WikiDer > Лемма Шефардса - Википедия

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найдите источники: "Лемма Шепарда" – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Декабрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Лемма Шепарда это главный результат в микроэкономика имея приложения в теория фирмы И в выбор потребителя.^[1] В лемма заявляет, что если кривые безразличия расходов или функция стоимости находятся выпуклый, то точка минимизации стоимости данного товара (${ displaystyle i}$) с цена ${ displaystyle p_ {i}}$ уникален. Идея в том, что потребитель купит уникальное идеальное количество каждого предмета, чтобы минимизировать цену за получение определенного уровня полезность учитывая цену товара в рынок.

Лемма названа в честь Рональд Шепард кто дал доказательство используя формулу расстояния из его книги Теория затрат и производственных функций (Издательство Принстонского университета, 1953). Эквивалентный результат в контексте теории потребителей был впервые получен Лайонел В. Маккензи в 1957 г.^[2] В нем говорится, что частные производные функции расходов по ценам товаров равны Хиксовские функции спроса для соответствующих товаров. Подобные результаты уже были получены Джон Хикс (1939) и Пол Самуэльсон (1947).

Определение

В потребитель теории, лемма Шепарда утверждает, что требовать для особого блага ${ displaystyle i}$ для данного уровня полезности ${ displaystyle u}$ и учитывая цены ${ displaystyle mathbf {p}}$, равна производной от расходная функция относительно цены соответствующего товара:

${ displaystyle h_ {i} ( mathbf {p}, u) = { frac { partial e ( mathbf {p}, u)} { partial p_ {i}}}}$

куда ${ displaystyle h_ {я} ( mathbf {p}, u)}$ это Хиксовский спрос для блага ${ displaystyle i}$, ${ Displaystyle е ( mathbf {p}, u)}$ это расходная функция, и обе функции выражаются в ценах (a вектор ${ displaystyle mathbf {p}}$) и полезность ${ displaystyle u}$.

Точно так же в теория фирмы, лемма дает аналогичную формулировку для условный факторный спрос для каждого входного фактора: производная функции затрат ${ Displaystyle с ( mathbf {ш}, у)}$ по цене фактора:

${ displaystyle x_ {i} ( mathbf {w}, y) = { frac { partial c ( mathbf {w}, y)} { partial w_ {i}}}}$

куда ${ Displaystyle х_ {я} ( mathbf {ш}, у)}$ это условный факторный спрос для ввода ${ displaystyle i}$, ${ Displaystyle с ( mathbf {ш}, у)}$ - функция затрат, и обе функции выражаются в ценах факторов производства (a вектор ${ displaystyle mathbf {w}}$) и вывод ${ displaystyle y}$.

Хотя в первоначальном доказательстве Шепарда использовалась формула расстояния, современные доказательства леммы Шепарда используют теорема о конверте.^[3]

Доказательство дифференцируемого случая

Доказательство приведено для случая с двумя хорошими условиями для простоты обозначений. Расходная функция ${ displaystyle e (p_ {1}, p_ {2}, u)}$ - функция цены задачи оптимизации с ограничениями, характеризуемая следующим лагранжианом:

${ displaystyle { mathcal {L}} = p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} + lambda (u-U (x_ {1}, x_ {2}))}$

Посредством теорема о конверте производные функции цены ${ displaystyle e (p_ {1}, p_ {2}, u)}$ по параметру ${ displaystyle p_ {1}}$ находятся:

${ displaystyle { frac { partial e} { partial p_ {1}}} = { frac { partial { mathcal {L}}} { partial p_ {1}}} = x_ {1} ^ {час}}$

куда ${ displaystyle x_ {1} ^ {h}}$ минимизатор (т.е. функция спроса Хикса на товар 1). Это завершает доказательство.

Заявление

Лемма Шепарда устанавливает связь между функциями затрат (или затрат) и спросом Хикса. Лемму можно переписать как Личность Роя, что дает связь между косвенная функция полезности и соответствующий Маршаллианская функция спроса.

Смотрите также

• Лемма Хотеллинга
• Выпуклые предпочтения

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Бивис, Брайан; Доббс, Ян М. (1990). «Введение в теорию двойственности». Теория оптимизации и устойчивости для экономического анализа. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. 117–133. ISBN 0-521-33605-8.