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Bedeutende Zahlen (Belgien: bedeutende Zahlen oder charakteristische Figuren) drücken Sie die Richtigkeit aus einer Messung. Je mehr Stellen signifikant sind, desto genauer ist der Messwert. Die Anzahl der signifikanten Stellen einer Kennzahl hängt nicht von der Größe einer Zahl ab; wo der Dezimalpunkt steht oder wie viele Nullen nach dem Dezimalpunkt die Zahl beginnt, spielt keine Rolle.

Das Konzept der signifikanten Zahlen stammt aus der Messung mit analogen Messgeräten. Zum Beispiel wird die Länge eines Objekts mit einem Lineal mit a . gemessen Skalierung in Millimetern. Die Länge beträgt zwischen 6 und 7 Millimeter, und Sie können sehen, dass es etwa 2/3 des Abstands zwischen den beiden ist. Ein akzeptables Messergebnis ist dann 6,6 mm oder 6,7 mm, aber nicht 6,666666 mm. Letzteres würde fälschlicherweise eine viel höhere Messgenauigkeit suggerieren, als dies mit dieser Messmethode (Lineal) möglich ist. Beim Rechnen mit signifikanten Zahlen bestimmt der Term mit den niedrigsten Zahlen die Anzahl der signifikanten Stellen des Ergebnisses, dh das Ergebnis kann nicht genauer sein als die ungenaueste Messung.

Es höchstwertige Ziffer ist die "erste" Ziffer einer Zahl (die Ziffer ganz links ungleich Null). Es niedrigstwertige Ziffer ist die "letzte" Ziffer der Nummer (normalerweise, aber nicht immer, ist dies die letzte Ziffer). Eine Zahl wird als signifikanter bezeichnet, wenn sie mehr Bedeutung oder Gewicht hat. Im dezimalen (10-stelligen) System nimmt die Gewicht von jeder Ziffer nach links erhöht sich um den Faktor 10. Nach rechts erhöht sich neemt Gewicht jedes Mal um den Faktor 10. Etwas Ähnliches passiert im Binärsystem (Zahl 2). Dort spricht man vom Most und vom Low Significant Bit (msb bzw. lsb).

Bestimmung signifikanter Zahlen

Die Standardregeln für signifikante Zahlen sind wie folgt.

Alle Ziffern außer führenden Nullen sind signifikant: 87.636 hat beispielsweise fünf signifikante Ziffern; 7.636 hat vier; 0,636 hat drei; und 0,036 hat zwei. Enthält eine Zahl kein Komma, so ist bei einer oder mehreren Nullen am Ende, wie 3620, 3600 und 3000, nicht klar, ob und wie viele signifikante Einsen vorhanden sind.

Als Sonderfall hat die Zahl Null 1 signifikante Stelle.

Methoden zur eindeutigen Angabe von signifikanten Zahlen

Um anzugeben, welche Stellen signifikant sind, kann eine Zahl wie 3000 in wissenschaftlicher Schreibweise geschrieben werden. Wenn nur die ersten 2 Ziffern – die „3“ und die erste „0“ – signifikant sind, also der tatsächliche Wert irgendwo zwischen 2950 und 3050 liegt, ist das Format 3,0 × 10³. Sind drei Stellen signifikant – der Wert liegt zwischen 2995 und 3005 – schreibt man 3,00 × 10³. Sind vier Stellen signifikant – der Wert liegt zwischen 2999,5 und 3000,5 – sind sowohl 3000 als auch 3000 × 10³ möglich. Die Notation 3000 ist jedoch nur in einem Kontext erkennbar, in dem der Leser weiß, dass der Schreiber die Zahl nicht schreiben würde, wenn die letzte 0 nicht signifikant wäre. Mit fünf signifikanten Stellen wird es 3000.0 oder 3.0000 × 10³.

Das gleiche Ergebnis kann erreicht werden, indem eine andere Einheit für den ausgedrückten Betrag verwendet wird. Statt 3000 m schreibt man je nach Bedeutung 3 km, 3,0 km, 3,00 km oder 3000 km und statt 3.000.000 schreibt man 3 Millionen, 3,0 Millionen, 3,00 Millionen oder 3.000 Millionen.

Manchmal wird ein Strich über einer nachgestellten Null verwendet, um die Bedeutung anzuzeigen: zum Beispiel 3000 mit einem Strich über der zweiten Null: ${displaystyle 30{overline {0}}0.}$

Diese Zahl scheint vier signifikante Ziffern zu haben, aber der Bindestrich zeigt an, dass die zweite Null die letzte signifikante Ziffer ist.

Bei Zahlen, die ihrer Natur nach ganz sind, kann man beispielsweise "17.340.000" gegenüber "17.34.000" unterscheiden, man kann aber auch "genau 17.340" gegenüber "ungefähr 17.340" schreiben. Bei kleinen Zahlen ist es etwas seltsam, sie in Tausenden auszudrücken, außer in einer Tabelle mit größeren Zahlen in derselben Spalte, dann bleibt es, "340" oder "genau 340" gegenüber "ca. 340" zu schreiben. Bei zwei abschließenden Nullen ist "ungefähr" weniger klar.

Signifikante Zahlen bei Messungen

Wie oben am Linealbeispiel dargestellt, bedeutet die Methode der signifikanten Stellen, dass der Beobachter bei Verwendung eines nicht-elektronischen Messgeräts mit einer Genauigkeit von 1/10 der Skalierung des Messgeräts schätzen muss. Holen Sie sich eine Pipette mit Linien für jeden Milliliter (ml). Der Beobachter misst dann das Volumen auf den nächsten Zehntel Milliliter.

Dezimalzahlen werden verwendet, um die Genauigkeit einer Messung anzuzeigen. Bei der Anwendung der Regeln für signifikante Zahlen muss davon ausgegangen werden, dass die letzte signifikante Ziffer geschätzt wurde. Wenn der Beobachter im vorherigen Beispiel die Flüssigkeitsmenge mit genau 12 ml abliest, schreibt er 12,0 ml auf, was bedeutet, dass die Genauigkeit auf ein Zehntel Milliliter beträgt, wobei die Null geschätzt wird. Hätte die Pipette Streifen bis auf jeden Zehntel Milliliter, hätte der Beobachter die Zahl mit 12,00 ml notiert.

Eine andere Möglichkeit, eine Messgenauigkeit anzugeben, besteht darin, diese explizit anzugeben: zum Beispiel 12,0 ± 0,2 ml oder 11,5 ± 1 ml. So sollte auch mit digitalen Messgeräten umgegangen werden. Die Messunsicherheit ist der Anleitung zu entnehmen. Zeigt eine Digitalwaage 1,421 kg an, bedeutet dies nicht, dass das Gewicht zwischen 1,4205 und 1,4215 kg liegt, sondern es sollte beispielsweise 1,42 ± 0,02 kg betragen: Die Messungenauigkeit beträgt ± 20 Gramm.

Umgang mit ganzen Zahlen, Zahlen und Konstanten

Beachten Sie, dass ganze Zahlen, die durch Zählen diskreter Objekte erhalten werden, nicht unter die Regeln der signifikanten Zahlen fallen. Bei der Berechnung der Ergebnisunsicherheit werden sie so behandelt, als ob sie keine Unsicherheit hätten. In ähnlicher Weise haben mathematische Konstanten wie π keine signifikanten Stellen – sie werden so behandelt, als hätten sie eine unendliche Anzahl signifikanter Stellen und somit keine Unsicherheit. Empirisch ermittelte physikalische Konstanten stammen jedoch aus experimentellen Ergebnissen und haben daher Fehlertoleranzen. Eine Ausnahme ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, die – ausgedrückt in SI-Einheiten – keine Unsicherheit hat, da das Meter definiert bezieht sich auf die Lichtgeschwindigkeit.

Rechnen mit signifikanten Zahlen

Bei der summieren und subtrahieren von Messwerten muss man auch Komplett. Dann gilt die Regel:

• Beim Runden nach Addition und Subtraktion hat das Ergebnis die gleiche Anzahl von Nachkommastellen wie das Maß mit der kleinsten Anzahl von Nachkommastellen.

Beispielsweise:

${displaystyle 65({ ext{kg}}) 2{,}17({ ext{kg}})=67({ ext{kg}})}$

(65 hat keine Nachkommastellen, daher ist die kleinste Zahl 0, daher darf die Antwort keine Nachkommastellen haben). Teilen und multiplizieren es gilt die regel:

• Bei Division und Multiplikation hat die Antwort so viele signifikante Stellen wie das Maß mit den wenigsten signifikanten Stellen.

Beispielsweise:

${displaystyle 6{,}221({ext{cm}}) imes 5{,}34({ext{cm}})=33{,}2({ext{cm}}^{2})}$

${displaystyle {frac {100{,}000({ ext{m}})}{11{,}71({ ext{s}})}}=8{,}53970965({ ext{m/s}} )}$

11,71 hat vier und 100.000 hat sechs signifikante Stellen, so dass die Durchschnittsgeschwindigkeit dann 8,540 m/s mit 4 signifikanten Stellen beträgt und nicht 8,53970965.

Biene Logarithmus und Potenzierung geltende Regeln:

• Beim Logarithmus erhält die Antwort so viele Dezimalstellen, wie das Maß signifikante Stellen hat.

Beispielsweise:

${displaystyle log(0{,}00056)=-3{,}2518}$

Die Antwort muss jedoch zwei Dezimalstellen haben, damit sie zu ${displaystyle -3{,}25}$

${displaystyle log(0{,}00057)=-3{,}2441}$

Die Antwort muss jedoch zwei Dezimalstellen haben, damit sie zu . wird ${displaystyle -3{,}24}$

${displaystyle log(0{,}00058)=-3{,}2366}$

Die Antwort muss jedoch zwei Dezimalstellen haben, damit sie zu . wird ${displaystyle -3{,}24}$

• bei der Potenzierung erhält die Antwort so viele signifikante Stellen, wie der Messwert Nachkommastellen hat.

Beispielsweise:

${Displaystil 10^{2{,}890}=776{,}25}$

Die Antwort muss jedoch aus drei signifikanten Ziffern bestehen, damit sie zu . wird ${Anzeigestil 776}$

${Displaystil 10^{2{,}891}=778{,}04}$

Die Antwort muss jedoch aus drei signifikanten Ziffern bestehen, damit sie zu . wird ${displaystyle 778}$

${Displaystil 10^{2{,}892}=779{,}83}$

Die Antwort muss jedoch drei signifikante Stellen haben, damit sie zu . wird ${displaystyle 780}$

Komplett

Bei Berechnungen mit Messwerten mit unterschiedlicher Stellenzahl sollte nur das Endergebnis gerundet werden und nicht die Originalmesswerte. Wenn Sie die Messwerte erst abrunden und dann mit der Berechnung beginnen, kann das Endergebnis erheblich abweichen, wie im Beispiel unten gezeigt.

Angenommen, Sie haben acht Säcke Blumenerde, die laut Etikett 12,5 kg wiegen (drei signifikante Zahlen). Einer der Beutel ist halb voll, Sie haben also 7,5 Beutel (zwei signifikante Ziffern). Sie möchten berechnen, wie viel diese Taschen zusammen wiegen. Das Ergebnis dieser Berechnung muss in zwei signifikanten Zahlen ausgedrückt werden.

Vor Runden ergibt das Ergebnis:
13 kg × 7,5 = 97,5 kg, gerundet auf zwei signifikante Stellen, d. h. 98 kg

Danach Runden ergibt das Ergebnis:
12,5 kg × 7,5 = 93,75 kg, auf zwei signifikante Stellen gerundet, d. h. 94 kg

Siehe auch

• Charakteristischer Teil