WikiDer > Диск Зигеля

Siegel disc

Диск Зигеля это связаны компонент в наборе Fatou где динамика аналитически сопрягать для иррациональное вращение.

Описание

Учитывая голоморфный эндоморфизм на Риманова поверхность мы рассматриваем динамическая система генерируется повторяет из обозначается . Затем мы называем орбита из как набор прямых итераций . Нас интересует асимптотика орбит в (который обычно будет , то комплексная плоскость или же , то Сфера Римана), и мы называем то фазовая плоскость или же динамический самолет.

Одно возможное асимптотическое поведение точки должен быть фиксированная точка, или вообще периодическая точка. В этом последнем случае куда это период и средства фиксированная точка. Затем мы можем определить множитель орбиты как и это позволяет нам классифицировать периодические орбиты как привлечение если сверхвтягивающий если ), отталкивающий если и безразлично, если . Безразличные периодические орбиты могут быть либо рационально равнодушный или же иррационально равнодушный, в зависимости от того, для некоторых или же для всех , соответственно.

Диски Siegel являются одним из возможных случаев связных компонент в множестве Фату (дополнительное множество Юля набор), в соответствии с Классификация компонентов Fatou, и может происходить вокруг иррационально безразличных периодических точек. Набор Фату - это, грубо говоря, набор точек, в которых итерации ведут себя так же, как их соседи (они образуют нормальная семья). Диски Siegel соответствуют точкам, в которых динамика аналитически сопрягать к иррациональному вращению сложного единичного диска.

Имя

Диск назван в честь Карл Людвиг Сигель.

Галерея

Формальное определение

Позволять быть голоморфный эндоморфизм куда это Риманова поверхность, и пусть U - связный компонент набора Фату . Мы говорим, что U - это круг Зигеля над f вокруг точки если существует биголоморфизм куда - единичный диск и такой, что для некоторых и .

Зигеля Теорема доказывает существование Диски Siegel за иррациональные числа удовлетворение условие сильной иррациональностиДиофантово состояние), тем самым решая открытую проблему, поскольку Фату предположил свою теорему о Классификация компонентов Fatou.[2]

Потом Александр Д. Брюно улучшил это условие на иррациональность, расширив его до Числа Brjuno.[3]

Это часть результата Классификация компонентов Fatou.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Рубен Беренгуэль и Нурия Фагелла Целая трансцендентная семья с настойчивым диском Зигеля, препринт 2009 г .: arXiV: 0907.0116
  2. ^ Леннарт Карлесон и Теодор В. Гамелен, Комплексная динамика, Springer 1993 г.
  3. ^ Милнор, Джон В. (2006), Динамика в одной сложной переменной, Анналы математических исследований, 160 (Третье изд.), Princeton University Press (Впервые появился в 1990 году как Препринт Stony Brook IMS В архиве 2006-04-24 на Wayback Machine, доступно как arXiV: math.DS / 9201272.)