаб параметр к единице мы имеем

таким образом
т.е. если тогда


Более конкретно, поскольку

если тогда

куда

Распределения Рэлея

Если X, Y независимые образцы из Распределение Рэлея , Соотношение Z = X / Y следует за распределением[15]

и имеет cdf

В распределении Рэлея единственным параметром является масштабирование. Распределение следует

и имеет cdf

Дробное гамма-распределение (включая хи, хи-квадрат, экспоненциальное, Рэлея и Вейбулла)

В обобщенное гамма-распределение является

который включает в себя регулярную гамму, хи, хи-квадрат, экспоненциальное распределение, распределения Рэлея, Накагами и Вейбулла, включающие дробные степени.

Если
тогда[16]
куда

Моделирование смеси различных масштабных коэффициентов

В соотношениях выше, гамма выборки, U, V могут иметь разные размеры выборки но должны быть взяты из того же дистрибутива с равным масштабированием .

В ситуациях, когда U и V по-разному масштабируются, преобразование переменных позволяет определить модифицированный pdf случайного отношения. Позволять куда произвольно и сверху .

Масштабировать V произвольно, определяя

У нас есть и замена на Y дает

Преобразование Икс к Y дает

Отмечая наконец-то у нас есть

Таким образом, если и
тогда распространяется как с

Распределение Y здесь ограничен интервалом [0,1]. Его можно обобщить путем масштабирования так, что если тогда

куда

тогда образец из

Взаимные образцы из бета-дистрибутивов

Хотя это и не соотношения двух переменных, полезны следующие тождества для одной переменной:

Если тогда
Если тогда

объединение последних двух уравнений дает

Если тогда .
Если тогда

поскольку

тогда

, распределение обратных величин образцы.

Если и

Дальнейшие результаты можно найти в Обратное распределение статья.

  • Если независимые экспоненциальные случайные величины со средним μ, тогда Икс − Y это двойная экспонента случайная величина со средним 0 и шкалойμ.

Биномиальное распределение

Этот результат был впервые получен Кацем и др. В 1978 году.[17]

Предполагать Икс ~ Биномиальный (п,п1) и Y ~ Биномиальный (м,п2) и Икс, Y независимы. Позволять Т = (Икс/п)/(Y/м).

Затем войдите (Т) приблизительно нормально распределяется со средним логарифмом (п1/п2) и дисперсии ((1 /п1) − 1)/п + ((1/п2) − 1)/м.

Распределение биномиального отношения имеет значение в клинических испытаниях: если распределение Т известно, как указано выше, вероятность того, что данное соотношение возникает чисто случайно, может быть оценена, то есть ложноположительное испытание. В ряде работ сравнивается надежность различных приближений для биномиального отношения.[нужна цитата]

Пуассоновские и усеченные распределения Пуассона

В отношении переменных Пуассона R = X / Y есть проблема, что Y равен нулю с конечной вероятностью, поэтому р не определено. Чтобы противостоять этому, мы рассматриваем усеченное или цензурированное соотношение R '= X / Y' где нулевая выборка Y со скидкой. Более того, во многих обследованиях медицинского типа возникают систематические проблемы с надежностью нулевых выборок как X, так и Y, и может быть хорошей практикой в ​​любом случае игнорировать нулевые выборки.

Вероятность нулевой пуассоновской выборки , общий pdf усеченного слева распределения Пуассона равен

что в сумме равно единице. После Коэна[18], за п независимых испытаний, многомерный усеченный PDF-файл

и вероятность журнала становится

При дифференцировании получаем

а установка в ноль дает оценку максимального правдоподобия

Обратите внимание, что как поэтому усеченная максимальная вероятность оценка, хотя и верна как для усеченного, так и для неусеченного распределений, дает усеченное среднее значение, которое сильно смещено по сравнению с необрезанным. Тем не менее кажется, что это достаточная статистика за поскольку зависит от данных только через выборочное среднее в предыдущем уравнении, которое согласуется с методологией обычного распределение Пуассона.

При отсутствии каких-либо решений в замкнутой форме следующее приближенное обращение для усеченного действует во всем диапазоне .

что сравнивается с необрезанной версией, которая просто . Принимая соотношение является допустимой операцией, даже если может использовать необрезанную модель, а имеет усеченный слева.

Асимптотика большихГраница Крамера – Рао) является

в котором замена L дает

Затем подставив из приведенного выше уравнения мы получаем оценку дисперсии Коэна

Дисперсия точечной оценки среднего , на основе п испытаний, убывает асимптотически до нуля при п увеличивается до бесконечности. Для малых он отличается от усеченной дисперсии PDF в Спрингаеле[19] например, кто цитирует дисперсию

за п образцы в усеченном слева PDF-файле, показанном вверху этого раздела. Коэн показал, что дисперсия оценки относительно дисперсии PDF, , колеблется от 1 для больших (КПД 100%) до 2 как приближается к нулю (эффективность 50%).

Эти оценки среднего и дисперсионного параметров вместе с параллельными оценками для Икс, может применяться к нормальному или биномиальному приближению для коэффициента Пуассона. Образцы из испытаний могут не подходить для процесса Пуассона; Дальнейшее обсуждение пуассоновского усечения проведено Дитцем и Бенингом.[20] и есть Распределение Пуассона с нулевым усечением Запись в Википедии.

Двойное распределение Lomax

Это распределение представляет собой соотношение двух Распределения Лапласа.[21] Позволять Икс и Y - стандартные случайные величины с одинаковым распределением по Лапласу, и пусть z = Икс / Y. Тогда распределение вероятностей z является

Пусть среднее значение Икс и Y быть а. Тогда стандартное двойное распределение Ломакса симметрично относительно а.

Это распределение имеет бесконечное среднее значение и дисперсию.

Если Z имеет стандартное двойное распределение Ломакса, то 1 /Z также имеет стандартное двойное распределение Lomax.

Стандартное распределение Ломакса является унимодальным и имеет более тяжелые хвосты, чем распределение Лапласа.

Для 0 < а <1, аth момент существует.

где Γ - гамма-функция.

Распределения соотношений в многомерном анализе

Распределение соотношений также появляется в многомерный анализ.[22] Если случайные матрицы Икс и Y следовать Распределение Уишарта тогда соотношение детерминанты

пропорциональна произведению независимых F случайные переменные. В случае, когда Икс и Y из независимых стандартизированных Распределения Уишарта тогда соотношение

имеет Лямбда-распределение Уилкса.

Отношения квадратичных форм с матрицами Уишарта

Распределение вероятностей может быть получено из случайных квадратичных форм

куда случайны[23]. Если А является инверсией другой матрицы B тогда в некотором смысле случайное отношение, часто возникающее в задачах оценки методом наименьших квадратов.

В гауссовском случае, если А матрица, полученная из сложного распределения Уишарта размерности п х п и k степени свободы с - произвольный комплексный вектор с эрмитовым (сопряженным) транспонированием , Соотношение

следует гамма-распределению

Результат возникает при использовании адаптивной винеровской фильтрации методом наименьших квадратов - см. Уравнение (A13) в.[24] Обратите внимание, что в исходной статье утверждается, что распространение .

Аналогичным образом Bodnar et. аль[25] покажем, что (теорема 2, следствие 1) для полного ранга ( вещественные образцы матрицы Уишарта, и V случайный вектор, не зависящий от W, Соотношение

Учитывая комплексную матрицу Уишарта , Соотношение

следует бета-распределению (см. уравнение (47)[26])

Результат возникает при анализе производительности фильтрации методом наименьших квадратов с ограничениями и выводится из более сложного, но в конечном итоге эквивалентного отношения, которое, если тогда

В простейшем виде, если и то отношение квадрата обратного элемента (1,1) к сумме квадратов модулей всех элементов верхней строки имеет распределение

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Гири, Р.С. (1930). «Частотное распределение отношения двух нормальных переменных». Журнал Королевского статистического общества. 93 (3): 442–446. Дои:10.2307/2342070. JSTOR 2342070.
  2. ^ Филлер, Э. К. (ноябрь 1932 г.). «Распределение индекса в нормальной двумерной популяции». Биометрика. 24 (3/4): 428–440. Дои:10.2307/2331976. JSTOR 2331976.
  3. ^ а б Кертисс, Дж. Х. (декабрь 1941 г.). «О распределении отношения двух случайных переменных». Анналы математической статистики. 12 (4): 409–421. Дои:10.1214 / aoms / 1177731679. JSTOR 2235953.
  4. ^ Джордж Марсалья (Апрель 1964 г.). Отношения нормальных переменных и отношения сумм однородных переменных. Центр оборонной технической информации.
  5. ^ Марсалья, Джордж (Март 1965 г.). «Отношения нормальных переменных и отношения сумм однородных переменных». Журнал Американской статистической ассоциации. 60 (309): 193–204. Дои:10.2307/2283145. JSTOR 2283145.
  6. ^ а б c Хинкли, Д.В. (Декабрь 1969 г.). «О соотношении двух коррелированных нормальных случайных величин». Биометрика. 56 (3): 635–639. Дои:10.2307/2334671. JSTOR 2334671.
  7. ^ а б Хайя, Джек; Армстронг, Дональд; Грессис, Николас (июль 1975 г.). «Примечание о соотношении двух нормально распределенных переменных». Наука управления. 21 (11): 1338–1341. Дои:10.1287 / mnsc.21.11.1338. JSTOR 2629897.
  8. ^ а б c d е ж Спрингер, Мелвин Дейл (1979). Алгебра случайных величин. Wiley. ISBN 0-471-01406-0.
  9. ^ а б Pham-Gia, T .; Турккан, Н .; Маршан, Э. (2006). «Плотность отношения двух нормальных случайных величин и приложения». Коммуникации в статистике - теория и методы. Тейлор и Фрэнсис. 35 (9): 1569–1591. Дои:10.1080/03610920600683689.
  10. ^ Броуди, Джеймс П .; Уильямс, Брайан А .; Уолд, Барбара Дж .; Дрожь, Стивен Р. (Октябрь 2002 г.). «Значимость и статистические ошибки при анализе данных ДНК-микрочипов» (PDF). Proc Natl Acad Sci U S A. 99 (20): 12975–12978. Дои:10.1073 / pnas.162468199. ЧВК 130571. PMID 12235357.
  11. ^ Диас-Франсес, Элоиза; Рубио, Франсиско Дж. (24 января 2012 г.). «О существовании нормального приближения к распределению отношения двух независимых нормальных случайных величин». Статистические статьи. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 54 (2): 309–323. Дои:10.1007 / s00362-012-0429-2. ISSN 0932-5026.
  12. ^ Бэксли, Р. Т; Вальденхорст, Б. Т; Акоста-Марум, Г. (2010). «Комплексное распределение коэффициента Гаусса с приложениями для расчета частоты ошибок в каналах с замираниями с несовершенной CSI». 2010 Глобальная телекоммуникационная конференция IEEE GLOBECOM 2010. С. 1–5. Дои:10.1109 / GLOCOM.2010.5683407. ISBN 978-1-4244-5636-9.
  13. ^ а б c Кермонд, Джон (2010). «Введение в алгебру случайных величин». Математическая ассоциация Виктории 47-я ежегодная конференция Труды - Новый учебный план. Новые возможности. Математическая ассоциация Виктории: 1–16. ISBN 978-1-876949-50-1.
  14. ^ «SLAPPF». Отдел статистической инженерии, Национальный институт науки и технологий. Получено 2009-07-02.
  15. ^ Хамедани, Г. Г. (октябрь 2013 г.). «Характеристики распределения отношения случайных величин Рэлея». Статистический журнал Пакистана. 29 (4): 369–376.
  16. ^ Б. Раджа Рао, М. Л. Гарг. «Замечание об обобщенном (положительном) распределении Коши». Канадский математический бюллетень. 12 (1969), 865–868 Опубликовано: 01.01.1969.
  17. ^ Кац Д. и другие. (1978) Получение доверительных интервалов для отношения рисков в когортных исследованиях. Биометрия 34: 469–474
  18. ^ Коэн, Клиффорд (июнь 1960 г.). «Оценка параметра условного распределения Пуассона». Биометрия. 60 (2): 203–211.
  19. ^ Спрингель, Йохан (2006). «О сумме независимых случайных величин Пуассона с нулевым усечением» (PDF). Университет Антверпена, факультет бизнеса и экономики.
  20. ^ Дитц, Эккехарт; Бохнинг, Данкмар (2000). «Об оценке параметра Пуассона в моделях Пуассона с нулевой модификацией». Вычислительная статистика и анализ данных (Elsevier). 34 (4): 441–459. Дои:10.1016 / S0167-9473 (99) 00111-5.
  21. ^ Бинду П. и Сангита К. (2015) Двойное распределение Lomax и его приложения. Statistica LXXV (3) 331–342
  22. ^ Бреннан, Л. Э .; Рид, И. С. (январь 1982 г.). "Адаптивный алгоритм обработки сигналов массива для связи". IEEE Transactions по аэрокосмическим и электронным системам. АЕС-18 № 1: 124–130. Bibcode:1982ITAES..18..124B. Дои:10.1109 / TAES.1982.309212.
  23. ^ Матхай, А. М.; Провост, L (1992). Квадратичные формы в случайных величинах. Нью-Йорк: Mercel Decker Inc. ISBN 0-8247-8691-2.
  24. ^ Бреннан, Л. Э .; Рид, И. С. (январь 1982 г.). "Адаптивный алгоритм обработки сигналов массива для связи". IEEE Transactions по аэрокосмическим и электронным системам. АЕС-18 № 1: 124–130. Bibcode:1982ITAES..18..124B. Дои:10.1109 / TAES.1982.309212.
  25. ^ Боднар, Т; Мазур, S; Подгорский, К (2015). «Сингулярное обратное распределение Уишарта в применении к теории портфеля». Lund Univj. Департамент статистики, Рабочий документ № 2 BodnarSingularInverseWishart.pdf.
  26. ^ Рид, I S; Mallett, JD; Бреннан, Л.Е. (ноябрь 1974 г.). «Быстрая сходимость в адаптивных массивах». IEEE Transactions по аэрокосмическим и электронным системам. АЕС-10 №6: 853–863.

внешняя ссылка